Реферат: История тригонометрии в формулах и аксиомах

Тригонометрические функции

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводеозначает измерение треугольников (trigwnon — треугольник, а metrew- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следуетпонимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и другихэлементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количествопрактических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии идругих приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение тригонометрии связано сземлемерением, астрономией и строительным делом.

Впервые способы решения треугольников, основанные наизависимостях между сторонами и углами треугольника, были найденыдревнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н.э.) и Клавдием Птолемеем (2в. н. э.). Пожднее зависимости между отношениями сторон треугольника и егоуглами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внеслиарабские ученые аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940-998),который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ сточностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученыйБхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном иматематик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси всвоей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическуютригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Теорему тангенсов доказал Региомонтан(латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера (1436-1476)).Региомонтан составил также плдробные тригонометрические таблицы; благодаря еготрудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной ив Европе.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудахвыдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрическойсистемы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также вработах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу обопределениях всех элементов плоского или сферического треугольника по тремданным.

Долгое время тригонометрия носила чистогеометрический характер. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в нейиспользовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов.Постепенно тригонометрия органически вошла в математический анализ, механику,физику и технические дисциплины.

Начиная с XVII в.,тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задачмеханики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательныхпроцессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изученияпеременного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функциивсесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всейматематики.

Аналитическая теория тригонометрических функций восновном была создана выдающимся математиком XVIII в.Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука орешении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрическихфункциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучаетсвойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией(в переводе – наука об измерении углов, от греч. gwnia — угол, metrew-измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Изучение свойств тригонометрических функций изависимостей между ними отнесено к школьному курсу алгебры, а решениетреугольников – к курсу геометрии.

Тригонометрические функции острого угла/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> <td/> />
В прямоугольном треугольнике, имеющем данный угол a, отношения сторон не зависят от размеров треугольника.Рассмотрим два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1(рис.1), имеющих равные углы ÐА=ÐА1 =a. Из подобия этих треугольников имеем:/> /> /> /> /> /> <td/> />

Если величину угла aизмерить, то написанные равенства остаются справедливыми, а измениться

/>/>/>лишь числовоезначение отношений и т.д. Поэтому отношения

В1 можно рассматривать как функции угла a./> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> С1 /> <td/> b /> <td/> <td/> <td/> b1 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Рис.1.

Синусом острого угла называется отношение противоположногоэтому углукатета к гипотенузе. Обозначают это так:

sina=

Значения тригонометрических функций (отношенийотрезков) являются отвлеченными числами.

Приближенные значения тригонометрических функций острогоугла можно найти непосредственно согласно их определениям. Построивпрямоугольный треугольник с острым углом a иизмерив его стороны, согласно определениям мы можемвычислить значение,например, sina.

Пользуясь тем, что значения тригонометрических функций независят от размеров треугольника, для вычисления значений sin углов a=30°; 45°; 60°рассмотрим прямоугольный треугольник с углом a=30°; и катетом ВС=a=1, тогда гипотенуза этого треугольника с=2, а второй катет b=Ö3;рассмотрим также треугольник с углом a=45° и катетом a=1, тогда для этого треугольникаc=Ö2 и b=1.

Полученные результаты запишем в таблицу.

30°

45°

60°

sina

/> <td/> />
/>Рис.2.

Приближенные значения тригонометрических функций для угловот 0° до 90° можно получить построив четверть круга, радиус которогопримемза 1, и его дугу разделимна 45 равных частей. Тогда градусная мера каждой частибудет равна 2°.

90° N

0,79

А b С0,62 0°M Рис.3.

Радиусы АМ и АN разделим на 100 равных частей.Построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре круга и катетом совпадающимс радиусом АМ и гипотенузой АВ=1. Если угол ВАС=a, то по определению тригонометрическихфункций мы имеем:

sina=а

Для угла 52° нашкале радиуса АN находим, что а=0,79,а на шкале радиуса АМ находим, что b=0,62.,то есть sin52°=0,79.

Построив прямоугольные треугольники для углов a=2°, 4°, 6°, 8°,…, 88°, согласно рис.3., найдем значения (приаккуратных измерениях и вычислениях) с точностью до 0,01. Для углов 0° и 90° прямоугольных треугольников не существует. Однако, еслигипотенуза АВ будет стремиться по положению к радиусу АМ, тоугол a®0,а катеты а®0 и b®1.В таком случае для полноты значений тригонометрических функций принимают, что

sin0°=а=0; cos0°=b=1.

/>/>/>/>/>Что касается значенийtga и ctga, то при a®0 отношение ®0, т.е. , а отношение при a®0 неограниченно возрастает. Этот результат записывают как ®¥,где символ ¥ указывает, чтовеличина неограниченно возрастает и не может быть выражена никакимчислом, так как знак ¥ не являетсякаким-либо числом. Таким образом, принимают, что tg0°=0, а ctg0° не существует, что чаще записывают как ctg0°=¥.

Рассуждая аналогично при a®90° приходим к целесообразности принять что

sin90°=1; cos90°=0, tg90° не существует (tg90°®¥) и ctg90°=0.

Приведем таблицу значений синусов для углов от 0° до 90°с шагом 2°, которую можно получитьуказанным выше способом.

