Реферат: Иррациональные уравнения
ВВЕДЕНИЕ
Вшкольном курсе алгебры рассматриваются различные виды уравнений – линейные,квадратные, биквадратные, кубические, рациональные, с параметрами,иррациональные и другие. Данная курсовая работа посвящена иррациональнымуравнениям, методам их решения. Кроме того, в работе введены понятия уравненийследствий и равносильных уравнений, а также приведены примеры задач,математическими моделями которых служат иррациональные уравнения. В данной работесодержится небольшая историческая справка, посвященная введению иррациональныхчисел.
1. ИЗ ИСТОРИИ
Термин«рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводомгреческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающиеотношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными,т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины“рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым исоответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называливыразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными.В V-VI вв.римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis. Термин «соизмеримый» (commensurabilis) ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций.
Древнегреческиематематики классической эпохи пользовались только рациональными числами(вернее целыми, дробными и положительными). В своих «Началах» Евклид излагаетучение об иррациональностях чисто геометрически.
МатематикиИндии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию иастрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако,длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональнуювеличину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимоесловами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели этослово латинским словом surdus – глухой.В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известногопереводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем уитальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков,вплоть до XVIII в. Правда уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математикРафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятиеиррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевинписал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных,иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чиселсуществует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночинад их удивительной закономерностью.»
Ещедо Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудахупотребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того,комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, ОмарХайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа доположительного действительного числа. В том же направлении много было сделанокрупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.
Математикии астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилонаи эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями,арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». Поаналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики»ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечениякорней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичныедроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.)показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкогоприближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррациональногочисла являются десятичные дроби. Появление «Геометрии» Декарта облегчилопонимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величинвообще) и необходимости расширения понятия рационального числа. На числовойоси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Этогеометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел испособствовало их признанию.
В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и онеограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичныхдробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория ихбыла разработана лишь в XIX в.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Равносильныеуравнения. Следствия уравнений.
Прирешении уравнений выполняются различные тождественные преобразования надвыражениями, входящими в уравнение. При этом исходное уравнение изменяетсядругими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.
Определение:Уравнение f(x)=g(x) равносильноуравнению f1(x)=g1(x), если каждый корень первого уравнения является корнем второго иобратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. ихрешения совпадают.
Например,уравнения 3x-6=0; 2х–1=3 равносильны, т.к. каждое изуравнений имеет один корень х=2.
Любыедва уравнения, имеющие пустое множество корней, считают равносильными.
/> Тот факт, что уравнения f(x)=g(x) и f1(x)=g1(x) равносильны,обозначают так:
/> <td/> />f(x)=g(x) f1(x)=g1(x)
Впроцессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данноеуравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теорема1: Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую,изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному.
Доказательство:
Докажем, что уравнение f(x) = g(x)+q(x) (1)
равносильно уравнению
f(x) – q(x) =g(x) (2)
Пустьх=а – корень уравнения. Значит имеет место числовое равенство f(a)=g(a)+q(a). Но тогда посвойству действительных чисел будет выполняться и числовое равенство f(a)-q(a)=g(a) показывающее,что а – корень уравнения (2). Аналогично доказывается, что каждый кореньуравнения (2) является и корнем уравнения (1).
Чтои требовалось доказатью.
Теорема2: Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число,то получим уравнение, равносильное данному.
Доказательство:докажем, что уравнение 6х–3=0 равносильно уравнению 2х–1=0
решимуравнение 6х–3=0 и уравнение 2х–1=0
6х=3 2х=1
х=0,5 х=0,5
таккак корни уравнений равны, то уравнения равносильны.
Чтои требовалось доказать.
Рассмотримуравнение
/>
ОДЗэтого уравнения {х ≠ 1, х ≠ -3}
Мызнаем, что дробь равна нулю в том случае, когда ее числитель равен нулю, т.е.х²+х–2=0, а знаменатель не равен 0. Решая уравнение х²+х–2=0, находимкорни х1=1, х2 = –2. Но число 1 не входит в ОДЗ данного уравнения и значит,исходное уравнение имеет один корень х=-2.
/>
В этом случае говорят, чтоуравнение х²+х–2=0, есть следствие уравнения
пустьданы два уравнения:
f1 (x) = g1 (x) (3)
f2 (x) = g2 (x) (4)
Есликаждый корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то уравнение (4)называют следствием уравнения (3).
/>
Этот факт записывают так:
Втом случае, когда уравнение (3) — есть также следствие уравнения (4), этиуравнения равносильны.
/>
Два уравнения равносильны в том,и только в том случае, когда каждое из них является следствием другого.
Вприведенном выше примере уравнение – следствие
х²+х–2=0, имеет два корня x1=1 и х2 =-2, аисходное уравнение имеет один корень х=-2. В этом случае корень х=1 называютпосторонним для исходного уравнения
/>
Вобщем случае корни уравнения-следствия, не являющиеся корнями исходногоуравнения, называют посторонними.
/>
Итак, если при решении уравненияпроисходит переход к уравнению – следствию, то могли появиться посторонниекорни. В этом случае все корни уравнения-следствия нужно проверить, подставляяих в исходное уравнение. В некоторых случаях выявление посторонних корнейоблегчается знанием ОДЗ исходного уравнения – корни, не принадлежащие ОДЗ,можно сразу отбросить. Так, в приведенном примере посторонний корень х=1 невходит в ОДЗ уравнения и потому отброшен.
