Реферат: Комплексные числа

Министерство общего и профессиональногообразования РФ

 

Гимназия № 12

реферат

на тему:  Комплеклсные числа

                                                                                        Выполнил:         ученик9 “Д”                  класса

                                                                                                                    КрутькоЕ.А.

                                                                                        Проверила:  СанинаВ.Г.

Тюмень 1999

 


План.


1.   Зачем нужны новые числа?

 

2.   Неприводимый случайкубического уравнения.

 

3.   Действительное + мнимое =комплексное.


      


       Когдамы слышим слово “число”, то на ум прежде всего приходят натуральные числа: 1,2, 3… Их мы используем для пересчета разнообразных предметов. Если натуральныхчисел оказывается недостаточно, прибегаем к дробям, а точнее – к рациональнымчислам. И то, как правило, не ко всем, а лишь к тем, которые выражаютсяконечными десятичными дробями. Уж их-то вполне хватает для повседневных нужд.Конечные десятичные дроби позволяют фиксировать результаты всевозможныхизмерений с произвольной точностью. Чего же еще ждать от чисел?

       Но вот нам говорят, что существуютнесоизмеримые величины. Например, диагональ квадрата несоизмерима с егостороной, т.е. отношение их длин -/>-не является рациональным числом, хотя и может с любой наперед заданнойточностью быть приближенно рациональным числом. И тогда становится понятно, чтопроще признать эти новые, иррациональные числа, чем каждый раз вместо “решимуравнение x2=2”говорить“ найдем такое x, чтобы x2отличалось от 2 не более, чем на такую-то величину”.

       Построенное таким образом сообщество –множество действительных чисел – уже не только удовлетворяет нашим практическимпотребностям, но и обладает определенной теоретической полнотой. Оно позволяетформулировать разнообразные задачи, сводить их к уравнениям и решать, не боясьвпасть в противоречие. Нельзя, например, делить на нуль, нельзя извлекатькорень четной степени из отрицательных чисел и т.д. Однако правила этинесложны, и если им строго следовать, то все будет в порядке…

       Но все ли? Рассмотрим такойпример: /> можно считать равным и 1, и–1, а определить /> невозможно. Сдругой стороны, что такое 1/6? Это то же самое, что 2/12.Однако />= (-1)1/6, (-1)2/12/>, а последний корень можноизвлечь!

       Вот еще один пример: />.

Но если квадратного корня из –1 не существует, то иего четвертой степени не существует. Значит, -1 нельзя возвести даже в квадрат?

       Кому-то покажется, что все это не настоящиепротиворечия. Можно наложить дополнительные запреты на действия с числами, иподобные ситуации больше не возникнут. Но всегда ли разумны запреты? Представьте себе, что некоторые задачи весьма успешно решаются толькос нарушением определенного запрета, и никак не удается найти “законного”способа их решения. Не стоит ли в таком случае отказаться от ограничения,ставшего слишком обременительным? Именно этопроизошло в свое время с запретом извлекать квадратный корень из отрицательныхвеличин при решении так называемого неприводимого случая кубического уравнения.

Для решения уравнения вида />  былавыведена формула

/>,

прдобно тому как для решения квадратного уравнениясуществует общая формула, выражающая корни уравнения через его коэффиценты,аналогичная формула есть и для кубического уравнения. Она называется формулойКардано – по имени математика, впервые ее опубликовавшего. Но, к примеру, дляуравнения

х3 = 30х + 36

Формула Кардано дает

х =/>

Под квадратным корнем здесь оказалось отрицательноечисло. В то же время имеет решение х = 6 – это легко проверить.

       Однако, предположим на секунду, что корни изотрицательных чисел существуют. Тогда, если научиться извлекать кубическиекорни из выражения вида А+/>,можно будет вычислить х=/> Мыполучим 3+/> и 3-/>.В самом деле, возведем в куб выражение 3+/>,воспользовавшись формулой (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:

/>

Аналогично, /> Поэтому х/>.

       Как видим, “странные” корни успешносокращаются. То есть мы решили обычное уравнение и нашли корень – обычноедействительное (и даже натуральное) число. Но для этого в промежуточныхвыкладках нам пришлось оперировать “необычными“ числами. И самое главное –никаким другим способом, за исключением разве что угадывания, это решениеполучить не удается! 

       Теперь у нас есть три пути:

-      безоговорочно следовать установленным запретами отказаться от новых приобретений, т.е. считать, что никакого метода решениянеприводимого случая кубического уравнения у нас нет;

-      “спрятать голову в песок”, т.е. каждый раз,решая уравнение, при переходе к действию с выражениями вида /> говорить “извените!”, а возвращаясь “на законнуюпочву”, делать вид, что ничего не произошло;

-      коль скоро допустили в промежуточные вкладкиобъекты новой природы, всерьез заняться их изучением: дать определение,исследовать свойства, научиться выполнять арифметические операции.

        Хотя и не сразу, но в конечном итогематематеки выбрали третий путь. И были вознаграждены: “странные” корни нашлиширокое применение в электротехнике, аэродинамике и других областях знаний.

       Итак, кроме привычных действительных (буквально– “реально существующих”) чисел нам приходится рассматривать еще числа вида/>, где А – положительное действительное число. Что зачисла, как их “потрогать руками” – все это вопросы, не имеющие ответа. Мыпросто договарились считать, что они есть. И вполне естественно, что такиечисла были названы мнимыми, т.е. “нереальными”. Сама идея комплексного числавозникла у итальянских математиков XVI в. в процессе решенияуравнений 3-й и 4-й степеней.

       Но кое-что о мнимых числах ма все же знаем.Например, что при возведении в квадрат они дают отрицательные числа. Далее, поскольку/>, то />=/>, а /> -это обычное действительное число. Значит, мнимое число можно получить исходя изединственного мнимого числа/>,если умножить его на подходящее действительное число. Таким образом, вместобезбрежного океана таинственных обьектов мы имеем один-единственный непривычныйобъект, все же остальные строятся с помощью операции умножения. Согласитесь, стакой ситуацией примерится уже гораздо легче.

       Число />,играющее роль “строительного блока” в мире мнимых чисел, называют мнимойединицей и по предложению Леонардо Эйлера обозначают i (от лат. imaginarius – “мнимый”), но формальные операции над комплексными числами ввелБомбелли. Основное свойство мнимой единицы выражается простым равенством:

/>.

       Однако, как подсказывает опыт решениякубических уравнений, кроме действительных и мнимых нам приходитсярассматривать также числа вида А+/>, которыепредставляют собой сумму действительного. Такие числа именуются комплексными,т.е. составными.

       А теперь, суммируя все сказанное, сформулируемнаконец определение комплексного числа: комплексным числом называется выражениевида a+bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимаяединица.


Список использованной литературы

 

В. Антонов. Энциклопедия для детей. Том 11.Математика –

Москва: изд-во “Аванта+”,1998. – 688 с.

еще рефераты
Еще работы по математике