Реферат: Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Реферат по математическому анализу
на тему:
«Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента».
Выполнил: студент МГТУ им. Баумана
группа Э2 –11
Тимофеев Дмитрий
Преподаватель:
Москва 2004.
Введение
Для более полного представления окривизне плоской кривой для начала введём понятие векторной функциискалярного аргумента.
Определение 1. Если каждому значению независимого переменного tÎTÍR, называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствиеединственный вектор r(t),тоr(t)называют вектор-функцией скалярного аргумента. Вектор r(t) с началом вфиксированной точке O называют радиус-векторм.
Пусть в геометрическом(трёхмерном) пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k.Тогда представление
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
является разложениемрадиус-вектора r(t)в этом базисе, причем x(t),y(t), z(t) – действительные функции одного действительного переменного t собщей областью определения TÍR, называемые координатными функциями вектор-функции r(t).
Понятие кривой
Введём теперь термин «кривой».Его строге определение связано с понятием вектор-функции r(t), которую будемсчитать непрерывной на отрезке [a, b]. Пусть в трёхмерном пространстве R3задана прямоугольная декартова система координат Oxyzс ртонормированным базисом {i, j, k}.
Определение 2.Множество ГÌR3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i+ y(t)j + z(t)k, tÎ[a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b] вектор-функции r(t) называют непрерывнойкривой, или просто кривой, а аргумент t- параметром кривой.
При фиксированном значении t = t0Î [a,b] параметра значения x(t0), y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой.Поэтому одна и та же кривая может иметь как векторное так и координатноепредставление
Г= {r ÎR3: r = r(t), tÎ[a, b] },
Г= {(x; y; z) ÎR3: x = x(t), y =y(t), z = z(t), tÎ[a, b] }
Заданную таким образом кривуюназывают годографом вектор-функции r(t), поскольку именно такую кривую описывает впростарнстве конец вектора при изменении параметра t.
Кривую можно также представитькак линию пересечения двух поверхностей с уравнениями F1(x, y, z)= 0, F2(x,y, z) = 0.Выбрав за параметр одну из координат, можно через него попытаться выразить изэтой системы уравнений остальные координаты. Если это удастся сделать, то можнобудет записать
Г = {(x; y; z)Î R3: x = x(t),y = y(t), z = z(t), tÎ[c, d] }.
Одной и той же точке кривой могутсоответствовать различные значения параметра t.Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и конечной точкамикривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b) соответственно. Если конечная точка кривой совпадает сеё начальной точкой, то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющуюкратных точек при tÎ(a, b) называют простым замкнутым контуром.
Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
Если эта плоскость выбрана закоординатную плоскость xOy, то координатноепредставление плоской кривой Г имеет вид:
Г= {(x; y; z) ÎR3: x = x(t), y =y(t), z = z(t), tÎ[a, b] }.
причём равенство z=0 обычно опускают и пишут
Г= {(x; y) ÎR2: x = x(t), y = y(t), tÎ[a,b] }.
.
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоскойкривой с координатным представлением Г = {(x;y) Î R2: x = x, y = f(x),xÎ[c, d] }.
В этом случае роль параметравыполняет аргумент x. Плоская кривая являетсягодографом радиус-вектора r(t)= x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j соответсвенно.
Кривизнаплоской кривой.
Длинадуги иеё производная.
В введении были рассмотреныпонятия векторной функции, опираясь на которое и было дано строгоеопределение кривой и её частного случая – плоской кривой. В данномпункте дадим определение длины дуги и найдём её дифференциал.
Пусть дуга кривой M0M (рис.1) есть график функции y=f(x), определённой наинтервале (a ,b).Определим длину дуги кривой.
Возьмём на кривой АВточки M0, M1,M2, …, Mi-1,Mi…, Mn-1, M.
Соединив взятые точки отрезками,получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1Mi…Mn-1M,вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.
