Реферат: Комплексные числа
<a/>/> ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Комплексные числа были введены в математику для того, чтобысделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любогодействительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием длятого, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производитьвычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаютсяквадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже несодержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решениякубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет тридействительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень изотрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел сталиупотреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как быприобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимымчислам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическуюинтерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждыймногочлен имеет хотя бы один действительный корень.
1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Решение многих задач математики,физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследованиеалгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике.Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширенияпонятия числа.
Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней.Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.
На множестве рациональных чиселразрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A·X+B=0 (A/>0). Однако алгебраические уравнениястепени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такимиявляются уравнения X2=2, X3=5. Необходимостьрешения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел.Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Однако и действительных чиселнедостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например,квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательнымдискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтомуприходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новыечисла. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество,которое называют множеством комплексных чисел.
Выясним предварительно, какой виддолжны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексныхчисел уравнение X2+1=0 имеет корень. Обозначим этот кореньбуквой i Таким образом, i– это комплексное число, такое, что i2= –1.
Как и для действительных чисел, нужноввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма ипроизведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B·iможно считать записью комплексногочисла в общем виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения A+B·i.
Комплексными числами называют выражения вида A+B·i, где A и B –действительныечисла, а i –некоторый символ, такой что i2= –1, и обозначают буквой Z.
Число A называется действительной частью комплексного числа A+B·i, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.
Например, действительная частькомплексного числа 2+3·i равна 2, а мнимая равна 3.
Для строгого определения комплексногочисла нужно ввести для этих чисел понятие равенства.
Два комплексных числа A+B·i и C+D·i называются равными тогда итолько тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительныеи мнимые части.
2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯИНТЕРПРЕТАЦИЯ
КОМПЛЕКСНОГОЧИСЛА
/>
Рисунок 1
Действительные числа геометрическиизображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B·i можно рассматривать как парудействительных чисел(A;B).Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. Впрямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B·i изображаетсяточкой плоскости с координатами (A;B),и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствиеявляется взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексныечисла как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такаякоординатная плоскость называется комплексной плоскостью. Осьабсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположеныточки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимойосью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.
/>
Рисунок 2
Не менее важной и удобной являетсяинтерпретация комплексного числа A+B·i как вектора, т.е. вектора с началом в точке
O(0;0) и с концом вточке М(A;B) (рисунок 2).
Соответствие установленное междумножеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторовплоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами.
3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Пусть дано комплексное число Z=A+B·i. СопряженнымсZ называется комплексное число A – B·i, которое обозначается />, т.е.
/>=/>=A – B·i.
Отметим, что />= A+B·i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство />=Z.
Модулем комплексного числа Z=A+B·i называется число /> иобозначается />, т.е.
/>=/>=/> (1)
Из формулы (1) следует, что /> для любого комплексногочисла Z, причем />=0 тогда и толькотогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:
/>
4.СЛОЖЕНИЕИ УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Суммойдвух комплексных чисел A+B·i и C+D·iназывается комплексное число (A+C)+(B+D)·i, т.е. (A+B·i)+(C+D·i)=(A+C)+(B+D)·i
Произведениемдвух комплексных чисел A+B·i и C+D·i называется комплексное число (A·C – B·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.
(A+B·i)·(C+D·i)=(A·C– B·D)+(A·D+B·C)·i
Из формул вытекает, что сложение иумножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложенияи умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел.Основные свойства:
Переместительное свойство:
Z1<sup/>+Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1
Сочетательное свойство:
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)
Распределительное свойство:
Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3
Геометрическое изображение суммыкомплексных чисел
/>
Рисунок 3
Согласно определению сложения двух комплексных чисел,действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимаячасть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяютсякоординаты суммы векторов:
Сумма двух векторов с координатами (A1;B1)и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор,соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы,соответствующие комплексным числам Z1 и Z2.
Пример1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1=2 – 3×i и
1 Способ:
Z2= –7 + 8×i.
Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)×i = –5 + 5×i
/>
Z1×Z2 = (2 – 3×i)×(–7 + 8×i) = –14 + 16×i + 21×i + 24 = 10 + 37×i
2 Способ:
5.ВЫЧИТАНИЕИ ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Вычитание комплексных чисел – этооперация, обратная сложению: длялюбых комплексных чиселZ1и Z2 существует, и притом только одно,число Z, такое, что:
Z+ Z2=Z1
Если к обеим частям равенстваприбавить (–Z2) противоположное числу Z2:
Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда
Z = Z1<sub/>– Z2
Число Z=Z1+Z2 называют разностью чиселZ1и Z2.
