Реферат: Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность

Реферат выполнил Балакирев Даниил

Пермская  муниципальная гимназия №1.

Пермь

2002г.

Введение

Роль математики в современной науке постоянновозрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описанияцелого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокоепонимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических инекоторых других наук предполагает широкое использование математическогоаппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы,например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительныхмашин, нашедших применение в самых различных областях человеческойдеятельности.

Есть и другая сторона данного вопроса. Математика — чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положенийкоторой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметомпристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов,многие методологические проблемы математики остаются недостаточноразработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладнойматематики, так и других отраслей науки, в том числе философии.

Философия в сфере математики способствует выработкеадекватного понимания математического знания, решению естественно возникающихвопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительнофилософское понимание математики может предстать только как сумма выводов,сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильноепонимание математики не может быть получено умозрительно или путем простогосравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, иподыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим дляпредварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.

Математики много раз иеняли представление о своейнауке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которыезаставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений.  Другими словами,современное понимание математики не может быть сформулировано как простоесобрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взятонепосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, тоесть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследованияистории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры,функции, отношения к другим наукам.

Экскурс в историю

1.1. Греческая философия и ее математика

Первой философской теорией математики был пифагореизм,который рассматривал математическое знание как необходимую основу всякого другогознания и как наиболее истинную ее часть. Как философское течение пифагореизмвыходит за рамки собственно философии математики, но в центре его тем не менеележит определенное истолкование сути математического знания.

Истоки математики уходят в глубокую древность, кЕгипту и Вавилону. Большинство историков науки относят, однако, появлениематематики как теоретической дисциплины к более бозднему периоду, а именно кгреческому периоду ее развития, так как ни в египетской, ни в вавилонскойматематике, несмотря на наличие там довольно сложных и точных результатов, ненайлено какго-либо следа собственно математического, дедуктивного рассуждения,то есть вывода одних формул и правил на основе других или иначе — математического доказательства в обычном смысле этого слова.

Громадный сдвиг, осуществленный в греческойматематике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода.Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемусягреческому философу Фалесу из Милета, который жио между 625 — 547 гг. до н.э.Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесен Фалесом, то надосказать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развиваласьчрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации.В результате математика оформилась как особая наука, она нашла свойспецифический метод — метод дедуктивного доказательства, который определяет ееразвитие до настоящего времени.

Появление математики как систематической науки оказалов свою очередь громадное влияние на философское мышление, которое оказалось  вопределенном смысле подчиненном математике. Это и естественно. Познание тоговремени было несколько ограниченным мифологическим и антропоморфным объяснениемприроды. На фоне разного рода неустойчивых представлений, которые так же труднодоказать, как и опровергнуть, где реальное смешалось с фантастическим,математика появилась как знание совершенно особой природы, достоверностькоторого не вызывает никакого сомнения, посылки которого ясны, а выводысовершенно непреложны.

Неудивительно, что в математике греки увидели непросто практически полежное средство, но, прежде всего, выражение глубиннойсущности мира, нечто связанное с истинной и неизменной природой вещей. Оникосмологизировали и мистифицировали математику, сделав ее исходным пунктом всвоих подходах к описанию действительности. Эта мистификация математики нашласвое выражение в философском учении Пифагора и его последователей. Основнойтезис пифагореизма состоит в том, что «все есть число». Смысл этого утвержденияне сводится к тому естественному истолкованию, под которым подписался бы исовременный ученый, что всюду могут быть обнаружены количественные связи и чтовсякая закономерность может быть выражена посредством неких математическихсоотношений. Греческая философия того времени ориентировалась на отысканиепервоосновы мира, начала, из которого можно было бы объяснить всепроисходящее.  Для пифагорейцев именно числа играли роль начала, роль исходныхсущностей, определяющих некоторым образом видимые явления и процессы.Чувственно воспринимаемые вещи стали истолковываться в своей структуре лишь какподражание числам, свойства их стали рассматриваться в соответствии сосвойствами того или иного числа или числового соотношения, как проявлениечисловой гармонии.