градусы

sin

0,00 0,03 0,07 0,10 0,14 0,17 0,21 0,24 0,28 0,31 0,34 0,37

градусы

sin

0,41 0,44 0,47 0,50 0,53 0,56 0,59 0,62 0,64 0,67 0,69 0,72

градусы

sin

0,74 0,77 0,79 0,81 0,83 0,93 0,87 0,88 0,90 0,91 0,93 0,94

градусы

sin

0,95 0,96 0,97 0,98 0,98 0,99 0,99 1,00 1,00 1,00

Пользуясь значениями тригонометрической функции y=sinx из таблицы, построимграфик.

/>y

/> <td/>

y=sinx

0 30° 60° 90° x

Рис.4.

Основные соотношения между тригонометрическими функциями острого угла

Для прямоугольного треугольника в соответствии с теоремойПифагора

a2+b2=c2

/>или

По определению тогда

(1)

Легко также найти следующие зависимости

(2)

/> (3)

(4)

(5)

/>Из соотношений(1)-(5), которые называют основными, можно вывести и другие вспомогательныесоотношения, например:

/> (6)

/> (7)

(8)

Соотношения (1)-(8) связывают все тригонометрические />
функции так, что по значению одной из них для данного острого угла можно найтизначения всех остальных функций для этого же угла.

Тригонометрические функции произвольного угла

/>/>Пусть в прямоугольнойсистеме координат x0yзадан радиус-вектор образующий с положительным направлениемоси x угол a.Будем считать, что ось x– начальная сторона, а вектор — конечная сторона угла a. Проекциявектора на координатные оси соответственно обозначим ax и ay.

/>Можнопоказать, что отношения где а – длина вектора ,зависят только от

/>/>величиныугла a и не зависят от длины вектора . Поэтому эти отношения можно рассматривать как функции произвольного угла a.

Синусом угла a, образованногоосью x и произвольным радиусом-вектором ,называется отношение проекции этого вектора на ось 0yк его длине:

/> y

A/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />

/> x

Рис.6.

/>Если не указаносколько оборотов совершил вектор вокруг точки 0, то положение вектораопределяет угол с точностью до целого оборота, т.е углу с начальной стороной xи конечной стороной соответствует бесчисленное множество углов, которые выражаются формулой

360°·n+a, где n=0;±1; ±2;±3; ±4;…

и sin(a+360°· n)=sina

Длина радиуса-вектора всегда число положительное. Проекцияего на координатные оси величины алгебраические и в зависимости от координатныхчетвертей имеют следующие знаки:

/>В Iчетверти ax>0; ay>0;

Во II четверти ax<0;ay>0;

В III четверти ax<0;ay <0;

В IV четверти ax>0;ay<0/

График функции y=sinx

До сих пор аргументами тригонометрических функцийрассматривались именованные величины – углы (дуги), измеренные в градусах илирадианах. Значения тригонометрических функций, как отношения отрезков, являютсяабстрактными величинами (числами). При изучении свойств тригонометрическихфункций приходится сравнивать изменения функции в связи с изменениямиаргумента, а сравнивать можно только однородные или, что еще лучше, абстрактныевеличины.

Кроме того, введение тригонометрических функций отабстрактного аргумента дает возможность применять эти функции в различныхвопросах математики, физики, техники и т.д.

/>Вместоименованного значения аргумента тригонометрических функций в x(радианов) будем рассматривать абстрактное число гдеr обозначает радианы, ии по определению принять что

sinx, где x – абстрактное число,равен sinx, где xизмерен в радианах.

Тригонометрические функции являются периодическими, то естьсуществует число а, отличное от 0, такое, что при любом целом nтождественновыполняется равенство:

f(x+na)=f(x), n=0; ±1; ±2 ...

Число а называется периодом функции. Период функции sinx равен 2p. Длянее имеет место формула:

sin(x+2pn)=sinx, гдеn=0; ±1; ±2 ...

График функции y=sinx называютсинусоидой. Для построения графика можно взять значения аргумента x с определенным интервалом и составить таблицу значений y=sinx, соответствующих выбранным значениям x, а затем по точкам, как это часто делается в алгебре,построить график.

/>/>Строим в системе координат x101y1 единичную окружность R=1 с центром 01 на оси абсцисс x1. Дугу этой окружности начиная от точки начиная от точки оси абсцисс x1 =+1,делим на n равных частей:

/>/>Затем строим вторую системукоординат x0y,ось которой x совпадает с осью 1 x1<sub/>, но сначало координат 1(x1 =0) и (x=0) у етих систем различные. В новой системе координатотрезок оси абсцисс от x=0 до x=2p делим на nравных частей: Из точек деленияокружности проводим прямые параллельные оси x,а из точек деления отрезка [0, 2p] проводим прямые,перпендикулярные этой осм. Точки пересечения соответствующих прямых будутточками графика y=sinx, так как ординаты этихточекравны значениям синуса, соответствующим значениям аргумента в точках деленияотрезка [0, 2p].

Рис.8.

Некоторые свойства функции y=sinx

1. Непрерывность.

Функция y=sinx существуетпри всех действительных значения x, причем, графикее является сплошной кривой линией (без разрывов), т.е. функция sinx непрерывна.

2. Четность, нечетность.

Функция y=sinx нечетнаяи ее график симметричный относительно начала координат.

3. Наибольшие и наименьшие значения.

Все возможные значения функции sinx ограничены неравенствами

/>-1£ sinx £+1,

причем sinx=+1, если

и sinx=-1, если

4.Нулевые значения (точкипересечения графика функции с осью абсцисс).

sinx=0, если x=pn (n=0; ±1; ±2;…).

5. Интервалы возрастания и убывания.

Функция возрастает, т.е. большему значению аргументасоответствует большее значение функции на интервалах

(n=0; ±1; ±2;…).