Длиной дуги M0M называется предел (обозначимего через s), к которому стремится длина ломанойпри стремлении к нулю наибольшей длин отрезков ломанной Mi-1Mi, если этот предел существуети не зависит от выбора точек ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M ./>
Найдём выражение дифференциаладуги.
Пусть имеется на плоскостикривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0, y0)- некотрая фиксированная точка кривой.Обозначим через s длинудуги M0M(рис./>3). При изменении абсциссы xточки М длина s дуги будет меняться, т.е. s есть функция x.Найдём производную s по x.
Дадим xприращение Dx. Тогда дуга s получитприращение Ds= дл. ÈMM1. Пусть /> -хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти />, поступим следующим образом:
Из DMM1Q находим />= (Dx)2 +(Dy)2. Умножими разделим левую часть наDs2:
/>
Разделим все члены равенства на Dx2:
/>
Найдём предел левой и правойчастей при Dx®0. Учитывая, что /> и />, получим />
Для дифференциала дугиполучим следующее выражение:
/> или />
Мы получили выражение дифференциаладуги для того случая, когда кривая задана уравнением y=f(x).Но эта же формула сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрически:
/> />
и выражение принимает вид: />.
КривизнаПервая производная функции даётнам простейшую характеристику линии y=f(x), а именно её направление.Вторая производная тесно связана с другой количественной характеристикой этойлинии, с так называемой кривизной, устанавливающей меру изогнутостиили искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая непересекает сама себя и имеет определённую касательную в каждой точке. Проведёмкасательные к кривой в каких-нибудь двух её точках А и В и обозначимчерез a угол, образованныйэтими касательными, или – точнее — угол поворота касательной при переходе отточки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется угломсмежности. Угол смежности в некоторой степени даёт представление о степениизогнутости дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, укоторой угол смежности больше (рис. 5,4).
/>рис.4 />рис. 5
Полной характеристикойизогнутости кривой будет отношение угла смежности к длинесоответствующей дуги.
Определение 4. Средней кривизной Кср дуги ÈАВназывается отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги:
/>
Для одной и той же кривой средняякривизна её различных частей (дуг) может быть различной; так, например, длякривой (см. рис. 6) средняя кривизна дуги АВ не равна среднейкривизне дуги А1В1, хотя длины этихдуг равны между собой./>
Отметим, что вблизи различныхточек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степеньискривлённости данной линии в непосредственной близости к данной точке А,введём понятие кривизны в данной точке.
Определение5. КривизнойКа<sub/>линии в данной точкеА называется пределсредней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:
/>
Вычисление кривизныВыведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любойеё точке M(x, y). При этом будем предполагать, что кривая задана вдекартовой системе координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеетнепрерывную вторую производную.
Проведём касательные к кривой в точках Mи M1 с абсциссами x и x+Dx и обозначим через j и j+Dj углы наклона этих касательных (рис.7)./>
Длину дуги ÈM0M отсчитываемуюот некоторой постоянной точки M0,обозначим через s; тогда Ds = ÈM0M1 - ÈM0M, а½Ds½ = ÈMM1. Как видно из (рис. 7), угол смежности, соответствующий дуге ÈMM1 равен абсолютной величине разности углов j и j+Dj,то есть равен ½Dj½.
Согласно определениюсредней кривизны кривой на участке ÈMM1 имеем />.
Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти пределполученного выражения при условии, что длина дуги ÈMM1стремится к нулю: />
Так как величины jи s зависят от x, то,следовательно, j можнорассматривать как функцию от s. Можно считать, что этафункция задана параметрически с помощью параметра x.Тогда
/> />
Для вычисления /> воспользуемсяформулой дифференцирования функции, заданной параметрически: />.
Чтобы выразить производную /> через функцию y=f(x), заметим, что /> и,следовательно />.
Дифференцируя по x последнее равенство, получаем />.
И так как />, то
/>, и окончательно, так как />, получаем
/>.
Следовательно, в любой точке кривой, где существует инепрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам.
Вычислениекривизны линии, заданной параметрически.
