Реферат: Правильные и полуправильные многогранники

Реферат выполнила: Гилева Мария,  класс 10«В», школа 41

2000/2001 учебный год

Правильные и полуправильные многогранники(платоновы и архимедовы тела)

Правильныммногогранником называется выпуклый многогранник, грани которого – равныеправильные многоугольники, а двугранные углы при всех вершинах равны междусобой. Доказано, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится однои то же число граней и одно и то же число ребер.

 Всего в природе существует пять правильных многогранников. По сравнению сколичеством правильных многоугольников это – очень мало: для каждого целогоn>2 существует один правильный n-угольник, т.е. правильных многоугольников –бесконечно много. Правильные многогранники имеют названия по числу граней:тетраэдр (4 грани): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12граней) и икосаэдр (20 граней). По-гречески «хедрон» означает грань,«тетра», «гекса» и т. д. – указанные числа граней. Нетруднодогадаться, что гексаэдр есть не что иное, как всем знакомый куб. Гранитетраэдра, октаэдра и икосаэдра – правильные треугольники, куба — квадраты,додекаэдра – правильные пятиугольники.

 Если обозначить количество углов у одной грани правильного многогранника за q,а количество граней, сходящихся в одной вершине – за p, можно получить точныехарактеристики каждого правильного многогранника. Вот они (первое число – q,второе – p): (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3). При этом у куба и октаэдра, атакже у икосаэдра и додекаэдра, числа p и q оказываются как бы переставленными.Эти многогранники называют двойственными. Тетраэдр считается двойственным самсебе. У двойственных многогранников количество ребер одинаковое.

 Правильные многогранники симметричны. Это означает, что для любого произвольновыбранного ребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернутьмногогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD, точка A– в любой его конец (C или D), а грань F совпадет с одной из двух примыкающих кнему граней. Таких возможных поворотов – самосовмещений всего существует 4P,где P – число ребер многогранника. При этом половина из них – повороты вокругвоображаемых осей, соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединамиребер и граней на углы, кратные соответственно 2p/q, p и 2p/p, а другая половина – симметрииотносительно плоскостей и «зеркальные повороты». Указанное«свойство максимальной симметричности» иногда принимают заопределение правильного многогранника. Но человеку, далекому от математики,трудно представить себе геометрическое тело с таким определением.

 Иоганн Кеплер называл куб «родителем» всех правильных многогранников.На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников.

 Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то ихконцы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра – это центры гранейкуба. Полученные многоугольники действительно правильные, так как их грани –правильные треугольники. Равенство же двугранных углов следует из того, что приповороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое.

 Для того, чтобы построить икосаэдр, на каждой грани куба нужно построитьотрезок длиной x (пока что это – любая длина) так, чтобы он был параллелен двумсторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях.Середина его должна совпадать с центром грани. Соединим концы этих отрезковмежду собой, и мы получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и прикаждой вершине их пять. Найдем такое число x, при котором все ребра этогомногогранника равны, т. е. он правильный. Т.к. куб симметричен, то все ребра,не принадлежащие граням куба равны между собой. Примем длину ребра куба за a.Рассмотрим треугольник ABC (рис. 2), где AC=a–x, BC2=CD2+BD2 = 1/4a2+1/4x2. Потеореме Пифагора получаем:         AB2=AC2+CB2=(x2+a2+(a–x)2)/4.

 ПриравниваяAB к x, получаем квадратное уравнение: x2+ax–a2=0, откуда x=a(Ö5–1)/2. Интересно, что полученныймножитель при a, т. е. отношение ребра куба к ребру вписанного в него икосаэдра– не что иное, как золотое сечение.

 Теперь докажем равенство двугранных углов. Рассмотрим 5 ребер, выходящих източки A. Концы их всех равноудалены и от точки A, и от центра куба O. Отсюдаследует, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O, а значит – наокружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A, равны. Значит, эти пятьточек и точка a – вершины правильной пирамиды, а ее двугранные углы при вершинеравны.

 Додекаэдр из икосаэдра можно получить так же, как и октаэдр из куба. соединяясередины смежных граней икосаэдра, мы получаем правильнгый пятиугольни. Всеготаких пятиугольников будет 12. Двугранные углы многоугольника будут равны, таккак трехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы.

 Правильные многогранники также называют платоновыми телами, хотя они былиизвестны еще за несколько веков до Платона. В одном из своих диалогов Платонсвязал правильные многоугольники с четырьмя стихиями. Тетраэдру соответствовалогонь, кубу – земля, октаэдру – воздух, икосаэдру – вода. Додекаэдрусоответствовала пятая стихия – эфир.

 Так называемые полуправильные многогранники связывают с именем Архимеда. Это 13тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных рядаправильных призм и антипризм с равными ребрами.

 В эпоху Возрождения ученый Иоганн Кеплер вслед за Платоном попытался связатьправильные многогранники со строением Вселенной. С большей или меньшейточностью он разместил между сферами, содержащими орбиты шести известныхпланет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан околоменьшей сферы и вписан в большую. Но имя Кеплера в геометрии прославилооткрытие двух из четырех правильных звездных тел. Два других в 1809 г. нашелфранцуз Луи Пуансо.

Рис.1  Правильные многогранники

/>  />/>/>/>

 Тетраэдр          Куб      Октаэдр   Додекаэдр          Икосаэдр

Рис.2Получение правильных многогранников из  куба

/>/>/>/>

Рис.3 Архимедово тело, образованное из икосаэдра

/>

Рис.4 Одно из звездных тел

/>

Список литературы

Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/