Реферат: Теория игр и принятие решений

Взависимости от условий внешней среды и степени информативности лица принимающегорешение (ЛПР) производится следующая классификация задач принятия решений:

а)в условиях риска;

б)в условиях неопределённости;

в)в условиях конфликта или противодействия (активного противника).

Теория полезности и принятия решений.

Принятие решений в условиях риска.

Критерий ожидаемого значения.

Использованиекритерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемуюприбыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величинпредполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока небудут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядиттак: пусть Х– случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x1,x2,...,xn –значения случайной величины (с.в.) X, тосреднее арифметическое их (выборочное среднее) значений /> имеет дисперсию />. Таким образом,когда n ® ¥

/>® 0 и />® MX.

Другимисловами при достаточно большом объёме выборки разница между среднимарифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемаяпредельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерияожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решениеприходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентацияна ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которыеприходится принимать небольшое число раз.

Пример1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактическийремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае еслиремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большимипри малых потерях из-за случайных поломок.

Таккак невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимонайти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент ”риска”.

Математическиэто выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-заполомки. Через T интервалов времени выполняетсяпрофилактический ремонт всех n ПЭВМ.Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общиезатраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта врасчёте на один интервал времени.

Пустьрt –вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а nt –случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент.Пусть далее С1 – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С2 –затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применениекритерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течениебольшого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ= />,

гдеM(nt) – математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как ntимеет биномиальное распределение с параметрами (n, pt), то M(nt) = npt. Таким образом

ОЗ= />

Необходимыеусловия оптимальности T* имеют вид:

ОЗ(T*-1) ³ ОЗ (T*),

ОЗ(T*+1) ³ ОЗ(T*).

Следовательно,начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

ПустьС1 = 100; С2 = 10; n = 50. Значения ptимеют вид:

T

 рt

/>

ОЗ(Т) 1 0.05

/>

2 0.07 0.05 375 3 0.10 0.12 366.7 4 0.13 0.22 400 5 0.18 0.35 450

T*® 3, ОЗ(Т*) ® 366.7

Следовательнопрофилактический ремонт необходимо делать через T*=3интервала времени.

Критерий “ожидаемое значение – дисперсия”

Критерийожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить идля редко повторяющихся ситуаций .

Еслих – с. в. с дисперсией DX, то среднееарифметическое /> имеет дисперсию />, где n – числослогаемых в />.Следовательно, если DX уменьшается, ивероятность того, что /> близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, вкотором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией еёдисперсии.

Пример2. Применим критерий “ожидаемое значение – дисперсия” для примера 1. Для этогонеобходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

зТ=<sub/>/>

Т.к.nt, t =/>– с.в.,то зТ также с.в. С.в. nt<sub/>имеетбиномиальное распределение с M(nt) = npt<sub/>и D(nt) = npt(1–pt). Следовательно,

D(зТ)= D(/>) =/>D(/>) =

=/>/>= />/> = n /> {/>– />},

гдеС2n = const.

Изпримера 1 следует, что

М(зТ)= М(з(Т)).

Следовательноискомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т))+ к D(зТ).

Замечание.Константу “к” можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т.к. “к”определяет “степень возможности” дисперсии Д(зТ) по отношению кматематическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно острореагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то онможет выбрать “к” много больше 1. Это придаёт больший вес дисперсии и приводитк решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

Прик =1 получаем задачу

/>/>

Поданным из примера 1 можно составить следующую таблицу

Т

 pt

 pt2

/>

/>

М(з(Т))+D(з(Т)) 1 0.05 0.0025 500.00 2 0.07 0.0049 0.05 0.0025 6312.50 3 0.10 0.0100 0.12 0.0074 6622.22 4 0.13 0.0169 0.22 0.0174 6731.25 5 0.18 0.0324 0.35 0.0343 6764.00

Изтаблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждогоинтервала Т*=1.

Критерий предельного уровня.

Критерийпредельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыльили минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемогоспособа действий.

Пример3. Предположим, что величина спроса x вединицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задаётся непрерывнойфункцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшемвозможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периодазапасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаяхвозможны потери.