Греки заметили, что арифметические действия обладаютособой очевидностью, безусловной необходимостью, принудительной для разума,которой не обладают никакие утверждения о реальных событиях и фактах. Этообстоятельство было истолковано как проявление особого отношения чисел кистине. Философия превратилась у пифагорейцев в мистику чисел и геометрическихфигур, убеждение в истинности тиго или иного утверждения о мире достигалосьсведением его к числовой гармонии.

Что касается природы самой математической закономерности,истоков ее безусловной истинности, то ранние пифагорейцы скорее всего незадумывались над этим вопросом. У Платона, однако, мы находим уже некоторуютеорию на этот счет. Математические истины для Платона врождены, онипредставляют собой впечатления об истине самой по себ, которые душа получила,пребывая в более совершенном мире, мире идей. Математическое познание естьпоэтому просто припоминание, оно требует не опыта, не наблюдения природы, алишь видения разумом.

Наряду с пифпгорейской философией, существоваладругая, более реалистическая (с современной точки зрения) философия математики,идущая от атомизма Левкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицалвозможность геометричесикх построений в пустоте: геометрические фигуры были длянего не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами,состоящими из атомов.

Математический атомизм появился скорее как частнаяэвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики вцелом. Однако он неяво содержал в себе определенную антитезу пифагореизму. Еслидля пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира вонтологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристикематематические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомамкак первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому иопределяет свойства математических объектов. Пифагорейцы были правы, возражаяпротив превращения математики в физику, настаивая на чистоте математическогометода, а также и на идеализации бесконечной делтмости геометрических величин.Система евклидовской математики не могла быть построена без такой идеализации.Но математический атомизм тем не менее содержал в зародыше будущую, болееэмпиристскую философию математики, которая неизбежно должна была выйти на сценув связи с ростом влияния естественных наук.

1.2. Возрождение. Философские предпосылки обоснованияисчисления бесконечно малых

За тысячу лет, которую мы называем эпохойсредневековья, в математике не произошло существенных переворотов, хотяматематические и логические истины были постоянным объектом различныхсхоластических спекуляций. Философия математики также стояла на мертвой точке:она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации.Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческогоматематического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие двастолетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых математическихидей, которые мы относим сегодня к дифференциальному и интегральномуисчислению. Новые идеи возникли всвязи с потребностями науки, в особенностимеханики и это обстоятельство предопределило появление принципиально новойфилософии математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное иабсолютное знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своейструктуре от некоторых внешних реальностей. Эта философская установкапроепределила в свою очередь конкретное методологическое мышление, яркопроявившееся в сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основным понятием теории математика и философаЛейбница было понятие дифференциала, или бесконечно малого приращения функции.Пусть мы имеем функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) нанекоторую величину h, то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x).Для Лейбница  dy не равно  0, но вместе с тем эта величина столь мала,что, умножив ее на любое конечное число, мы не получим конечной величины. Восновном своем определении Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравомусмыслу идею неархимедовой величины.

Противоречивость алгоритмов дифференциальногоисчисления, несогласие их с представлениями о математической строгости, балоочевидным для большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчислениенаходило все новые приложения в механике и астрономии, превращаясь вцентральную и наиболее продуктивную часть математического знания. Проблемаобоснования дифференциального исчисления становилась все более актуальной,перерастая в некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик дажев мире неспециалистов.

Движение математического анализа в XVIIIв. к обоснованию, кажется, можно полностью описать в системе«теория-приложение», те есть как диалектическое взаимодействие этих двух моментов.Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д.привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этихалгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия исделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировалсякак логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийнаясистема.

1.3. Неевклидовы геометрии и развитие философииматематики в XIXв.

Философские дискуссии в математике XIXв. Были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованиемнеевклидовых геометрий. В области математического анализа также возниклипринципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них,действительно, были устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другогорода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и неменее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчислениябесконечно малых.