Деление вводится как операция,обратная умножению:
Z×Z2=Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
Z=/>
Из этого уравнения видно, что Z2/>0
/>
Геометрическое изображениеразности комплексных чисел
Рисунок 4
Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствуетразность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль/> разности двух комплексныхчиселZ2 и Z1 по определению модуля есть длинавектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как суммувекторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двухкомплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которыесоответствуют этим числам.
Это важное геометрическоеистолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехомиспользовать простые геометрические факты.
Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i.Найти разность Z2 – Z1и частное />
Z2– Z1<sub/>= (3 + 4·i) – (4+ 5·i) = –1 – i
/>=/>=/>
6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯФОРМА
КОМПЛЕКСНОГОЧИСЛА
/>
Рисунок 5
Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называется алгебраической формойкомплексногочисла. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записикомплексных чисел.
Рассмотрим тригонометрическуюформу записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль />= rи аргумент j следующим образом:
A=r·cosj; B= r·sinj.
Число Z можно записать так:
Z= r·cosj+i·/>·sinj = r·(cosj +i·sinj)
Z = r·(cosj +i·sinj) (2)
Эта запись называется тригонометрическойформой комплексного числа.
r =/>– модуль комплексного числа.
Число j называют аргументом комплексного числа.
Аргументом комплексного числа Z/>0 называется величина угла междуположительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считаетсяположительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной,если производится по часовой стрелке.
Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случаечисло задается только своим модулем.
Как уже говорилось выше />= r =/>, равенство (2)можно записать в виде
A+B·i=/>·cosj+i·/>·sinj, откуда приравнивая действительные имнимые части, получим:
cosj =/>, sinj =/> (3)
Если sinj поделить на cosj получим:
tgj=/> (4)
Эту формулу удобней использовать длянахождения аргумента j,чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4),являются аргументами числа A+B·i. Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, вкакой четверти расположена точка A+B·i.
7.СВОЙСТВАМОДУЛЯ И АРГУМЕНТА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
С помощью тригонометрической формыудобно находить произведение и частное комплексных чисел.
Пусть Z1= r1·(cosj1<sub/>+i·sinj1), Z2<sub/>= r2·(cosj2<sub/>+i·sinj2). Тогда:
Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=
=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)].
Таким образом, произведениекомплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить поформуле:
Z1Z2=r1·r2[cos(j1+ j2) + i·sin(j1+ j2)] (5)
Из формулы (5) следует, чтоприумножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Если Z1=Z2 то получим:
Z2=[r·(cosj+i·sinj)]2= r2·(cos2j+i·sin2j)
Z3=Z2·Z=r2·(cos2j+i·sin2j)·r·(cosj+i·sinj)=
=r3·(cos3j+i·sin3j)
Вообще для любого комплексного числа Z=r·( cosj+i·sinj)/>и любого натурального числа n справедлива формула:
Zn<sup/>=[ r·(cosj+i·sinj)]n= rn·(cosnj+i·sinnj), (6)
которую называют формулой Муавра.
Частное двух комплексных чисел,записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
/>/>/>[ cos(j1– j2) + i·sin(j1– j2)]. (7)
/>= />=cos(–j2) + i·sin(–j2)
Используя формулу 5
/>(cosj1 +i·sinj1)×(cos(–j2) + i·sin(–j2)) =
cos(j1– j2) + i·sin(j1– j2).
Пример 3:
Z3 = –8
Число –8запишем в тригонометрической форме
8 = 8·(cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r3×(cos3j+ i×sin3j) = 8·(cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Тогда 3j =p + 2pk, kÎZ
j=/>, kÎZ
r3 = 8
r = 2
Следовательно:
Z = 2·( cos(/>) + i·sin(/>)), kÎZ
k = 0,1,2...
