Реферат: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне

Курсовая работа по информатике

Исполнитель: Солнцев П.В.

Санкт-Петербургский Государственный ТехнологическийИнститут (Технический Университет)

Санкт-Петербург 2001

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить триосновных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выборспособа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.

Цель данной работы – на примере исследованияраспределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основныеметоды приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельныхисследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Постановка задачи

Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимостьисследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня,помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследованиеможет проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температурыв различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математическоймодели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловойпоток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постояннаятемпература 0.

/>

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осьюстержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределениятемпературы по стержню) мосле момента установления режима Т0.

/> <td/> />
Первая математическая модель используетэкспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получаютстатистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степенямx (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена)./> <td/> />
 (1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестныхпараметров, т.е. коэффициентов a0, a1 и a2,например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующаяэкспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и можетупотребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимомала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui

/> <td/> />
Третья математическая модель основана наиспользовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x)имеет вид:

 (1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметрстержня, температура потока, в который помещён стержень.

/> <td/> />
Ищем U(x) как решениекраевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

 (1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L –длина стержня, постоянная температура, поддерживаемая на концахстержня.

Коэффициент теплопроводности  зависитот температуры:

/> <td/> />
 (1.4)

где начальное значение коэффициента теплопроводности, вспомогательный коэффициент.

/> <td/> />
Коэффициент теплоотдачи вычисляютпо формуле:

 (1.5)

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь значение при tстремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.

/> <td/> />
Время Т0, по истечении которогораспределение температуры в стержне можно считать установившимся определяетсяпо формуле:

 (1.6)

/> <td/> />
где а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:

 (1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

L = 0.0386 м

D = 0,00386 м

оС

оС

141,85 (Вт/м*К)

2,703*10-4

6,789*10-7

3,383*102 (Вт/м2*К)

218 оС

 А =3,043*10-5 (м2/с)

11

X, м

U, oC

353 0,00386 343 0,00772 313 0,01158 261 0,01544 184 0,01930 74

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

/> <td/> />
Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценкикоэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающиеминимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальныхзначений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е.минимум величины S:

 (2.1)

/> <td/> />
В нашем случае необходимым т достаточнымусловием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

/> <td/> />
Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:/> <td/> />
 (2.3)/> /> /> /> /> /> <td/> />
Сумма/> <td/> />
Система (2.3) примет вид:

 (2.4)

/> <td/> />
В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4)через “p”:/> <td/> />
Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдёмобратную матрицу p-1. Врезультате получаем:/> <td/> />
Подставляя в (2.1) найденные значения оценоккоэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:

 Smin=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценоккоэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

/> <td/> />
Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерениявеличины Ui<sub/>независимыи распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая неизвестна. Для имеющихся измеренийтемпературы Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:/> <td/> />
Где r – число степеней свободысистемы, равное разности между количеством экспериментальных точек иколичеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3./> <td/> />
Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

 

/> <td/> />
Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентовнайдём по формулам:

 Где Sk – минор соответствующего диагонального элементаматрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7

/> <td/> />
Откуда:/> <td/> />
Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальномузакону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данныхUi./> <td/> />
Известно, что эти оценки несмещённые иэффективные. Тогда случайные величины:

 Имеют распределения Стьюдента, а r =3.

/> <td/> />
Выбираем доверительную вероятность =0,9и по таблице Стьюдента находим критическое значение равное 2,35, удовлетворяющее равенству:/> <td/> />
Доверительные интервалы для коэффициентов:

 (2.4*)

/> <td/> />
В нашем случае примут вид:

/>

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватностимодели задачи регрессии.

/> <td/> />
Имеется выборка объёма nэкспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией Мы выбрали функцию регрессии в виде:/> <td/> />
Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленомвторого порядка, т.е. функцией вида:

 (2.5)

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Cпомощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсииотдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4(количество точек – 6, параметра – 2).

/> <td/> />
Нормальная система уравнений для определенияновых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:

 (2.7)

/> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> /> />
Решая эту систему методом Гаусса, получим:

 (2.8)

Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, темменьше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui,т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выборомдополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор междуфункциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия междусоответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Н0 – альтернативная гипотеза

Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии приувеличении степени многочлена.

