Реферат: Интеграл Пуассона
.
Пусть ¦(x ), g (x ),x ÎR1 –суммируемые на [-p, p], 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку
f * g(x) =dt
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и
cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ), n = 0, ±1, ±2,… ( 1 )
где {cn ( f )} — коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn = -i n t dt, n = 0, ±1,±2,¼
Пусть ¦ÎL1 (-p,p). Рассмотрим при 0£r <1 функцию
¦r ( x ) = n ( f ) r|n | ei n x, x Î[-p,p], ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r, 0£r <1. Коэффициенты Фурье функции ¦r (х)равны
cn ( fr ) = cn × r|n |, n = 0, ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :
¦r ( x ) = , ( 3 )
где
, t Î[-p,p]. ( 4 )
Функция двух переменных Рr (t), 0 £r<1, t Î[-p,p], называется ядром Пуассона, а интеграл (3) — интегралом Пуассона.
Следовательно,
Pr ( t ) = , 0£r <1, t Î[-p,p]. ( 5 )
Если ¦Î L1 ( -p,p ) -действительная функция, то, учитывая, что
c-n ( f ) = `cn ( f ), n = 0,±1,±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) =
=, ( 6 )
где
F ( z ) = c0( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )
— аналитическая в единичном круге функция. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL1 ( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix ), z = reix, 0 £ r <1, x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой
v (z) = Im F (z) = . ( 8 )
Утверждение1.
Пусть u (z) — гармоническая ( или аналитическая ) в круге |z |<1+e(e>0)функция и ¦ (x) = u (eix ), xÎ[-p, p]. Тогда
u (z) = ( z = reix, | z |<1 ) ( 10 ).
Так как ядро Пуассона Pr (t) — действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) — аналитическая функция:
=, | z |<1+ e .
Но тогда
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x ) при r®1, отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а) ;
б) ;
в) для любого d>0
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.
Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ), 1 £ p < ¥, имеет место равенство
;
если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p), то
.
Доказательство.
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
( 12 )
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона, находим
.
Следовательно,
.
Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r, достаточно близких к единице, мы получим оценку
.
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
.
Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий «максимальная функция» и «оператор слабого типа», которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение1.
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0. Максимальной функцией для функции называется функция
где супремум берется по всем интервалам I, содержащим точку х.
Определение 2.
Оператор называется оператором слабого типа (р, р), если для любого y > 0
.
Теорема 2 (Фату).
Пусть — комплекснозначная функция из . Тогда
для п.в. .
Доказательство.
Покажем, что для и
, ( 13 )
где С — абсолютная константа, а M ( f, x ) — максимальная функция для f (x) [*]. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку
(К — абсолютная константа).
Пусть — такое число, что
.
Тогда для
.
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций , что
,
( 14 )
для п.в. .
Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)
Учитывая, что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)
Из последней оценки получим
при n®¥.
Теорема 2 доказана.
Замечание.
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.
[*] Мы считаем, что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е.
f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] иx-y=2 p ) и f (x) = 0, если |x |>2p.