Реферат: Устойчивость систем дифференциальных уравнений

Курсоваяработа по дисциплине  «Специальные разделы математики»

Выполнил студентНовичков А. А., группа: 450

Севмашвтуз — Филиал СПбГМТУ

Кафедра №2

Введение.

Решениябольшинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются черезэлементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравненийприменяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бываетнеобходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений:поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведениерешений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, какменяется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросыизучает качественная теория дифференциальных уравнений.

Одним изосновных вопросов этой теории является вопрос об устойчивости решения, илидвижения системы, если ее трактовать как модель физической системы. Здесь важнейшимявляется выяснение взаимного поведения отдельных решений, незначительно отличающихсяначальными условиями, то есть будут ли малые изменения начальных условий вызыватьмалые же изменения решений. Этот вопрос был подробно исследован А. М. Ляпуновым.

Основу теорииЛяпунова составляет выяснение поведения решений при асимптотическом стремлениирасстояния между решениями к нулю. В данной курсовой работе излагаются основытеории Ляпунова устойчивости непрерывных гладких решений систем дифференциальныхуравнений первого порядка, а именно: в главе 1 излагаются основные определения,необходимые для изучения устойчивости; в главе 2 дается понятие устойчивостирешений систем в общем виде и по первому приближению; в главе 3 излагаютсяосновы второго метода Ляпунова.

1. Свойства систем дифференциальных уравнений.

1.1. Основные определения.

Пусть /> — непрерывные в области G (n+1)-мерного пространства скалярныефункции.

Определение.Совокупность уравнений

  />        (1)

называетсянормальной системой n дифференциальных уравненийпервого порядка. Ее можно записать в матричной форме, если положить

/>

  />            

Определение.Решением системы (1) на интервале (a, b)называется совокупность n функций />, непрерывно дифференцируемыхна этом интервале, если при всех />:

/>;

/>

Задача Коши длясистемы (1) ставится следующим образом: найти решение /> системы, определенное вокрестности точки />, которое удовлетворяетначальным условиям /> …, />, где /> — заданная точка из области G. Решение задачи Коши существует и единственно, если всефункции в правых частях уравнений системы (1) непрерывно дифференцируемы повсем /> в окрестности точки />.

Каждому решениюсистемы (1) сопоставляется 2 геометрических объекта: интегральная кривая и траектория.

Определение.Если /> — решение системы (1) напромежутке (a, b), то множествоточек (x, />), />, (n+1)-мерногопространства называется интегральной кривой решения, а множество точек (/>), />, n-мерногопространства называется траекторией решения. Заметим, что из существования иединственности решения задачи Коши интегральные кривые не могут пересекатьсяили иметь общих точек, однако траектории могут пересекаться без нарушенияединственности, так как начальная точка определяется n+1координатой. В частности траектория может совпадать с точкой (положениеравновесия).

Система (1)называется автономной, если в правые части уравнений не входит явно независимаяпеременная. Система (1) называется линейной, если она имеет вид:

/>,

или в матричнойформе />            (1')

где /> />,/>.

Фундаментальнойматрицей линейной однородной системы называется матричная функция (t), определитель которойотличен от нуля и столбцы которой являются решениями системы: />. С помощью фундаментальнойматрицы (t) общеерешение системы можно записать в виде />.Фундаментальная матрица, обладающая свойством />,называется нормированной при />. Если /> — нормированная при /> фундаментальная матрица, точастное решение системы записывается в виде />,где /> — начальное при /> значение решения.

1.2. Траектории автономных систем.

Будем рассматриватьавтономную систему в векторной форме:/>        (2)

где функция f(x) определена в />.

Автономныесистемы обладают тем свойством, что если /> —решение уравнения (2), то />, />, также решение уравнения(2). Отсюда в частности следует, что решение /> можнозаписать в виде />. В геометрическойинтерпретации эта запись означает, что если две траектории уравнения (2) имеютобщую точку, то они совпадают. При этом можно заметить, что траектория вполнеопределяется начальной точкой />, поэтомуможно везде считать />.

Пусть /> — положение равновесия, т. е./>. Для того чтобы точка /> была положением равновесия,необходимо и достаточно, чтобы />.Предположим теперь, что траектория решения /> неявляется положением равновесия, но имеет кратную точку, т. е. существуют />, такие, что />. Так как /> — не положение равновесия,то />. Поэтому можно считать, что /> при />. Обозначим /> и покажем, что /> — -периодическаяфункция.