/>
Иногда посторонние корни могутпоявиться и при тождественных преобразованиях, если они приводят к изменениюОДЗ уравнения. Например, после приведения подобных членов в левой частиуравнения
ОДЗкоторого {х ¹-2},
/>
получим уравнение следствиех²-4=0 имеющее два корня х1 = 2, х2 = -2 корень х2 = -2 – посторонний,так как не входит в ОДЗ исходного уравнения.
Втех случаях, когда в результате преобразований произошел переход от исходногоуравнения к уравнению, не являющемуся его следствием, возможна потеря корней.
Например,уравнение (х+1)(х+3)= х+1 (5)
Имеетдва корня. Действительно, перенося все члены уравнения в левую часть и выносях+1 за скобки, получим (х+1)(х+2)=0, откуда находим х1=-1, х2=-2 .
Еслиже обе части уравнения (5) разделить («сократить») на х+1, то получим уравнениех+3=1, имеющее один корень х=-2. В результате такого преобразования кореньх=-1 потерян. Поэтому делить обе части уравнения на выражение, содержащеепеременную, можно лишь в том случае, когда это выражение отлично от нуля.
Длятого, чтобы в процессе решения уравнения избежать потери корней, необходимоследить за тем, чтобы переход осуществлялся либо к равносильным уравнениям, либок уравнениям-следствиям.
2.2. Определение иррациональных уравнений.
Иррациональныминазываются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или подзнаком операции возведения в дробную степень.
Например:
/>
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХУРАВНЕНИЙ.
3.1.Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения водну и ту же степень.
Пример№1
/>
/> <td/> />Решить уравнение /> <td/> />
Возведем обе части уравнения (1) вквадрат:
далеепоследовательно имеем:
5х– 16 = х² — 4х + 4
х²- 4х + 4 – 5х + 16 = 0
х²- 9х + 20 = 0
/>
/>/>Проверка: Подставив х=5 в уравнение (1),получим – верное равенство. Подставив х= 4 в уравнение (1),получим – верное равенство. Значит оба найденных
значения– корни уравнения.
Ответ:4; 5.
Пример№2
Решитьуравнение:
/>
(2)
Решение:
Преобразуемуравнение к виду:
/> и применим метод возведения в квадрат:
/>
далеепоследовательно получаем.
/>
Разделимобе части последнего уравнения почленно на 2:
/>
еще раз применим метод возведения вквадрат:
далеенаходим:
9(х+2)=4–4х+х²
9х+18–4+4х-х²=0
-х²+13х+14=0
х²-13х–14=0
х1+х2=13 х1 =19
х1х2 = -14 х2 = -1
потеореме, обратной теореме Виета, х1=14, х2 = -1
корниуравнения х²-13х–14 =0
/>
Проверка:подставив значение х=-14 в уравнение (2), получим–
— не верное равенство. Поэтому х = -14 – не корень уравнения (2).
/> Подставив значение x=-1 в уравнение (2), получим-
— верное равенство. Поэтому x=-1- кореньуравнения (2).
Ответ:-1
3.2 Метод введения новых переменных.
/>
Решитьуравнение
Решение:
Конечно,можно решить это уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну иту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новыхпеременных.
/>
Введемновую переменную Тогда получим 2y²+y–3=0 – квадратное уравнение относительно переменной y. Найдем его корни:
/>
/>/>/>
Т.к. , то – не корень уравнения, т.к. не
/>
можетбыть отрицательным числом. А - верное равенство, значит x=1- корень уравнения.
Ответ:1.
Искусственныеприёмы решения иррациональных уравнений.
Решитьуравнение:
/>
(1)
Решение:
Умножим обе части заданного уравнения на выражение
/>
сопряжённоевыражению
/>
Таккак
/>
/>То уравнение (1) примет вид:
Или
Произведениеравно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, адругой при этом известен. Тогда x1=0.Остаётсярешить уравнение:
/>
(2)
Сложивуравнения (1) и (2), придём к уравнению
/>
(3)
Решаяуравнение (3) методом возведения в квадрат, получим:
/>
Проверка:
/>
x1=0, x2=4, x3= -4 подставимв уравнение
/>
1)
/>
- не верное равенство, значит x1=0- некорень уравнения.
/>2)
/>
/> — верное равенство, значит x2=4- корень уравнения.
/>
3)
/>
/>
- не верное равенство, значит x3= -4- некорень уравнения.
Ответ: 4.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак,уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называютсяиррациональными. Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеихчастей уравнения в квадрат (или n-ую степень)или введением новой переменной. Кроме того, пользуются и искусственнымиприемами решения иррациональных уравнений.
Список литературы
1)А.Г.Мордкович. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений — Москва: Издательство «Мнемозина», 1999.
2)М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике — Москва: Издательство«Наука», 1986.
3)А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва: Издательство«Педагогика», 1989.
4)А.И.Макушевич. Детская энциклопедия – Москва: Издательство «Педагогика», 1972.
5)Н.Я.Виленкин. Алгебра для 9 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классовс углубленным изучением изучением математики – Москва: Издательство «Просвещение»,1998.
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта www.ed.vseved.ru/