Реферат: Двойной интеграл в полярных координатах

/> <td/> />
Пусть в двойном интеграле

(1)

приобычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos j, y = r sin j. (2)

/>Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности)и j = ji (лучи) (рис.1).

/>Введем обозначения:

Drj = rj+1 — rj,

Dji = ji+1 — ji

Таккак окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до бесконечно малых высшегопорядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольникис измерениями rjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейкибудет равна:

DSi = rj Dji Drj (3)

Чтокасается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границеГ области интегрирования S, то эти ячейкине повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

Вкачестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')

Двойнойинтеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причемможно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральнойсуммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитываяформулы (3) и (3'), />
получаем:

(4)

гдеd — максимальный диаметр ячеек DSij и сумма распространена на все ячейкиуказанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины ji и rj суть числа иих можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точекплоскости Ojr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой дляфункции

f(r cosj, r sinj)r,

/> <td/> />
соответствующая прямоугольной сеткес линейными элементами Dji и Dri.Следовательно

(5)

/>
Сравнивая формулы (4) и (5), получимокончательно

(6)

Выражение

dS = r dj dr

называетсядвумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойноминтеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить поформулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

/> <td/> />
Для вычисления двойного интеграла(6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Гдеr1(j), r1(j) — однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).

Имеем

(8)

Где

F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)

Пример1.

/> <td/> />
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл

/>Где S — первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Таккак

/>/>
то применяя формулу (6),

/>/>/>
получим