11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университетаН.И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультетадоклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, чтоаксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовойгеометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другуюгеометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовойгеометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. Впоследующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии иуказал ряд ее приложений в области математического анализа.

Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего втом, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собойокончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течениедвух тысячелетий. Но не только этому математическому значению неевклидовыгеометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием вразвитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всемсложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания.Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представленийо собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения иобоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, чтосовременное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовыхгеометрий.

В начале XIX в. в истолковании математикиимели влияние два направления: эмпиризм и априоризм.

Платон в свое время различал арифметику и геометрию всоответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, вто время как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, таккак они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточноеположение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметикии геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики(особенно это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются какмысленные образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно налогику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытнымипредставлениями. Большинством математиков первой половины XIXв. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве.

Противоположное, рационалистическое воззрение нагеометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительнобольшую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито вконце XVIII в. выдающимся немецким философом И. Кантом. СогласноКанту, понятия геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса,как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, нопредставляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущегочеловеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания — пространство и время. Пространство и время — необходимые внутренниепредставления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всегоэмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятияхчистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении кчистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения неэмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем онии не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики,поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической.Математика таким образом может быть определена как система синтетическихсуждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как системавыводов и доказательств математика должна быть полностью инткитивно ясной: поКанту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистымсозерцанием на основании всегда очевидного синтеза»

В теоретическом плане априориз представляет резкуюоппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следуетпреувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалистыпрактически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали отматематических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотятеперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиомпосредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практическойплоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел илимеханических движений в пространстве.

Таким образом, в начале XIX в. мы видимналичие двух диаметрально противоположных воззрений на сущность математики ивместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математическихистин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательнойнаглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того илииного рода.

Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить,что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являютсявкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собойизменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другиминауками. Неевклидовы геометрии — пример одного из таких открытий, чрезвычайноредких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам вматематике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, аименно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримыхвеличин и открытие дифференциального исчисления.

1.4. Математика в XXв.

Факты, требующие перестройки представления о сущностиматематики как науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такимифактами могут быть отдельные теоремы, новые математические теории, новыеявления в прикладной математике и т. д. История показывает, что на каждомконкретном этапе философия математики вращается вокруг какого-то определенногокруга событий в математике, в какой-то мере, может быть, даже абсолютизируя егои преувеличивая его значимость. Для философии математики XX в.таким математическим базисом являются основания математики, попытки математиковустранить противоречия из теории множеств, а в общем плане — найти средства,гарантирующие надежность математических рассуждений.

Философия и математика

Подобно тому как основным вопросом философии являетсявопрос об отношении сознания к материи, стержневым вопросом философииматематики является вопрос об отношении понятий математики к объективнойреальности, другими словами, вопрос о реальном содержании математическогознания. От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот или иной ученый,зависит характер освещения им всех остальных методологических проблемматематики, а также то, к какому философскому лагерю он примыкает.

Прежде чем перейти к освещению вопроса о местематематики в системе науки, необходимо предварительно выявить хотя бы в общихчертах объем, содержание и соотношение таких понятий, как философия, обычныенауки, специальные науки, частные науки.

Под обычными науками мы понимаем все науки, заисключением математики, которая является необычной наукой. Термин специальныенауки обозначает все науки, вкючая математику, но исключая, разумеется,философию. Частные же науки — это те науки, которые изучают обхекты в рамкахкакой-либо одной формы движения материи (или даже части ее) — физика, химия,биология, и т. д. Стало быть, частные науки — это специальные науки за вычетомматематики.

Таким образом, математику, как и философию можноотнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считаеся всеобщей и абстрактнойнаукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться ипрактически используется во всех без исключения областях знания. Возникаетвопрос — в чем же существенной различие между философией и математикой,изчающими одну и ту же реальную действительность?

Самый общий ответ на него, заключается в том, чтофилософия и математика используют разные способы описания объективнойдействительности и соответствующие им языки: в первом случае мы имеем дело сестественным, а во втором случае — с искусственным языком, предполагающимформально-логический метод описания действительности.

