Реферат: Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить только при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Пусть вероятности Р(В1), Р(В2), …, Р(Вn) наступления событий В1, В2, …, Вn известны. Также известны условные вероятности наступления события А:

,, …, .

Как найти Р(А)? Ответ дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А)=Р(В1) (А)+Р(В2) (А)+…+Р(Вn) (А)=

. (1.1.7.1)

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Доказательство. По условию событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1, В2, …, Вn. Это значит, что появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А, …, ВnА. По теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(В1А)+Р(В2А)+…+Р(ВnА). (*)

Но чему равна вероятность Р(ВiА)?

По теореме умножения вероятностей зависимых событий

Р(ВiА)=Р(Вi) (А). (**)

Подставим (**) в (*) и получим

,

что и требовалось доказать.

Пример 1. На первом заводе из каждых 100 электролампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором – 95, на третьем – 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50, 30 и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазин. Найти вероятность приобретения в магазине стандартной электролампочки.

Решение. Обозначим через Вi событие, заключающееся в том, что купленная в магазине лампочка изготовлена на i-м заводе, А – лампочка оказалась стандартной.

Тогда

Р(В1)=0,5; Р(В2)=0,3; Р(В3)=0,2;

(А)=0,9; (А)=0,95; (А)=0,85.

По формуле полной вероятности

=0,9×0,5+0,95×0,3+0,85×0,2=0,905.