Реферат: Комплексные числа
<i/>Министерство Образования Российской Федерации
Отдел образования Ленинского района
Техничестая школа-лицей.
Д О К Л А Д
Комплексные числа и действия с ними.
Ученика 9 “а” класса
Князева Вячеслава.
г. Владивосток
1998
1. История развития комплексных чисел.
Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубическогоуравнения, т.е. ещё в 16 веке.
И доэтого открытия при решении квадратного уравнения x2 + + = pxприходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратныйкорень из (p/2)2 — q,<sup/> где величина (p/2)2была меньше, чем q. Но в таком случаезаключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чиселв это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло бытьи мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось,что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительныйкорень.
Теориякомплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математикимира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощьюкомплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся кдействительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалосьсомнительным. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18веке русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён инародов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом(Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя иАргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развитвеликим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием.
2.О комплексных числах.
Всвязи сразвитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных иотрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.
Комплексноечисло имеет вид a + bi;здесь a и b– действитель-
ныечисла, а i – число нового рода,называемое мнимой единицей.
“Мнимые”числа составляют частный вид комплексных чисел
(когда а= 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексныхчисел (когда b = 0).
Действительноечисло a назовем абсциссойкомплексного числа a + bi; действительное число b– ординатой комплексного числа
a + bi. Основноесвойство числа i состоит в том, чтопроизведе-
ниеi*i равно–1, т.е.
i2=-1. (1)
Долгоевремя не удавалось найти такие физические величины, над которыми можновыполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия надкомплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”,“мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физическихвеличин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но такжеи в физике и технике.
Оставим встороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.
Правилокаждого действия над комплексными числами выводится из определения этогодействия. Но определения действий над комплексными числами не вымышленыпроизвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правиламидействий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриватьсяне в отрыве от действительных, а совместно с ними.
3. Соглашение о комплексных числах.
1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i).
П р и м е ры.Запись 3 + 0i обозначает то же,что запись 3. Запись –2 + 0i означает–2.
2. Комплексное число вида 0 + biназывается “чисто мнимым”. Запись biобозначает то же, что 0 + bi.
3. Два комплекных a + bi, a’ + b’i считаются равными,если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если
a = a’, b = b’. В противномслучае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:
2 + 5i = 8 + 2i, то поправилам алгебры мы имели бы i = 2,тогда как i не должно бать действительнымчислом.
З а м е ч ан и е.Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и екомплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, чточисло 2 + 5i есть суммачисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, чтоу нас есть парадействительных чисел: 2 (абсцисса) и 5(ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое5 + 7i.
4.Сложение комплексных чисел
О п р е д ел е н и е. Суммой комплексных чисел a+ bi и a’+ b’iназывают комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.
Этоопределение подсказывается правилами действий с обачными многочленами.
Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 — 3i
Пример2. (2 + 0i) + (7 + 0i)= 9 + 0i. Так как запись 2 + 0iозначает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычнойарифметикой (2 + 7=9).
Пример3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i
Пример4. (-2 + 3i) + ( — 2 – 3i) = — 4
Впримере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Двакомплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженныхкомплексных чисел равна действительному числу.
За м е ч а н и е. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеемправо рассматривать комплексное число a +bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 ичисло 5i в сумме дают число 2 + 5i.
4.Вычитание комплексных чисел.
О п р е д е ле н и е. Разностью комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое)и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.
Пример1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i
Пример2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6
5.Умножение комплексныхчисел.
Определениеумножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, ичтобы 2) число i обладало свойством i2= — 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться aa’+ (ab’ + ba’)i + bb’i2 , а в силу требования 2) это выражениедолжно равняться (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующееопределение.
Оп р е д е л е н и е. Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число
(aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.
З а м е ч а ни е 1. Равенство i2= -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характертребования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i2 , т. е. i*i, равнозначна записи(0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1, ab’ + ba’ = 0, так что произведение есть –1 + 0i, т. е. –1.
З а м е ч а н и е 2. На практике нет нуждыпользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, какдвучлены, а затем положить, что i2= -1.
Пример1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i2 = 3 – 6i + 2i+ 4 = 7 – 4i.