k = 0
Z1 = 2·( cos/> +i·sin/>) = 2·(/>i) = 1+/>×i
k = 1
Z2 = 2·( cos(/> + />) + i·sin(/> + />)) = 2·( cosp + i·sinp) = –2
k = 2
Z3 = 2·( cos(/> + />) + i·sin(/> + />)) = 2·( cos/> + i·sin/>) = 1–/>×i
Ответ: Z13 = />;Z2 = –2
Пример 4:
Z4 = 1
Число 1запишем в тригонометрической форме
1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r4×(cos4j+ i×sin4j) =cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ
4j = 2pk, kÎZ
j= />, kÎZ
r4= 1
r = 1
Z = cos />+ i×sin/>
k = 0,1,2,3...
k = 0
Z1 = cos0+ i×sin0= 1 + 0 = 1
k = 1
Z2 = cos />+ i×sin/> = 0 +i = i
k = 2
Z3 = cosp + i·sinp = –1+ 0 = –1
k = 3
Z4 = cos />+ i×sin/>
Ответ: Z13 = />1
Z24 = /> i
8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕКОРНЯ
Из формулы 6 видно, что возведениекомплексного числа r·( cosj +i·sinj) в целую положительную степень снатуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем,а аргумент умножается на показатель степени.
[r·(cosj +i·sinj)]n= rn·(cos nj +i·sin nj)
Число Zназывается корнем степениn из числа w ( обозначается />), если Zn =w.
Из данного определения вытекает, чтокаждое решение уравнения Zn =w является корнем степени n из числа w. Другими словами, для того, чтобыизвлечь корень степени nиз числа w, достаточнорешить уравнение Zn =w. Если w=0, то при любом nуравнение Zn=wимеет только одно решение Z=0. Если w/>0, то и Z/>, а, следовательно, и Zиw можно представить втригонометрической форме
Z = r·(cosj +i·sinj), w = p·(cosy +i·siny)
Уравнение Zn = w примет вид:
rn·(cos nj +i·sin nj) = p·( cosy +i·siny)
Два комплексных числа равны тогда итолько тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми,кратными 2p. Следовательно, rn = p и nj = y + 2pk, гдеkÎZ или r = /> иj = />,где kÎZ.
Итак, все решения могут быть записаныследующим образом:
ZK=/>[cos(/>) + i·sin(/>)], kÎZ (8)
Формулу 8 называют второйформулой Муавра.
Таким образом, если w/>0, то существует ровно n корней степени n из числа w: все они содержатся в формуле 8. Всекорни степениnиз числа w имеют один и тот же модуль />, но разные аргументы,отличающиеся слагаемым, кратным числу />.Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w, соответствует точкам комплекснойплоскости, расположенным в вершинах правильного n– угольника, вписанного в окружностьрадиуса /> с центром в точке Z = 0.
Символ /> неимеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлятьсебе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись />, следует подумать о том,чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и–i, или одно, то какое именно.
Уравнениявысших степеней
Формула 8 определяет все корнидвучленного уравнения степени n.Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнениястепени n:
an×Zn +an–1×Zn–1<sup/>+...+a1×Z1<sup/>+a0<sub/>= (9)
Где an,..., a0<sub/>– заданные комплексные числа.
В курсе высшей математикидоказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайнеймере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссомв 1779 году.
Опираясь на теорему Гаусса, можнодоказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в видепроизведения:
/>,
Где Z1,<sub/>Z2,...,<sub/>ZK – некоторые различные комплексные числа,
а a1,a2,...,ak<sub/>– натуральные числа, причем:
a1+ a2 +… + ak = n
Отсюда следует, что числа Z1,<sub/>Z2,...,<sub/>ZK являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1<sub/>является корнем кратности a1, Z2<sub/>– корнем кратности a2 и так далее.
Если условиться считать кореньуравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнениестепени nимеет в множестве комплексных чиселровноn корней.
Теорема Гаусса и только чтосформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего неговорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могутбыть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулыгромоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще несуществует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения.Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезнойследующая теорема: целые корнилюбого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителямисвободного члена.
Докажем эту теорему:
Пусть Z = k – целый корень уравнения
an×Zn + an–1×Zn–1<sup/>+...+ a1×Z1<sup/>+ a0<sub/>= 0
с целыми коэффициентами. Тогда
an×kn + an–1×kn–1<sup/>+...+ a1×k1<sup/>+ a0<sub/>= 0
a0<sub/>= – k(an×kn–1 + an–1×kn–2 +...+ a1)
Число в скобках, при сделанныхпредположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a0.
9.КВАДРАТНОЕУРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.