Пусть кривая заданапараметрически: x=j(t), y=y(t). Тогда
/> />
Подставляя полученные выражения вформулу 3, получаем
/>.
Вычислениекривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.
Пусть кривая задана уравнениемвида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярныхкоординат к декартовым: x = r cos q, y = r sin q .
Если в эти формулы подставитьвместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим
x= f(q) cos q, y = f(q) sin q
Последние уравнения можнорассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q.
Тогда/>, />
/> , />
Подставляя последние выражения вформулу, получаем формулу для вычисления кривизны кривой, заданной в полярныхкоординатах:
/>
/>
Радиус и круг кривизныОпределение 7. Величина R,обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусомкривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или
/>
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ),направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС,равный радиусу R кривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центромв точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизныданной кривой в точке М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точкекривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы,определяющие координаты центра кривизны.
Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем накривой точку M(x, y) и определим координаты a и b центракривизны, соответствующего этой точке (рис. 9).Для этого напишемуравнение нормали к кривой в точке М:
/>/>
Так как точка C(a, b)лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению />.
Далее, точка C(a, b) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R:
/>
Решив совместно уравнения * определим a, b:
/> />
/> />
и так как />, то
/> />
Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дуетбрать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!<0. Если y!!>0, то в этой точке кривая вогнутаи, следовательно, b>y (рис. 9) и поэтому следует брать нижние знаки.Учитывая, что в этом случае ½y!!½=y!!, формулы координат центразапишем в следующем виде:
/> /> (1)
Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и вслучае y!!<0.
Параметрическое задание кривой
Если кривая задана параметрически: x= j(t), y = y(t), то координаты центра кривизны можно получить из формул *, подставляя в нихвместо y! и y!!их выражения через параметр:
/> />.
Тогда
/> /> (2)
Эволюта и эвольвентаЕсли в точке M1(x, y) данной линиикривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центркривизныC1(a, b). Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новуюлинию, называемую эволютой по отношению к первой.
По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентойили инволютой (или развёрткой). Дадим определение.
Определение 8. Геометрическое место центровкривизны линии L называется её эволютой L1, а сама линия Lотносительно своей эволюты называется эвольвентой.
Если данная кривая определяется уравнением y=f(x), то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравненияэволюты с параметром x. Исключая из этихуравнений параметр x, получим непосредственнуюзависимость между текущими координатами эволюты a и b.Если же кривая задана параметрически x = j(t), y = y(t), то уравнеия (2) даютпараметрические уравнеия эволюты.
Свойства эволютыТеорема 1. Нормальк данной кривой является касательной к её эволюте.
Доказательство. Угловойкоэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями(1), равен />. В силууравнений (1)
/>, (3)
/> (4)
Получаем соотношение
/>.
Но y!есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтомуиз полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная кеё эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то естьнормаль к кривой является касательной к эволюте.
Теорема 2. Если нанекотором участке M1M2 кривой радиус кривизны изменяетсямонотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно поабсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.
Доказательство.
Так как />, где ds — дифференциал длины дуги эволюты; отсюда
/>
Подставляя сюда выражения (3) и(4) получим
/>. (4)
Так как />, то />.
Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим послесоответствующих преобразований
/>
Деля обе части равенства на />, получим
/>.
Возведём в квадрат полученноеравенство:
/> (5), и сравниваяравенства (4), (5) находим
/> , откуда />
По условию /> не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и/> не меняет знак. Пусть дляопределённости />, а/>. (рис. 10) /> Следовательно,/>
Пусть точка M1имеет абсциссу x1, а M2– абсциссу x2.
Применим теорему Коши к функциям s(x) и R(x) на отрезке [x1, x2]:
/>
Где x — число,заключённое между x1 и x2 .
Введём обозначения (рис. ): S(x2) = s2, s(x1)= s1, R(x2)=R2, R(x1)=R1
Тогда />. Но это значит, что />. Теорема доказана.
Доказательство при возрастаниирадиуса кривизны аналогично.