Т.к.определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимыйуровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышалаА1 единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала А2единиц. Иными словами, пусть I – искомый уровень запасов. Тогда

ожидаемыйдефицит = />,

ожидаемыеизлишки =/>.

Припроизвольном выборе А1 и А2 указанные условия могутоказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно изограничений, чтобы обеспечить допустимость.

Пусть,например,

/> />

Тогда

/> = /> = 20(ln />+/>– 1)

/> = /> = 20(ln />+/>– 1)

Применениекритерия предельного уровня приводит к неравенствам

ln I – /> ³ ln 20 – />– 1 = 1.996 – />

ln I – /> ³ ln 10 – />– 1 = 1.302 – />

Предельныезначения А1 и А2 должны быть выбраны так, что бы обанеравенства выполнялись хотя бы для одного значения I.

Например,если А1 = 2 и А2 = 4, неравенства принимают вид

ln I – /> ³ 1.896

ln I – /> ³ 1.102

ЗначениеI должно находиться между 10 и 20, т.к.именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условиявыполняются для I, из интервала (13,17)

I 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

ln I – />

1.8 1.84 1.88 1.91 1.94 1.96 1.97 1.98 1.99 1.99 1.99

ln I – />

1.3 1.29 1.28 1.26 1.24 1.21 1.17 1.13 1.09 1.04 0.99

Любоеиз этих значений удовлетворяет условиям задачи.

Принятие решений в условияхнеопределённости.

Будемпредполагать, что лицу, принимающему решение не противостоит разумныйпротивник.

Данные,необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются вформе матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможнымсостояниям системы.

Пусть,например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечностькоторого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаютсяизвестными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данногоматериала.

Вариантырешения таковы:

Е1– выбор размеров из соображений максимальной долговечности ;

Еm– выбор размеров из соображений минимальной долговечности ;

Ei – промежуточные решения.

Условиятребующие рассмотрения таковы :

F1 – условия, обеспечивающие максимальной долговечность;

Fn<sub/>–<sub/>условия, обеспечивающие minдолговечность;

Fi – промежуточные условия.

Подрезультатом решения eij = е(Ei; Fj<sub/>) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Ei и условиям Fj и характеризующие прибыль, полезность илинадёжность. Обычно мы будем называть такой результат полезностью решения.

Тогдасемейство (матрица) решений/>имеет вид :

F1

F2

… .

Fn

E1

e11

e12

… .

e1n

E2

e21

e22

… .

e2n

… . … .

Em

em1

em2

… .

emn

Чтобыприйти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решениюнеобходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений /> сводится кодному столбцу. Каждому варианту Eiприписывается, т.о., некоторый результат eir, характеризующий, в целом, всепоследствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать темже символом eir.

Классические критерии принятия решений .

1. Минимаксный критерий .

Правиловыбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретироватьследующим образом:

матрицарешений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов eir каждой строки. Необходимо выбрать теварианты в строках которых стоят наибольшее значение eir этого столбца.

Выбранныет.о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решениене может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который онориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним изфундаментальных.

ПрименениеММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

1o. О возможности появления внешних состоянийFj ничего не известно;

2o. Приходится считаться с появлениемразличных внешних состояний Fj;

3o. Решение реализуется только один раз;

4o. Необходимо исключить какой бы то ни былориск.

2. Критерий Байеса – Лапласа.

Обозначимчерез qi –вероятность появления внешнего состояния Fj.

Соответствующееправило выбора можно интерпретировать следующим образом:

матрицарешений/>дополняется ещё одним столбцом содержащим математическое ожидание значенийкаждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшеезначение eir этого столбца.

Приэтом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение,характеризуется следующими обстоятельствами:

1о.Вероятности появления состояния Fjизвестны и не зависят от времени.

2о.Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.

3о.Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

Придостаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенностабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо рискпрактически исключён.

Т.о.критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однакоон предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

3о. Критерий Сэвиджа.