Это уравнение:
1. имеет один корень, если a = 0.
2. имеет два действительных корня Z1,2=/>, если a > 0.
3. неимеет действительных корней, если a < 0. Но имеетдва комплексных корня.
Запишем число a в виде a = (– 1)×(– a) = i2×/>=i2×(/>)2. Тогда уравнение Z2 = a запишется в виде: Z2 –i2×(/>)2= 0
т.е. (Z – i×/>)(Z + i×/>) = 0
Следовательно, уравнение имеет двакорня: Z1,2= /> i×/>
Введенное понятие корня из отрицательногочисла позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительнымикоэффициентами
a×Z2 + b×Z + c = 0
По известной общей формуле
Z1,2=/> (10)
Итак, при любых действительных a(a/>0), b, c корни уравнения можно находить поформуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10
D = b2 – 4×a×c
положителен, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 два действительных различных корня.Если D = 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет два различных комплексныхкорня.
Комплексные корни квадратногоуравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойствадействительных корней.
Сформулируем основные из них:
Пусть Z1,Z2 – корни квадратного уравнения a×Z2 + b×Z + c = 0, a/>0. Тогда справедливы свойства:
1. Теорема Виета: Z1+ Z2 = –/>
Z1×Z2 = />
2. При всех комплексных Z справедлива формула
a×Z2 + b×Z + c = a×(Z – Z1)×(Z – Z2)
Пример 5:
Z2 –6·Z + 10 = 0
Д = b2 – 4·a·c
Д = 62 – 4·10 = – 4
– 4 = i2·4
Z1,2 = />
Z1,2 =/>
Ответ: Z1= Z2 = 3 +i
Пример 6:
3·Z2 +2·Z+ 1 = 0
Д = b2 – 4·a·c
Д = 4 – 12 = – 8
Д = –1·8 = 8·i2
Z1,2 = /> = />
Z1,2 =/>
Z1 = –(/>)
Z2 = –/>
Ответ: Z1 = Z2 = –/>
Пример 7:
Z4 –8·Z2 – 9 = 0
Z2 = t
t2 –8·t – 9 = 0
Д = b2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100
t1,2 = />= />= 4/>
t1 =9 t2 = – 1
Z2 =9 Z2 = – 1
Z1,2 =/>3 Z = />
Z3,4 =/>i
Ответ: Z1,2 =/>3, Z3,4=/>i
Пример 8:
Z4 + 2·Z2– 15 = 0
Z2 = t
t2 + 2·t –15 = 0
Д = b2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64
t1,2 = />= />= –1/>4
t1 = –5 t2 = 3
Z2 = – 5 Z2 = 3
Z2 = –1·5 Z3,4 =/>/>
Z2 = i2·5
Z1,2 =/>i/>
Ответ: Z1,2 =/>i/>, Z3,4=/>/>
Пример 9:
Z2 = 24– 10·i
Пусть Z = X + Y·i
(X + Y·i)2 = X2 + 2·X·Y·i–Y2
X2 + 2·X·Y·i– Y2= 24 – 10·i
{
(X2 – Y2)+ 2·X·Y·i=24 – 10·iX2 – Y2 = 24
2·X·Y = – 10
Y = – />
X2 – />= 24
/> умножимна X2/>0
X4 – 24·X2– 25 = 0
X2 = t
t2 – 24·t –25 = 0
t1·t2= – 25
t1 + t2= 24
t1 =25 t2 = – 1
X2 =25 X2 = – 1 — нетрешений
X1,2 = />5
X1 =5 X2 = – 5
Y1 = – /> Y2= />
Y1 = –1 Y2 = 1
Тогда:
Z1,2 =/>(5 – i)
Ответ: Z1,2 =/>(5 – i)
ЗАДАЧИ:
{
1)/> <td/>X2 + 3·X·Y + Y2 = 6
X + Y = 2
/>
( 2 – Y)2+ 3·( 2 – Y)·Y + Y2 = 6
4 – 4·Y + Y2+ 6·Y – 3·Y2 + Y2 = 6
–Y2 +2Y – 2 = 0 /–1
Y2 – 2Y+ 2 = 0
Д = b2 – 4·a·c = 4 – 8 = – 4
– 4 = – 1·4 = 4·i2
Y1,2 = /> = /> = 1/> i
Y1 = 1–i Y2 = 1 + i
{
X1 = 1 + i X2 = 1–iОтвет: {1 +i; 1–i}
{1–i; 1 + i}
{
2)/> <td/>Z3 + w5 = 0
Z2×/>4 = 111/>4 = 1
{
Z3 = –w5
Z2×/>12 = 1
—Возведем в квадрат
—Возведем в куб
/>
w10×/>12= 1
w10×/>10×/>2 = 1
(w×/>)10×/>2= 1
(/>)10×/>2 = 1
т.к. w = A + B×i
/> = A – B×i
w×/> = (A + B×i)·( A – B×i) = A2 – (B×i)2= A2 + B2 = />2= w×/>
т.е. />20·/>2= 1
Возьмем модуль от обоихчастей последнего уравнения:
/>20·/>2 = 1
/>22 = 1
т.е.