/> <td/> />
В качестве статического критерия рассмотримслучайную величину, равную:

 (2.9)

имеющую распределение Фишера с(r; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределенияФишера, находим критическое значение F*, удовлетворяющее равенству: p(F>F*=

В нашем случае F=349.02, а F*=10,13.

/> <td/> />
Если бы выполнилось практически невозможноесоотношение F>F, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом

, коэффициенты в котором неодинаковы.

3. Нахождение коэффициента теплопроводности .

/> <td/> />
 Коэффициент вычислимпо формуле (1.5), обозначим:/> <td/> />
 (3.1)/> <td/> />
Определим допустимую абсолютную погрешностьвеличины интеграла I, исходя из требования, чтобы относительнаяпогрешность вычисления не превосходила 0,1%, т.е.:

 (3.2)

/> <td/> />
Т.к. из (3.1) очевидно, что , то условие (3.2) заведомо будет выполнено, если:

 (3.3)

Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютнойпогрешности вычисления интеграла I возьмём 0,001Т (3.4)

Т=218 оС, следовательно, 0,218 оС.

3.1 Вычисление интеграла Iметодом трапеции

 Использование теоретической оценки погрешности

/> <td/> />
Для обозначения требуемой точности количествачастей n, на которые нужно разбить отрезок интегрирования [0;T]определяется по формуле:

, где M[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3

/> <td/> />
Учитывая формулу (3.4) получаем:

 (3.5)

/> /> /> /> /> /> <td/> />
Дифференцируя f(t),получим:/> <td/> />
А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0,откуда получаем:

Далее вычисляем значения f’’(t)при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.588610-4

f’’(t2)=-1.662710-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.478210-6

Итак: M1,5886 10-4, откуда n=25.66;принимаем N=26.

/> <td/> />
Далее вычислим интеграл I:

Погрешность вычисления :

/>

3.2 Вычисление интеграла I методомпарабол

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
При расчётах будем использовать теоретическуюоценку погрешности с помощью правила Рунге. Для обеспечения заданной точностиколичество частей n, на которое следует разделить интервал интегрированияможно определить по формуле:/> <td/> />
, откуда:

Нахождение М4 можно провести аналогичнонахождению М2 в предыдущем пункте, но выражение для fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге– наиболее простой способ.

Обозначим через In и I2nзначение интеграла I, полученное при разбиении промежутка интегрированиясоответственно на n и 2n интервалов. Если выполнено равенство: |I2n-In| = 15 ,то |I-I2n|=

/> <td/> />
Будем, начиная с n=2, удваивать n дотех пор, пока не начнёт выполняться неравенство (*1), тогда:

 (3.6)

/> <td/> />
Согласно формуле парабол (3.7):

Результаты вычислений сведём в таблицу:

n

In

I2n

4 102.11 8 101.61 0.5017

По формуле (3.7) I = 101,61 что впределах погрешности совпадает со значением, полученным по методу трапеций

n=8 n=4

ti (8)

y8

ti (4)

y4

1 1 27.25 0.9864 54.5 0.8959 54.5 0.8959 81.75 0.6901 109 0.4151 109 0.4151 136.25 0.1796 163.5 0.0514 163.5 0.0514 190.75 0.0089874 218 0.00088179 218 0.00088179

4. Вычисление времени Т0установлениярежима

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

Время установления режима определяется по формулам(1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax.Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) =0. Проведём процесс отделения корня.

F(x) -1 -0.6285 0.4843 x 0.01 0.05 0.1

т.е. с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует иявляется единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)<0– условие существования корня выполняется

f’(x) на[a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0– условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью непревышающей 

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0

/> <td/> />
f”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f”(x)>0на (a;b), следовательно касательные строим справа, а хордыслева. Приближение корня по методу касательных: /> <td/> />
по методу хорд:/> <td/> />
Вычисление ведём до того момента, пока невыполнится условие:

Результаты вычислений заносим в таблицу:

n

an

bn

f(an)

f(bn)

0.05 0.1 -0.6285 0.4843 1 0.07824 0.08366 -0.0908 0.0394 2 0.08202 0.08207

-9.1515 10-4

3.7121 10-4

3 0.08206 0.08206

-8.4666 10-8

3.4321 10-8

Т0= 72,7176 секунд.