/>

Величинуaij можно трактовать как максимальныйдополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этоговнешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие всостоянии Fj при замене оптимального для него вариантана вариант Ei. В последнем случае eir представляет собой максимально возможные(по всем внешним состояниям Fj, j =/>) потери в случае выбора варианта Ei.

Соответствующеекритерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:

1).Каждый элемент матрицы решений /> вычитается из наибольшегорезультата max eij соответствующего столбца.

2).Разности aij образуют матрицу остатков/>. Эта матрица пополняетсястолбцом наибольших разностей eir.Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбцазначение.

Требования,предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают стребованием к ММ-критерию.

4о. Пример и выводы.

Изтребований, предъявляемых к рассмотренным критериям становится ясно, что вследствии их жёстких исходных позиций они применимы только для идеализированныхпрактических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация,можно применять одновременно поочерёдно различные критерии. После этого срединескольких вариантов ЛПР волевым методом выбирает окончательное решение. Такойподход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемыпринятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Пример.При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации ипроверять ЭВМ на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информацииприводит к определённым экономическим издержкам. В случае же если вирус вовремяобнаружен не будет, возможна потеря и некоторой части информации, что приведёти ещё к большим убыткам.

Вариантырешения таковы:

Е1–полная проверка;

Е2–минимальная проверка;

Е3–отказ от проверки.

ЭВМможет находиться в следующих состояниях:

F1– вирус отсутствует;

F2– вирус есть, но он не успел повредить информацию;

F3– есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Результаты,включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанныес восстановлением информации имеют вид:

Таблица1.

ММ-критерий критерий B-L

F1

F2

F3

eir=/>eij

/>eir

eir =/>

/>eir

E1

-20.0 -22.0 -25.0 -25.0 -25.0 -22.33

E2

-14.0 -23.0 -31.0 -31.0 -22.67

E3

-24.0 -40.0 -40.0 -21.33 -21.33

СогласноММ-критерию следует проводить полную проверку. Критерий Байеса-Лапласа, в предположении,что все состояния машины равновероятны.

P(Fj) = qj = 0.33,

рекомендуетсяотказаться от проверки. Матрица остатков для этого примера и их оценка (втысячах) согласно критерию Сэвиджа имеет вид:

Критерий Сэвиджа

F1

F2

F3

eir=/>aij

/>eir

E1

+20.0 +20.0

E2

+14.0 +1.0 +6.0 +14.0 +14.0

E3

+2.0 +15.0 +15.0

Примерспециально подобран так, что каждый критерий предлагает новое решение.Неопределённость состояния, в котором проверка застаёт ЭВМ, превращается внеясность, какому критерию следовать.

Посколькуразличные критерии связаны с различными условиями, в которых принимаетсярешение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иныхкритериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности,если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, торекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико,лучше пользоваться критериями минимакса или Севиджа.

Производные критерии.

1о. Критерий Гурвица.

Стараясьзанять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предположил оценочную функцию, котораянаходится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма:

/>eir= {C/>eij +(1- C) />eij},

гдеС– весовой множитель.

Правиловыбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом:

матрицарешений /> дополняетсястолбцом, содержащим среднее взвешенное наименьшего и наибольшего результатовдля каждой строки. Выбираются только те варианты, в строках которых стоятнаибольшие элементы eir<sub/>этого столбца.

ПриС=1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При С = 0 он превращается вкритерий “азартного игрока”

/>eir = />/>eij ,

т.е.мы становимся на точку зрения азартного игрока, делающего ставку на то, что«выпадет» наивыгоднейший случай.

Втехнических приложениях сложно выбрать весовой множитель С, т.к. трудно найтиколичественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которыеприсутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего С := 1/2.

КритерийГурвица применяется в случае, когда :

овероятностях появления состояния Fjничего не известно;

споявлением состояния Fjнеобходимо считаться;

реализуетсятолько малое количество решений;

допускаетсянекоторый риск.

2о. Критерий Ходжа–Лемана.

Этоткритерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий Баеса-Лапласа. Спомощью параметра n выражаетсястепень доверия к используемому распределений вероятностей. Если довериевелико, то доминирует критерий Баеса-Лапласа, в противном случае – ММ-критерий,т.е. мы ищем

/>eir = />{n /> +(1-n) />eir}, 0 £ n £ 1. />

Правиловыбора, соответствующее критерию Ходжа-Лемана формируется следующим образом:

матрицарешений /> дополняется столбцом,составленным из средних взвешенных (с весом n º const) математическое ожиданиями и наименьшегорезультата каждой строки (*). Отбираются те варианты решений в строках которогостоит набольшее значение этого столбца.

Приn = 1 критерий Ходжа-Лемана переходит вкритерий Байеса-Лапласа, а при n = 0становится минимаксным.

Выборn субъективен т. к. Степень достоверностикакой-либо функции распределения – дело тёмное.

Дляприменения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которойпринимается решение, удовлетворяла свойствам:

вероятностипоявления состояния Fj неизвестны, но некоторые предположения ораспределении вероятностей возможны;

принятоерешение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

прималых числах реализации допускается некоторый риск.

3о. Критерий Гермейера.

Этоткритерий ориентирован на величину потерь, т.е. на отрицательные значения всех eij. При этом

/>eir = />/>eij qj.

Т.к.в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами,условие eij<0 обычно выполняется. В случае же, когдасреди величин eij встречаются и положительные значения,можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования eij<sub/>- a при подходящем образом подобранном a > 0. При этомоптимальный вариант решения зависит от а.

Правиловыбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом :

матрицарешений />дополняетсяещё одним столбцом содержащим в каждой строке наименьшее произведениеимеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те варианты в строках которыхнаходится наибольшее значение eijэтого столбца.

Вкаком-то смысле критерий Гермейера обобщает ММ-критерий: в случае равномерногораспределения qj = />, j =/>, они становятся идентичными.

Условияего применимости таковы :

вероятностипоявления состояния Fj неизвестны;

споявлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимосчитаться;

допускаетсянекоторый риск;

решениеможет реализоваться один или несколько раз.

Еслифункция распределения известна не очень надёжно, а числа реализации малы, то,следуя критерию Гермейера, получают, вообще говоря, неоправданно большой риск.

4о. BL(MM) — критерий.

Стремлениеполучить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чемвсе до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составныхкритериев. В качестве примера рассмотрим критерий, полученный путем объединениякритериев Байеса-Лапласа и минимакса.

Правиловыбора для этого критерия формулируется следующим образом:

матрицарешений /> дополняетсяеще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожиданиякаждой из строк, во втором — разность между опорным значением

/>

инаименьшим значением

/>

соответствующейстроки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением

/>

каждойстроки и наибольшим значением /> той строки, в которой находитсязначение /> .Выбираются те варианты, строки которых (при соблюдении приводимых нижесоотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшеематематическое ожидание. А именно, соответствующее значение

/>

извторого столбца должно быть или равно некоторому заранее заданному уровню риска/>. Значениеже из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.

Применениеэтого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которойпринимается решение:

вероятностипоявления состояний Fj неизвестны, однако имеется некотораяаприорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;

необходимосчитаться с появлением различных состояний как по отдельности, так и вкомплексе;

допускаетсяограниченный риск;

принятоерешение реализуется один раз или многократно.

BL(MM)-критерий хорошо приспособлен для построенияпрактических решений прежде всего в области техники и может считатьсядостаточно надежным. Однако заданные границы риска /> и, соответственно, оценок риска /> не учитывает ничисло применения решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективногофактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.

Условие

/>

существеннов тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. Вэтих условиях недостаточно ориентироваться на риск, связанный только сневыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, правда,можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числереализаций это условие перестает быть таким уж важным. Оно даже допускаетразумные альтернативы. При этом не известно, однако, четких количественныхуказаний, в каких случаях это условие следовало бы опускать.

5о. Критерий произведений.

/>eir:<sub/>= />/>eij

Правиловыбора в этом случае формулируется так :

Матрицарешений /> дополняетсяновым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки.Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этогостолбца.

