Реферат: Вычисление двойных интегралов методом ячеек

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИЧувашский государственныйуниверситет им. И. Н. УльяноваКУРСОВАЯ РАБОТАпо вычислительной математике.

Вычисление двойных интегралов методом ячеек.

Выполнил студент

факультета ИиВТ,

группа ИВТ-11-00Борзов ЛеонидЧебоксары-2002

 

Содержание.

 

Теоретическая часть…………………………………………3

Задание………………………………………………………..4

Текст программы. ……………………………………………5

Блок-схема программы…………………….………………...6

Выполнение программы в математическом пакете………..7

Список использованной литературы……………………......8


Теоретическая часть.

Численные методы могутиспользоваться для вычисления кратных интегралов. Ограничимся рассмотрениемдвойных интегралов вида

I=/>                                          (1)

Одним из простейшихспособов вычисления этого интеграла является метод ячеек. Рассмотримсначала случай, когда областью интегрирования G является прямоугольник: />/>, />.По теореме о среднем найдём среднеезначение функции f(x,y):

/> S=(b-a)(d-c).                       (2)

/>Будем считать, что среднее значение приближённо равнозначению функции в центре прямоугольника, т. е. />.Тогда из (2) получим выражение для приближённого вычисления двойного интеграла:

/>      (3)

Точность этой формулы можно повысить,если разбить область G напрямоугольные ячейки D/>ij (рис. 1): xi-1/>i(i=1,2,…,M), yi-1/>i  (j=1,2,…,N). Применяя к каждой ячейке формулу(3), получим

òòDGijf(x,y)dxdy»¦(/>)DxiDyi.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим значениедвойного интеграла:

/>I,/>j)                                    (4)

В правой части стоит интегральнаясумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стягиванияих в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывнойфункции f(x,y).

Можно показать, что погрешностьтакого приближения интеграла для одной ячейки оценивается соотношением

Rij»/>DxiDyj/>.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все ихплощади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде

/>O(Dx2+Dy2).

Таким образом, формула (4) имеетвторой порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычныеметоды сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают водинаковое число раз, т. е. отношение M/Nостаётся постоянным.

Если область G непрямоугольная, то в ряде случаев её целесообразно привестик прямоугольному виду путём соответствующей замены переменных. Например, пустьобласть задана в виде криволинейного четырёхугольника: />, />. Данную область можнопривести к прямоугольному виду с помощью замены />,/>. Кроме того, формула (4)может быть обобщена и на случай более сложных областей. 

 Задание. Найти при помощи метода ячеек значение интеграла />, где /> – область, ограниченнаяфункциями />.

Текстпрограммы.

#include<conio.h>

#include<iostream.h>

float f(float,float);

void main() {

 const float h1=.0005,h2=.001;

 float s1,x,y,i,I;

 clrscr();

 s1=h1*h2;

 I=0;

 y=h2/2;

 x=1-h1/2;

 for(i=0;i<1/h2;i++) {

  while (y<2*x-1) {

   I+=s1*f(x,y);

   x-=h1;

 }

 y+=h2;

 x=1-h1/2;

 }

cout<<«Площадьинтеграла равна: „<<I;

 getch();

}

float f(float x,float y){

 return x*x+y*y;

}

Блок-схема программы.

x=1-h1/2

  />/>

/> 



/>/>

Выполнениепрограммы в математическом пакете.

h1=.0005;

h2=.001;

s1=h1*h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for i=1:1/h2

while y<2*x-1  I=I+s1*(x*x+y*y);

 x=x-h1;

end

y=y+h2;

x=1-h1/2;

end

disp('Площадь интеграла равна:');

disp(I);

В зависимости от шагов сетки получаем сразличной точностью значение искомого интеграла

/>

Площадь интеграла равна:

    0.2190

/>

 

/>

 

Список использованной литературы.

1. Бахвалов Н.С. Численныеметоды. т.1 – М.: Наука. 1975.

2. Демидович Б.П., Марон И.А.Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966.

3. Калиткин  Н.Н Численныеметоды. – М.: Наука, 1978.

4. Турчак Л. И. Основычисленных методов. – М.: Наука, 1987.

еще рефераты
Еще работы по математике