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

Приведём f(x) = 0 к виду x = (x).Для этого умножим обе части на произвольноечисло ,неравное нулю, и добавим к обеим частям х:

X = x — f(x)

/> <td/> />
xx — A x sin(x) + cosx)

В качестве возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]

В силу монотонности f’(x) на[a;b] имеем m = f’(а), М = f’(b). Тогда 0,045.

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Приближение к корню ищем по следующей схеме:/> /> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Вычисление ведём до тех пор, пока не выполнитсяусловие:

 (q = max |’(x)| на [a’b])

’(x) на[a’b] монотонно убывает, поэтому максимум его модулядостигается на одном из концов.

’(0,05)= 0,3322 ’(0,1) = -0,3322, следовательно, q =0.3322 < 1. В этом случае выполняется условие сходимости и получаетсяпоследовательность:

i

xi

( xi)

 xi

0.075 0.082392 0.00739 1 0.082392 0.082025 0.000367 2 0.082025 0.08206

3.54 10-5

3 0.08206 0.082057

3.33 10-6

4 0.082057 0.082057

3.15 10-7

Итак, с погрешностью, меньшей 10-4, имеем:

Т0 = 72,7176 с., 0.03142

5. Решение краевой задачи

/> <td/> />
Используем метод малого параметра. Краевуюзадачу запишем в виде:

 (5.1)

/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Введя новую переменную y = (U — , запишем (5.1) в виде:

 (5.2)

/> <td/> />
0.18L/2 =0.0193. В качестве малого параметра возьмём ./> /> /> /> /> /> <td/> />
 Тогда, подставив y(x) вуравнение (5.2) и перегруппировав члены при одинаковых степенях ,получим:

 (5.3)

/> <td/> />
Ограничимся двумя первыми членами ряда:/> <td/> />
Из (5.2) и (5.3) находим общее решение уравнениядля y0:

где y0стильдой – частное решение данного неоднородного уравнения; y(1) и y(2) –линейно независимые решения однородного уравнения.

/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Корни уравнения:

y0общ = 1 + c1ch(px)+c2sh(px), где p = 0.01953

/> <td/> />
Константы найдём из граничных условий:

откуда с1 = 0, с2 = -0,57; т.е.имеем функцию:

y0= 1 — 0.57 sh(px)

/> <td/> />
Общее решение:/> <td/> />
Частное решение:

Дифференцируя и подставляя в уравнение, получим:

А1 = 0; А2 = -0,1083; В1= 0; В2 = 17,1569;

Тогда общее решение для y1 имеет вид:

/> <td/> />
с3 = 0; с4 = 0,0462

Перейдя к старой переменной U, получим:

/> <td/> />
/> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Итоговое уравнение:

Пользуясь этой формулой, составим таблицу значенийфункции U(x):

x U(x) U 352.9075 353 0.0019 350.4901 0.0039 343.1972 343 0.0058 330.9053 0.0077 313.4042 313 0.0097 290.391 0.0116 261.4598 261 0.0135 226.0893 0.0154 1836255 184 0.0174 133.2579 0.0193 74 74

Используя данную таблицу, строим график функции U(x).

 [см. приложение 1]

6. Заключение

Решение задачи на ЭВМ при помощи вычислительнойсистемы ManhCad 7.0 дало результаты (функцию распределениятемпературы в тонком цилиндрическом стержне), полученные по решениюпрактического задания и обработкой эксперимента (функции регрессии), которыепрактически (в пределах погрешности) совпадают с экспериментальными значениями.

Список литературы

1. Методические указания «Методы приближённыхвычислений. Решение нелинейных уравнений» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1983)

2.Методические указания «Приближённые методы ислисленияопределённых интегралов» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1986)

Методические указания «Изучение распределениятемпературы в тонком цилиндрическом стержне» (ЛТИ им. Ленсовета, Л. 1988)