Применениеэтого критерия обусловлено следующими обстоятельствами :

вероятностипоявления состояния Fj неизвестны;

споявлением каждого из состояний Fj поотдельности необходимо считаться;

критерийприменим и при малом числе реализаций решения;

некоторыйриск допускается.

Критерийпроизведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все eij положительны. Если условиеположительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг eij<sub/>+ а с некоторой константой а > ï/>eijï. Результат при этом будет, естественнозависеть от а. На практике чаще всего

а:= ï/>eijï+1.

Еслиже никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерийпроизведений не применим.

Пример.

Рассмотримтот же пример (табл. 1).

Построениеоптимального решения для матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеетвид (при С =0.5, в 103):

х

 С/>eij

(1-С)/>eij

eir

/>eir

-20.0 -22.0 -25.0 -12.5 -10.0 -22.5 -14.0 -23.0 -31.0 -15.5 -7.0 -22.5 -24.0 -40.0 -20.0 -20.0 -20.0

Вданном примере у решения имеется поворотная точка относительно весовогомножителя С: до С = 0.57 в качестве оптимального выбирается Е3, апри больших значениях – Е1.

Применениекритерия Ходжа-Лемана (q = 0.33, n = 0.5, в 103) :

/>

/>eij

n/>

(1-n)/>eij

eir

/>eir

-22.33 -25.0 -11.17 -12.5 -23.67 -23.67 -22.67 -31.0 -11.34 -15.5 -26.84 -21.33 -40.0 -10.67 -20.0 -30.76

КритерийХоджа-Лемана рекомендует вариант Е1 (полная проверка) – так же как иММ-критерий. Смена рекомендуемого варианта происходит только при n = 0.94. Поэтому равномерное распределениесостояний рассматриваемой машины должно распознаваться с очень высокойвероятностью, чтобы его можно было выбрать по большему математическомуожиданию. При этом число реализаций решения всегда остаётся произвольным.

КритерийГермейера при qj = 0.33 даёт следующий результат (в />):

/>

/>

eir =/>eijqj

/>eir

-20.0 -22.0 -25.0 -6.67 -7.33 -8.33 -8.33 -8.33 -14.0 -23.0 -31.0 -4.67 -7.67 -10.33 -10.33 -24.0 -40.0 -8.0 -13.33 -13.33

Вкачестве оптимального выбирается вариант Е1. Сравнение вариантов спомощью величин eir показывает, что способ действия критерияГермейера является даже более гибким, чем у ММ-критерия.

Втаблице, приведенной ниже, решение выбирается в соответствии с BL(MM)-критериемпри q1=q2=q3=1/2 (данные в 103).

/>

/>

/>

/>

/>

-20.0 -22.0 -25.0 -23.33 -20.0 -14.0 -23.0 -31.0 -22.67 +6.0 -14.0 +6.0 -24.0 -40.0 -21.33 +15.0 +20.0

ВариантЕ3 (отказ от проверки) принимается этим критерием только тогда,когда риск приближается к />. В противном случае оптимальнымоказывается Е1. Во многих технических и хозяйственных задачахдопустимый риск бывает намного ниже, составляя обычно только незначительныйпроцент от общих затрат. В подобных случаях бывает особенно ценно, еслинеточное значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Еслипри этом оказывается невозможным установить допустимый риск />заранее, не зависимо отпринимаемого решения, то помочь может вычисление ожидаемого риска />. Тогдастановится возможным подумать, оправдан ли подобный риск. Такое исследованиеобычно дается легче.

Результатыприменения критерия произведения при а = 41×103 и а = 200×103 имеют вид :

/>

eir =/>eij

/>eir

+21 +19 +16 6384 6384 а=41 +27 +18 +10 4860 +41 +17 +1 697 +180 +178 +175 5607 а=200 +186 +177 +169 5563 +200 +176 +160 5632 5632

Условиеeij > 0 для данной матрицы не выполнимо. Поэтому к элементам матрицыдобавляется (по внешнему произволу) сначала а = 41×103, а затем а = 200×103.

Дляа = 41×103 оптимальным оказываетсявариант Е1, а для а = 200×103 – вариант Е3, так что зависимостьоптимального варианта от а очевидна.