Пример2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b2
Пример 2показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительноеи притом положительное число.
6. Деление комплексных чисел.
Всоответсвиис определением деления действительных чисел устанавливается следующееопределение.
Оп р е д л е н и е. Разделить комплексное число a + bi на комплексноечисло a’ + b’i – значит найтитакое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Еслиделитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всегонаходить следующим образом.
Пример1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).
Записавдробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:
((7 – 4i)(3 — 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.
Пример1 предудущего параграфа даёт проверку.
Пример2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) =(-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.
Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу:
Чтобыдоказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножитьеё на a’ + b’. Получим a + bi.
З а м е ч а ни е 1.Формулу (1) было бы принять за определение деления.
З а м е ч а ни е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом. Согласноопределению, мы должны иметь: (a’ + b’i)(x + yi) = a + bi. Значит, должныудовлетворяться следующие два уравнения:
a’x – b’y = a; b’x + a’y = b.
Этасистема имеет единственное решение:
если a’/b’ = -b’/a’, т. е. если a’2 + b’2= 0.
Остаетсярассмотреть случай a’2 + b’2 = 0. Он возможен лишь тогда, когда a’ = 0 и b’ = 0, т. е.когда делитель a’ + b’i равен нулю. Еслипри этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое неравно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности).
7. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Действительныечисла можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг.1, где точка Аизображает число; а точка В – число –5. Эти же числа можно изображать также
отрезкамиОА, ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.
Каждаяточка М “числовой прямой” изображает некоторое действительное число(рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное,если несоизмерим ). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места длякомплексных чисел.
Нокомплексные числа можно изобразить на числовой плоскости прямоугольную системукоординат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг.2). Комплексное число a + bi мы изображаемточкой М, у которой абсцисса х ( на фиг.2 х=ОР=
=QM) равна абсциссе а комплексного, а ордината у (OQ=РM) равна ординате b комплексного числа.
Пр и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображаеткомплексное число 3 + 5i. Точка Визображает комплексное число –2 + 6i;точка С – комплексное число – 6 – 2i;точка D – комплексное число 2 – 6i.
Действительныечисла ( в комплексной форме они имеют вид a+ 0i) изображают точками оси Х, а чистомнимые – точками оси У.
Пр и м е р ы.Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L – чисто мнимое число 3i;точка N – чисто мнимое число – 4i. Начало координат изображают число 0.
Сопряжённыекомплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно осиабсцисс; так, точки С и С’ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа –6 – 2i и — 6 + 2i.
Комплексныеможно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися всоответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но такжевектором ОВ; комплексное число –6 – 2iизображается вектором ОС и т. д.
За м е ч а н и е.Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мыподчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направлениеотрезка.
8. Модуль и аргумент комплексного числа.
Длинавектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексногочисла. Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительноечисло. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi |, а также буквой r.Из чертежа видно, что
r = | a+ bi | = a2+ b2
Модульдействительного числа совпадает с его абсолютным значением. Сопряжённыекомплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль.
9. Геометрический смысл сложения и вычитания
комплексных чисел.
Пустьвекторы ОМ и ОМ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u z’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексныхчисел.
Построенныйуказанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’.
Итак, суммадвух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельныеслагаемые.
Длинастороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому
||z| — |z’||< |z + z’|<|z| +|z’|.
Равенствоимеетсмысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые (фиг.5) илипротивоположные (фиг.6) направления. В первом случае |OM| + |OM’| = |OK|, т. е. |z +z’|=|z| + + |z’|. Во втором случае |z+ z’|=||z|- |z’||.
10. Тригонометрическая форма комплексногочисла.
Абсциссаа и ордината b комплексного числа a + bi выражаются черезмодуль r и агрумент q. Формулами
a = r cos q; b = r sin q.
Поэтому всякое комплексное комплексное число можнопредставить в виде r(cos q+ i sin q),где r > 0.
Этовыражение называется нормальной тригонометрической формой или,короче, тригонометрической формой комплексного числа.
Материал иснользовался из книги
М. Я.Выгодский; Справочник по элементарной математике: -
- Государственное издательство физико–математической литературы;Москва; 1960