/> = 1
Тогда из уравнения получим
/>2 = 1
т.е.
/> = />1
w1 =1 w2 = –1
Подставим эти значения впервое уравнение данной системы и найдем численное значение Z
1) w1 =1
Z6 = 1
1 = 1·( cos(2pk) + i·sin(2pk)), kÎZ
Z = r×(cosj+ i×sinj)
r6×(cos6j+ i×sin6j) = cos(2pk) +i·sin(2pk), kÎZ
r6= 1 6j = 2pk
r =1 j = />, kÎZ
Z = cos/>+ i·sin/>, kÎZ
k = 0,1,2...
k = 0
Z1 = cos0+ i×sin0= 1 + 0 = 1
Z1 = 1
k = 1
Z2 = cos/> +i·sin/> = />i= />i
Z2 =/>i
k = 2
Z3 =cos/>+ i·sin/> = –/>i
Z3 = –/>i
k = 3
Z4 = cosp + i·sinp = –1+ 0 = –1
Z4 = –1
k = 4
Z5 = cos/> +i·sin/> = –/>i
Z5 = –/>i
k = 5
Z6 = cos/> +i·sin/> = />i
Z6 = />i
Ответ: Z1 = 1, Z2=/>i, Z3 = –/>i, Z4 = –1, Z5= –/>i, Z6= />i
2) w2 = –1
Z6 = –1
–1 = 1·(cos(p + 2pk) +i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj+ i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r6×(cos6j+ i×sin6j) = cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk), kÎZ
r6 =1 6j = p + 2pk
r = 1 j = />, kÎZ
Z = cos(/>) + i·sin(/>), kÎZ
k = 0,1,2...
k = 0
Z1 = cos/> +i·sin/> = />i
Z1=/>i
k = 1
Z2= cos(/>) + i·sin(/>) = 0 + i= i
Z2=i
k = 2
Z3= cos(/>) + i·sin(/>) = –/>i
Z3= –/>i
k = 3
Z4= cos(/>) + i·sin(/>) = –/>i
Z4= –/>i
k = 4
Z5= cos(/>) + i·sin(/>) = 0 – i= –i
Z5= – i
k = 5
Z6= cos(/>) +i·sin(/>)= />i
Z6=/>i
Ответ: Z1 =/>i , Z2 =i, Z3= –/>i, Z4 = –/>i, Z5= – i, Z6 =/>i
3)
Доказать, что сумма двухкомплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.
1 СПОСОБ:
Пусть Z1=X+Y×i и Z2=U+V×i
Доказать что:
/>
/>
Предположим противоположное:
/>>/> / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести вквадрат обе части неравенства.
X2+2·X·U+U2+Y2+2·Y·V+V2 > X2+Y2+U2+V2+2·/>
2·(X·U+Y·V) > 2·/>
Если мы предположили верно,то X·U+Y·V > 0, а поэтому возведем вквадрат:
X2·U2+2·XU·Y·V+Y2·V2> X2·U2 + X2·V2+Y2·U2+Y2·V2
2·X·Y·V·U > X2·V2+Y2·U2
X2·V2+Y2·U2– 2·X·Y·V·U < 0
(X·V + Y·U)2 < 0
Это невозможно, т.к. A2/> 0, значит полученное нами неравенство неверно.
/>
что и требовалось доказать
2 СПОСОБ:
/>
Пусть Z1 и Z2 – двапроизвольных комплексных числа. Z1– соответствует точке A, Z2 –соответствует точке B.
В силу неравенстватреугольника
/> т.е.
/>
Что и требовалось доказать.