Реферат: РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(1)
Способы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в основном разделяют на две группы: 1) точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления решений системы (вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными), 2) итера-ционные методы, позволяющие получить решения системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов.
Приведем ряд точных методов решения СЛАУ.
1. Формулы Крамера.Если определитель системы (1) отличен от нуля, то ее решения можно найти по формулам:
,,, …,, где
— определитель системы (1),
,, …, -дополнительные определители для
2. Метод обратной матрицы.Обозначим через матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1), через столбец свободных членов матрицы (1) и через столбец из неизвестных. Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения
Если матрица невырожденная, т. е. ее определитель не равен 0, то существует обратная матрица. Умножая обе части уравнения на матрицу слева, получим: .
3. Метод Гаусса.Наиболее распространенным приемом решения систем линейных алгебраических уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных. Этот метод носит название метода Гаусса. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными
(1)
Пусть (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1) на, получим:
, (2),
где
, .
Пользуясь уравнением (2), легко исключить из системы (1) неизвестную. Для этого достаточно из второго уравнения системы (1) вычесть уравнение (2), умноженное на, из третьего уравнения системы (1) вычесть уравнение (2), умноженное на и т. д. В результате получим систему
(3),
где коэффициенты, вычисляются по формуле
, .
Разделив коэффициенты второго уравнения системы (3) на «ведущий элемент» ( ), получим уравнение
(4),
где
,
Исключая теперь таким же способом, каким мы исключили, придем к следующей системе уравнений:
(5),
где
,
Разделив коэффициенты третьего уравнения системы (5) на «ведущий элемент» ( ), получим:
(6),
где
,
Исключив теперь аналогичным путем из системы (5), будем иметь:
(7),
где
,
Отсюда
(8) ( ),
где
,
Получим систему:
(9)
Неизвестные последовательно определяют из системы уравнений (9):
Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (9), имеющей треугольную матрицу. Необхо-димым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех «ведущих элементов». (Если на каком-то шаге «ведущий элемент» оказался равным нулю, то надо переставить местами уравнения.)
Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы называют прямым ходом, процесс получения значений неизвестных – обратным ходом метода Гаусса.
Полученные методом Гаусса приближенные решения можно уточнить. Для этого нужно найти невязку для приближенного решения. Пусть — приближенное решение системы, а точный корень уравнения, т. е., – невязка, тогда .
При решении системы
по методу Гаусса мы заменяли матрицу
исходной системы, треугольной матрицей
эквивалентной треугольной системы. Элементы треугольной матрицы последовательно получались из матрицы исходной системы и вспомогательных матриц с помощью следующих элементарных преобразований:
1. деления на «ведущие элементы», которые предполагались отличными от нуля;
2. вычитания из строк исходной матрицы и промежуточных матриц чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.
При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий «ведущий» элемент, при второй – определитель матрицы остается неизменным. Поэтому
Следовательно,
,
т. е. определитель равен произведению «ведущих элементов» для соответствующей схемы Гаусса.
Для нахождения обратной матрицы используем соотношение, где — единичная матрица.
Перемножая матрицы и, будем иметь систем уравнений относительно неизвестных
где
Полученные систем линейных уравнений для имеющих одну и ту же матрицу и различные свободные члены, одновременно можно решить методом Гаусса.