Как известно, философия изучает все явлениядействительности под углом всеобщих закономерностей и дает, по существу,универсальный метод познания и преобразования природного и социальногоокружения. При этом философия изучает и количественную (внешнюю), икачественную стороны объектов, анализируя их прежде всего в плане наиболееобщих принципов, законов и категорий.

Иное дело математика. Ее задача состоит в описаниитого или иного процесса с помощью какого-либо математичекого аппарата, то естьформально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делатьвывод о том, что математика в отличие от философии отображает лишьколичественную сторону объектов предметного мира. Нельзя потому, что лишь висходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество вшироком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическаятеория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметовреального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественнуюсторону.

Итак, раздел между философией и математикой проходитне по линии категорий форма и содержание, качество и количество или каких-тоиных категорий философии. Различие между этими двумя способами описаниядействительности заключается в ином — в методе и языке описания процессоввнешного мира, в том, что математика в любом случае предполагает формализацию вшироком смысле слова, формальный способ описания изучаемых явлений. Языкматематики — это формализованный язык, со всеми его недостатками идостоинствами.

Но если дело обстоит так, то математический методдолжен быть охарактеризован как вспомогательный способ теоретического описаниядействительности. В общем и целом так оно и есть. Однако математика иногдавернее и глубже отображает реальность, чем это делается в рамках обычных наук.Больше того, имеют место случаи, когда эвристическая модель математики оказываетсярешающей в познании тех или иных процессов, поскольку их изучение на вербальномуровне по некоторым причинам затруднено, а иногда практически даже невозможно.

Итак, несмотря на одинаково всеобщий характер,философия и математика выполняют различную функцию в познании. При этомфилософия меньше отличается от частных наук, чем математика, последняя занимаетособое положение, иначе «вплетена» в ткань науки, чем философия и любая другаянаука.

Поподробнее обратимся к функциям математики ифилософии.

Мировоззренческая функция философии обусловлена тем,что она является основой научной картины мира, в создание которой свойпосильный вклад вносит, конечно, каждая специальная наука. Являясь итогомобщественно-исторической практики и познания, философия в этом смысле выступаетв качестве фундамента всего здания науки. Кроме того, философия как системадисциплин обусловливает формирование у человека необходимых ценностныхориентаций, имеет огромное воспитательное значение, являясь не только наукой,но и особой формой общественного сознания — идеологией.

Философия является не только основой мировоззрения, нои всеобщим методом познания. Отсюда методологическая функция философии. Подобнотому как в системе наук философия выполняет рольстрежня всего знания, онаявляется и всеобщим методом познания и преобразования действительности: системенаук и их субординации соответствует, таким образом, система и субординацияметодов.

Философия выполняет по отношению ко всем частнымнаукам также теоретико-познавательную функцию. Это очевидно уже потому, чтотеория познания является одной из относительно самостоятельных дисциплин, вкоторой изучаются формы и методы научного познания, структура и уровни его,критерий истины.

Наконец философия в целом, материалистическаядиалектика в особенности, выполняет по отношению ко всем остальным наукамлогическую функцию. Ни один специалист не может успешно вести исследования,обобщать и объяснять полученные результаты, не используя философских понятий ипредставлений.

Таким образом, философские принципы имеют огромноеметодологическое значение, обладают большой эвристичекой силой, даютвозможность более интенсивно развивать специальные науки.

Говоря о предмете и функциях математики, очевидно, чтов современной науке все более ощутимой становится интегрирующая рольматематики, поскольку она, как и философия, является всеобщей научнойдисциплиной. Сравнивая ее с философией, необходимо четко определить предметматематического знания. Дефиниция той или иной науки, конечно, не содержитисчерпывающей характеристики этой науки. Ф.Энгельс определял математику какнауку, занимающуюся изучением пространственных форм и количественных отношенийреальной действительности. Однако современные, наиболее развитые математическиетеории непосредственно имеют дело уже с так называемыми абстрактнымиструктурами, так что современная математика чаще всего определяется как наука очистых, абстрактных структурах.