Если кривая задана параметрически,то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.
Укажем без доказательства приёмыприближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.
1). Каждая нормаль к эвольвентеявляется касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалейэвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей кэвольвенте L, то огибающая их линия и будетэволютой L! (рис.11 )./>
2). Если гибкую нерастяжимуюнить, обтягивающую заданную выпуклую линию L!развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишетэвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещёразвёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольженияпрямой линии по данной линии L!;Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту Lлинии L!. Отсюда следует, что даннаяэволюта L! имеет бесконечное числоэвольвент L. В то же время любая данная линия,рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.
следует, что данная эволюта L! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая какэвольвента, имеет только одну эволюту.
/>Заключение
В качестве заключения рассмотримприменение эвольвенты в технике.
В технике эвольвенту окружностиприменяют для профилирования зубчатых зацеплений. Пусть боковыеповерхности зубьев двух цилиндрических зубчатых колёс с параллельными осямивращения, проходящими через точки O1 и O2 (рис. б), очерчены по эвольвентам, а линияконтакта зубьев при некотором взаимном положении колёс проходит через точку К.Тогда в точке К нормали КМ1 и КМ2 кэвольвентам Э1 и Э2 будут лежать на отрезке М1М2общей касательной к окружностям радиусов R1и R2 соответственно (этиокружности по отношению к эвольвентам являются эволютами). При вращении колёсточка К перемещается вдоль отрезка М1М2(новое положение эвольвент показано на (рис. б) штриховыми линиями) дотех пор, пока рассматриваемая пара зубьев не выйдет из взаимного зацепления.Однако зубчатую передачу профилируют так, что к этому времени возникаетзацепление между другой парой зубьев, и линия их контакта снова перемещаетсявдоль отрезка М1М2.
Если угловая скорость w2 ведущего колеса постоянна,то постоянна и скорость w2R2 движения точки К по линии,называемой линией зацепления. Но тогда постоянна и угловая скорость w1 =w2R2/R1<sub/>ведомого колеса. Таким образом,эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность вращения ведомого колеса ипостоянство передаточного отношения w1/w2 = R2/R1 зубчатой передачи. Кроме того, некоторыеизменения межосевого расстояния O1O2, вызванные неизбежными погрешностями приустановке зубчатых колёс не влияют на передаточное отношение, если этипогрешности, конечно, не столь велики, что зубья колёс вообще не могут войти взацепление.
Эвольвентное зацеплениепредложено математиком Л. Эилером.
Примеры
1. Найдём кривизну параболы y= x2 в любой её точке.
Имеем: /> и />. Поэтому />; в частности кривизнапараболы в её вершине равна 2.
2. Найдём кривизну прямой y= ax + b веё произвольной точке.
По формуле вычисления кривизны получаем результат К=0,означающий, что прямая представляет собой «линию нулевой кривизны».
3. Найдём уравнения эволюты параболы y = x2 .
Найдём значения X и Y: />, />
Исключив параметр x, найдёмуравнение эволюты в явном виде:
/>
4. Определим кривизну циклоиды /> /> веё произвольной точке.
/>/>/>/>
Подставив полученные выражения в формулу />, получим:
/>.
5. Найдём уравнение эволюты эллипса, заданногопараметрическими уравнениями />/>
Вычислим производные от x и y по t:
/> /> Подставим данныезначения в формулы /> и />:
/>
Аналогично получаем значение b: />.
Исключая параметр t, получаем уравнение эволюты эллипса с текущими координатами a и bв виде />.
Список использованной литературы
Н. С. Пискунов, Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1, «Наука», 1985. А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович, Краткий курс математического анализа, «Наука», 1966. Е. Е. Иванова, Дифференциальное исчисление функций одного переменного, Издательство МГТУ им. Баумана, 1999. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк, Основы математического анализа, ч. 1, «Наука», 1982. Б. П. Демидович, Задачи и упражнения по математическому анализу, «Интеграл – пресс», 1997.