Реферат: Интеграл и его свойства

Теоретические вопросы

Основной задачей дифференциального исчисления являетсянахождение производной f’(x)или дифференциала df=f’(x)dx функцииf(x). Винтегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такуюфункцию F(x), чтоF’(х)=f(x) или dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.

            Такимобразом, основной задачей интегрального исчисления являетсявосстановление функции F(x)по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчислениеимеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Онодает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т. д..

            Определение.Функция F(x), />, называется первообразнойдля функции f(x)на множестве Х, если она дифференцируема для любого />иF’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.

            Теорема.Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

            Теорема.Если F1(x) и F2(x) – две различныепервообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от другапостоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С – постоянная.

Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функцииf(x) на множествеХ называется неопределенным интегралом и обозначается:

/> - (1)

В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральнымвыражением, f(x)– подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, аС –постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из егоопределения.

1.        Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральнойфункции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральномувыражению:

/> и />.

2.        Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равенсумме этой функции и произвольной постоянной:

/>

3.        Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знакнеопределенного интеграла:

/>/>

4.        Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числафункций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

/>

5.        Если F(x)– первообразная функции f(x), то:

/>

6         (инвариантность формул интегрирования). Любая формулаинтегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменитьлюбой дифференцируемой функцией этой переменной:

/>

где u – дифференцируемая функция.

Приведем основныеправила интегрирования функций.

I. />

II. />

III. />

IV. />

V. />

VI. />

            Приведем таблицу основных неопределенныхинтегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, букваu может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию отнезависимой переменной (u=u(x)).)