Реферат: Гамма функции

Бэта-функции 6

Бэта – функции определяютсяинтегралом Эйлера первого рода:

/>=/>/>/> (1.1)

сходятся при />.Полагая />=1 – t получим:

/>= -/> =/>

т.e. аргумент /> и /> входят в /> симетрично. Принимая вовнимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда

/>=/> (1.2)

При целом b = nпоследовательноприменяя(1.2)

Получим

/> (1.3)

при целых />= m,/>= n, имеем

но B(1,1) = 1, следовательно:

/>/>

Положим в (1.1) /> .Так как график функции />симметрична относительнопрямой />, то

и в результате подстановки />, получаем

полагая в(1.1) />, откуда />, получим

/> (1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до /> и применение ко второмуинтегралу подстановки />, получим

/>=/>

2.Гамма-функция 9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлеравторого рода

G(a) =/>/> /> (2.1)

сходящийся при /> 0.Положим />=ty,t > 0, имеем

G(a) =/>

и после замены />, через /> и t через 1+t, получим

Умножая это равенство и интегрируя поt и пределах от 0 до/>, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой частипорядка интегрирования, получаем:

откуда

/> (2.2)

заменяя в (2,1) />, на /> и интегрируем почастям

получаем рекурентною формулу

/> /> (2.3)

так как

но при целом /> имеем

/> (2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функцияпревращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значенияаргумента.При n=1 в (2.4) имеем

3.Производная гамма функции 11

Интеграл

сходится при каждом />, поскольку/>, и интеграл />/> при/>сходится.

В области />, где /> — произвольное положительноечисло, этот интеграл сходится равномерно, так как/> иможна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях /> является и весь интеграл /> так как и второе слогаемоеправой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом/>.Легко видеть что интегралсходится по/>в любой области /> где /> произвольно.Действительнодля всех указаных значений />и длявсех /> />, итак как />сходится, то выполненыусловия признака Веерштрасса. Таким образом, в области />интеграл />cходится равномерно./>

Отсюда вытекает непрерывность гаммафункции при/>.Докажем дифференцируемостьэтой функции при />.Заметимчто функция/> непрерывна при /> и/>, и покажем, что интеграл :

сходится равномерно на каждом сегменте /> , /> . Выберем число/> так, чтобы />; тогда /> при />.Поэтому существует число /> такое, что /> и /> на/>.Но тогда на /> справедливо неравенство

и так как интеграл /> сходится,то интеграл /> сходитсяравномерно относительно /> на />. Аналогично для /> существует такое число />, что для всех /> выполняется неравенство />. При таких /> и всех /> получим />, откуда в силу признакасравнения следует, что интеграл /> сходитсяравномерно относительно /> на />. Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

/>, очевидно, сходится равномерноотносительно />на />. Таким образом, на /> интеграл

сходится равномерно, а, следовательно, гаммма функциябесконечно дифференцируема при любом /> исправедливо равенство

/>/>.

Относительно интеграла />можна повторить тежерассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, чтоГ-функция бесконечно дифференцируема при/>идля ее я />-ой производной справедливоравенство

Изучим теперь поведение /> — функции и построим єскизее графика .

Из выражения для второй производной />-функции видно, что /> для всех />. Следовательно, /> возрастает. Поскольку />, то по теореме Роля насегменте [1,2]производная /> при /> и/> при />, т. е. Монотонно убываетна />и монотонно возрастает на />. Далее, поскольку />, то />при />. При /> из формулы />следует, что /> при />.

Равенство />,справедливое при />, можноиспользовать при распространении /> — функциина отрицательное значение />.

Положим для/>, что />. Правая часть этогоравенства определена для /> из (-1,0).Получаем, что так продолженная функция /> принимаетна (-1,0) отрицательные значения и при />,а также при /> функция />.

Определив таким образом />на />, мы можем по той жеформуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением /> окажется функция,принимающая положительные значения и такая, что />/>/>при /> и />. Продолжая этот процесс,определим функцию />, имеющею разрывыв целочисленных точках />(см.рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительныхзначениях />, продолжение наотрицательные значения />осуществлено намиформально с помощью формулы приведения />/>.

(рис.1)

4. Вычисление некоторыхинтегралов. 16

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию квычислению интеграла:

где m >-1,n > -1.Полагая, что />, имеем

/>/>

и на основании (2.2) имеем

/> (3.1)

В интеграле

Где k > -1,n >0, достаточно положить />

/>/>

Интеграл

Где s > 0, разложить в ряд

/>/>/>

=/>

где />дзетта функцияРимана

Рассмотрим неполные гамма функции(функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая,/> в ряд имеем

Переходя к выводу формулыСтирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n, рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

/> (3.2)

Непрерывна на интервале (-1,/>) монотонно возрастает от /> до/> при изменении /> от /> до/> и обращаются в 0 при u = 0.Так как

то />при u > 0 и при u < 0, далее имеем

И так производная непрерывна иположительна во всем интервале />, удовлетворяетусловию

Из предыдущего следует, чтосуществует обратная функция, /> определеннаяна интервале /> непрерывная и монотонновозрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

/>/> (3.3)

Формулу Стирлинга выведем изравенства

полагая />, имеем

Положим далее />введенная выше обратнаяфункция, удовлетворяющая условиям u = -1при />, и /> при /> .Замечая что(см.3.2)

имеем

/>,

полагая на конец ,/>, получим

или

в пределе при />т.е. при />(см3.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

/> (3.4)

где /> , при />/>

для достаточно больших /> полагают

/> (3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если /> целоеположительное число, то /> и (3.5)превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при большихзначениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов 22

Для вычисления необходимы формулы:

Г(/>)/>

Вычислить интегралы

/>/>

Міністерствоосвіти і науки України

Запорізький державнийуніверситет

ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ

Зав. каф. Математичного аналізу

д. т. н. проф. ____ С.Ф.Шишканова

_________________________2002р.

ПОЯСНЮВАЛЬНАЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ

ГАМА ФУНКЦІЇ

Розробив

Ст… гр… 8221-2

СадиговР.А.

Керівник

Ст. викладач

КудряВ.І.

Запоріжжя 2002.

СодержаниеЗадание на курсовую работу… ...................................2

Реферат… ...................................4

введение… ...................................5

1. Бета функции……………………………………………..............6

2. Гамма функции… ...................................9

3. Производная гамма функции… ..................................11

4. Вычисление интегралов формулаСтирлинга............................16

5. Примеры вычеслений… ..................................22

вывод… ..................................24

Список литературы……………………………………………..............25

Реферат

Курсовая работа: 24 ст., 5 источников,1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения.

В работе идет речь о представлении бета и гаммафункций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И оих применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова:

ГАММА И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ,ПРЕДЕЛ.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых ввиде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только отформальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящимиот параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлерапервого рода:

гамма функция представляется интегралом Эйлера второгорода:

Вывод

Гамма функции являются удобным средством длявычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которыене представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широкоприменяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в другихотраслях современной науки.

Список литературы1. Специальные функции и их приложения:Лебедев И.И., М., Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х., М.,”Московскийуниверситет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П., М., Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А., М., Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов, М.,”Высшаяшкола”,1965

еще рефераты

Еще работы по математике