Отметим еще одну особенность математики. Обычнопредмет науки отличают от ее обхекта. В случае математики отличие объекта отпредмета выглядит не так, как во всех иных науках, если иметь ввиду, что подпредметом науки обычно понимают определенную сферу деятельности, совокупность,систему тех закономерностей, которые изучаются ею. Математика, строго говоря,не изучает законов развития природной или социальной среды, их изучают обычныенауки. В самом деле, всеобщие законы окружающей нас действительности изучаетфилософия, а частные — остальные (частные) науки. Математике же в этомотношении, что называется не повезло. Она не является частной наукой в обычномпонимании этого слова; она есть особый способ теоретического описаниядействительности. В этом отношении она больше, чем обычная наука, ибо впринципе она может описывать любое явление окружающего нас мира и представляетсобой целую совокупность дисциплин. (Философия — тоже нечто большее, чем наука,но в ином смысле: она является и наукой, и особой формой общественногосознания, содержащей в себе элементы идеологического характера).

Уяснение предмета математики позволяет понять в общихчертах как она соотносится не только с философией, о чем говорилось выше, но ис частными науками, изучающими отдельные фрагменты природного и социальногоокружения, равно как и идеальных по своей природе психических процессов.

Поскольку математика представляет по своей природевсеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться вовсех отраслях науки.

Специфика математического подхода к изучениюдействительности во многом объясняет и особенность критерия истины вматематике.

С критерием истины в частных науках дело обстоит болееили менее просто, особенно если не забывать об относительности практики каккритерия истины. В математике же критерий истины выступает в весьмасвоеобразной форме; мы не можем доказать истинность математическогопредложения, основываясь лишь на практике, сколько бы мы не измеряли углытреугольника, нам не удастся доказать, что сумма внутренних углов треугольникаравняется в точности 180 градусам.

И это объясняется не столько ошибками измерения,которое не может быть идеальным, абсолютно точным, сколько аподиктическимхарактером математических понятий, формально-дедуктивным  выводом предложений,теорем математики. Короче говоря, практика является исходным пунктомматематических понятий, но в качестве непосредственного критерия истиныпредложений математики она обычно не выступает. Только в конечном итогепрактика определяет пригодность того или иного математического аппарата кописанию конкретных явлений действительности.

Своеобразие критерия истины в математике выражается ив том, что, как правило, в качестве такого критерия выступает в итоге теорияарифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждогоматематика. Впрочем, в какой-то мере это относится ко всем наукам, если иметьввиду наличие в философии (как мировоззренческой и методологической основенауки) принципиальных положений, с которыми должны согласовываться всевыдвигаемые гипотезы.

Необходимо заметить, что использование в качественепосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, чтоэтот критерий органически связан с двумя другими требованиями — точностью инепротиворечивостью. Удовлетворени этим двум критериям — тоже необходимоеусловие истинности математических построений.

Итак математика — своеобразный способ теоретическогоописания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системенаукю Предметом математического описания может стать любой процессдействительности, а объектями этой области знания являются пространственныеформы и количественные отношения реальной действительности, в общем случае — абстрактные «математические» структуры.

Заключение

Математика — своеобразный способ теоретическогоописания действительности, область знания, имеющая свой особый статус в системенаук.

Математика является наукой, стоящей как бы отдельно отвсех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двухнаук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет кразвитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобнотому как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так иматематика становилась все более развитой и всеобщей наукой.

Список литературы

Е.А.Беляев, В.Я.Перминов  «Философские иметодологические проблемы математики», МГУ, 1981, — 214 с.

Сборник научных трудов «Гносеологический анализматематической науки», Киев Наукова думка, 1985, -130 с.

Е.Д.Гражданников «Экстраполяционная прогностика»,Новосибирск, 1988, -142 с.

Н.И.Жуков «Философские проблемы математики», Минск,1977, -95 с.

А.Г.Спиркин «Основы философии», Москва, 1988, 592 с.

еще рефераты
Еще работы по математике