Реферат: Правильные многогранники или тела Платона

Платонупринадлежит  разработка некоторых важных методологических проблем математическогопознания: аксиоматическое построение математики, исследование  отношений между  математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математическогознания.  Так, процесс доказательства  необходимо связывает набор доказанных положенийв систему,  в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт,что начала математических наук «суть предположения», может вызвать сомнениев истинности всех  последующих  построений.  Платон считал такое сомнениенеобоснованным.  Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, «пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности  и  не могут датьдля них основания»,  предположения находят основания посредством диалектики.Платон высказал и ряд других положений,  оказавшихся  плодотворными  дляразвития математики. Так, в диалоге «Пир» выдвигается  понятие предела;  идея  выступает здесь как предел становления вещи.

ТЕЛА ПЛАТОНА.

ТелаПлатона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники.Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следуетуже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранниковне больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пятьправильных многогранников (это доказал Евклид). Они — правильный тетраэдр, куб,октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

ТАБЛИЦА№1

Название: Число ребер при вершине Число сторон грани

Число

граней

Число

 ребер

Число вершин Тетраэдр 3 3 4 6 4 Куб 3 4 6 12 8 Октаэдр 4 3 8 12 6 Додекаэдр 3 5 12 30 20 Икосаэдр 5 3 20 30 12

ТАБЛИЦА№2

Название: Радиус описанной сферы Радиус вписанной сферы Объем

/>/>/>Тетраэдр

а\/6

  4

a\/6

12

a3\/2

12

/>Куб

а\/3

  2

a

2

a3

/>/>/>Октаэдр

а\/2

  2

a\/6

  6

a3\/2

12

/>/>/>/>/>/>/>/>Додекаэдр

a

4  \/18+6\/5

1

2      25+11\/5

              10

a3

4 (15+7\/5)

/>/>/>Икосаэдр

a

12(3+\/5)\/3

5

12 a3(3+\/5)

Тетраэдр-четырехгранник,все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдрограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильныхмногоугольников. (рис.1).

Кубили правильный гексаэдр — правильная четырехугольная призма с равными ребрами,ограниченная шестью квадратами. (рис.2).

Октаэдр-восьмигранник;тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемьюравносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.(рис.3).

Додекаэдр-двенадцатигранник,тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; одиниз пяти правильных многогранников. (рис.4).

Икосаэдр-двадцатигранник,тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничендвадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильныхмногогранников. (рис.5).

Куби октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одногопринять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр.Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением«крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любыечетыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба всеостальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пятидействительно правильных многогранников удивителен- ведь правильныхмногоугольников на плоскости бесконечно много!

Всеправильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвященазаключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Этимногогранники часто называют также платоновыми телами в идеалистической картинемира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из нихолицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду иоктаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мирозданиеего по латыни стали называть quintaessentia («пятая сущность»). Придумать правильныйтетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формыимеют природные кристаллы, например: куб-монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр-монокристалл алюмокалиевыхквасцов ((KalSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдрадревние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить иикосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.

/>

Рисунки: 1-Тетраэдр, 2-Куб,3-Октаэдр, 4-Додекаэдр, 5-Икосаэдр.

Список литературы

1.«СоветскаяЭнциклопедия» Москва 1979г.

2.Математическийэнциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия», 1988г.

3.Математика:Школьная энциклопедия /Гл. ред. М 34 С.М. Никольский. — М.: Научноеиздательство «Большая Российская энциклопедия», 1996,-527 С.: ил

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/