Реферат: Лобачевский
посуществу берет за отправной пункт все то, что Евклид доказал без помощи 5-го постулата. Все эти предположения являются общими как длягеометрии Евклида, так и для геометрии Лобачевского.
Такимобразом, все предложения абсолютнойгеометрии сохраняют свою силу и в геометрии Лобачевского.Абсолютная геометрия есть общая часть и общий фундамент евклидовой геометрии игеометрии Лобачевского.
В первом случае мыполучим геометрию Евклида, во втором случае –
Геометрию Лобачевского.Отсюда ясно, что все сходное в геометриях Евклида и Лобачевскогоимеет свои основания в абсолютной Геометрии, а все то, чторазлично в них, коренится в различии аксиом параллельности.
Укажемряд важнейших планиметрических теорем, относящихсяк абсолютной геометрии.
1.1. Каждый отрезок и каждый угол можноединственным образом разделить пополам.
1.2. Через каждую точку можно провестиединственный перпендикуляр к данной прямой.
1.3. Сумма двух смежных углов равна 2d.
1.4. Все прямые углы равны между собой.
1.5. Вертикальные углы равны.
1.6. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла привершине является медианой и высотой, углы при основании равны.
1.7. Перпендикуляр короче наклонной. Известныетеоремы о сравнении перпендикуляров, наклонных и их проекций.
1.8. Внешний угол треугольника больше внутреннего угла, сним не смежного.
1.9. Во всяком треугольнике не может быть более одногопрямого или тупого угла.
1.10. В треугольнике против большейстороны лежит больший угол, и обратно.
1.11. В прямоугольном треугольникегипотенуза больше катета.
1.12. Сумма двух сторон треугольникабольше третьей.
1.13. Три признака равенстватреугольников.
1.14. Если при пересечениидвух прямых третьей соответственные углы равны, или внутренние накркст лежащие углы равны, или суммавнутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые непересекаются.
1.15. Два перпендикуляра к третьейпрямой не пересекаются.
1.16. Через точку,лежащую вне прямой, в плоскости, ими определяемой,проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной.
1.17. Сумма углов треугольника не более2d(11-я теорема Лежандра).
1.18. Если в плоскости две точки лежатпо разные стороны прямой, тоотрезок, их соединяющий,пересекает данную прямую.
1.19. Если луч проходит через вершинутреугольника внутрь его, то он пересекает противоположную сторонутреугольника.
1.20. Три биссектрисы треугольникапересекаются в одной точке,лежащей внутри треугольника.
1.21. В треугольник можно вписатьединственную окружность.
1.22. Прямая пересекает окружность неболее чем в двух точках.
1.23. Равные дуги окружности стягиваютсяравными хордами, и обратно.
1.24. Если выбрать единичный отрезок, товсякому отрезку можно поставить в соответствие единственное положительное число,называемое длинной отрезка, и,обратно, каждому положительному числу можно поставить в соответствие некоторыйотрезок, длина которого выражается этимчислом.
1.25. Если все внутренние лучи,выходящие из вершины угла АОВ, а так же сторона АО и ОВ разбить на два класса так, что1) каждый луч принадлежит одному и только одному из этих классов, лучАО принадлежит первому классу, а луч ОВ – ко второму, 2) каждый лучпервого класса лежит между ОА и любым лучом второго класса, тосуществует один и только один луч l, пограничный между лучами обоихклассов, причем сам луч l принадлежитлибо первому, либо второму классу.
1.26. Если выбрать некоторый угол в качестве единицы измерения, токаждому углу можно поставить соответствие единственное число,называемое мерой или величиной угла.
Исходным пунктом геометрииЛобачевского является принятие всех предложений геометрии Евклида, независящих от 5-го постулата (т.е. абсолютной геометрии, включаяаксиомы Паша, Архимеда, Дедекинда), иприсоединение к ним взамен отброшенного 5-го постулата следующая аксиома,противоположный аксиоме Плейфера, а значит, и 5-му постулату.
Через точку, лежащуювне прямой плоскости, определяемой ими, можно провести не менее 2-х прямых, непересекающих данной прямой.
Эта аксиома утверждает существование, покрайней мере 2-х таких прямых. Отсюда следует, что таких прямыхсуществует бесконечное множество.
/>
/>
Очевидно, чтовсе прямые, проходящие через точку М внутри вертикальных углов a и b, образованных прямыми b и c такжене пересекают а, а таких прямых бесконечное множество.
Плоскость (или пространство),в которой предполагается выполнение аксиомы Лобачевского, называется плоскостью(или пространством) Лобачевского.
Перейдёмнепосредственно к параллельным Лобачевского.
/>
Две граничные прямыеСС’ и DD’называются параллельными прямой ВВ’ вточке А, причём прямая С’С называется параллельной В’В в направленииВ’В, а прямая D’D называется параллельнойпрямой ВВ’ в направление ВВ’. Острый угол a, образуемый параллельными с перпендикуляром АР, называется угломпараллельности в точке А относительно прямой BB’. Этот угол,есть функция длины р перпендикуляра АР и обозначается так: a=П (р). АР называются отрезком параллельности в точке А относительнопрямой BB’.
Все прямые пучка непересекающие BB’ и лежащие внутри заштрихованных вертикальных углов,называются расходящимися с BB’ или сверх параллельными к BB’; угол,образуемый такой прямой с перпендикуляром АР с обеих от него сторон, большеугла параллельности a .
Наконец, всеостальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол,меньше угла параллельности a, называются пересекающимипрямую BB’ или сходящимися с BB’ .
Необходимо обратитьвнимание, что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС’параллельно прямой BB’, является совершенно обязательным также указывать,во-первых, в каком направление CC’ параллельно BB’, во-вторых, в какой точке, ибо у нас пока нет уверенности в том,что если мы на прямой CC’ возьмёмкакую-нибудь точку М, отличную от А, то и по отношению к пучку прямых сцентра в точке М прямая СС’ будет граничной прямой.
Определение. ПрямаяС’C называется параллельной прямой в направление B’B вточке А, если, во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB’,во-вторых, C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А,т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любаяточка прямой BB’, пересекает луч DB.
/>
Условимся в целяхкраткости и удобства обозначать параллельность прямой АА’ к BB’внаправление B’B символом AA’ êê B’B, где порядок букв указывает направлениепараллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.
Теорема1.Если прямая ВВ’êêАА' в точке М, то ВВ'êêАА' в любой своей точке N.
/>/>/>
/>
Теорема 2.ЕслиВВ'êêАА', тои обратно: АА'êêВВ'.
Теорема 3.ЕслиАА'êêСС' и ВВ'êêСС', тоАА'êêВВ'.
Теорема4. Если прямая CC’ лежит между двумя прямыми АА’ и BB’,параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельнаобеим этим прямым в том же направлении.
Теорема 5.Еслидве прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, иливнутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямыерасходятся.
Задача 902.(Сборник задач — Атанасян, ч.2)Пусть (U1V1) êê(U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.
/>
Действительно, отрезок U1U2, соединяющийлюбые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1, пересечет UV в некоторойточке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема1.18).
В силупараллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E, проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно,U2V2 êê UV. Пользуясь теоремами 2 и 3, легкоубедиться, что U1V1êêUV.
/>/>/>/>/>/> Интересно отметить, что в геометрии Лобачевскогопрямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно,например, любая прямая EF, расходящаяся с АА’, пересекает СС’и BB’,не пересекая АА’.