Действительно,функция /> является решением уравнения(2) при />, причем />. В силу единственности /> и /> совпадают при всех />. Применяя аналогичноерассуждение к решению />, получим, что /> определено при /> и функции /> и /> совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить /> на все />, при этом должно выполнятьсятождество

/>,

то есть /> — периодическая функция снаименьшим периодом.

Траекториятакого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат:Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующихтрех типов:

положениеравновесия;

замкнутаятраектория, которой соответствует периодическое решение с положительнымнаименьшим периодом;

траектория безсамопересечения, которой соответствует непериодическое решение.

1.3. Предельные множества траекторий.

Определение.Точка /> называется -предельнойточкой траектории />, />, если существуетпоследовательность /> такая, что /> при />. Множество всех -предельных точек траекторииназывается ее -предельным множеством.Аналогично для траектории /> при /> определяется понятие -предельной точки как предела />, а также -предельногомножества.

Определение.Траектория /> называется положительно(отрицательно) устойчивой по Лагранжу (обозн. /> (/>)), если существует компакт /> такой, что /> при всех /> (/>),при которых /> определена. Иными словами,если траектория всегда остается в некоторой ограниченной области фазовогопространства.

Можно показать,что предельное множество устойчивой по Лагранжу траектории не пусто, компактнои связно.

Траектория /> называется устойчивой поПуассону, если каждая ее точка является -предельнойи -предельной, т. е. />. Примером устойчивой поПуассону траектории является состояние равновесия. Если же рассматриваетсятраектория, отличная от неподвижной точки, то устойчивой по Пуассону она будетв том случае, если обладает свойством возвращаться в сколь угодно малуюокрестность каждой своей точки бесконечное число раз. Поэтому устойчивыми поПуассону будут циклы и квазипериодические траектории (суперпозиция двухпериодических колебаний с несоизмеримыми частотами), а также более сложныетраектории, возникающие в хаотических системах.

Рассмотрим (бездоказательств) некоторые свойства предельных множеств в случае n = 2.

1. Предельныемножества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.

2. Еслитраектория содержит по крайней мере одну свою предельную точку, то этатраектория замкнутая или представляет собой точку покоя.

3. Еслитраектория остается в конечной замкнутой области, не содержащей точек покоясистемы, то она либо является циклом, либо спиралевидно приближается при /> к некоторому циклу.

4. Пусть внекоторой окрестности замкнутой траектории /> нетдругих замкнутых траекторий. Тогда все траектории, начинающиеся достаточноблизко от , спиралевидно приближаются к  при /> или при />.

Пример.Рассмотрим автономную систему при />:

/>

Для исследованиясистемы удобно в фазовой плоскости ввести полярные координаты. Тогда получаемследующие уравнения для определения />:

/>

откуда получаем />.

Первое из этихуравнений легко интегрируется. Оно имеет решения /> и/>. При /> решения /> монотонно убывают от /> до 0, а при /> решения /> монотонно возрастают от /> до бесконечности. Так как />, то отсюда следует, что при /> и /> все траектории системы образуютспирали, раскручивающиеся от окружности /> кбесконечно удаленной точке или к началу координат при неограниченномвозрастании полярного угла. Начало координат является положением равновесия иодновременно -предельным множеством для всехтраекторий, у которых />. Если />, то -предельноемножество траектории пусто. Окружность /> являетсязамкнутой траекторией и одновременно -предельныммножеством для всех траекторий, отличных от положения равновесия.

1.4. Траектории линейных систем на плоскости.

Рассмотримавтономную линейную однородную систему /> (3)с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и />. В этом предположениисистема имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощьюлинейного неособого преобразования X =SY приведем систему (3) к виду />,

где J — жорданова форма матрицы A. Взависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

1) /> вещественны, различны и />. В этом случае />. Параметрические уравнениятраекторий таковы: />. Координатныеполуоси являются траекториями, соответствующими /> или/>. При /> и />

/>.

Картинарасположения траекторий при />, имеющаяспециальное название — узел, изображена на рис. 1а.

2) /> вещественны и />. Полученные в случае узлаформулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемаяседлом, изображена на рис. 1б.

3) /> комплексно-сопряженные.Пусть />. В преобразовании X = SY />, где /> и /> — линейно независимыесобственные векторы, соответствующие /> и />. Так как А вещественна, /> и /> можно выбратькомплексно-сопряженными. Тогда и />. Положим />, />,а в качестве фазовой плоскости возьмем />.Переменная /> связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где />, />. Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит квиду

/>

где матрицакоэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярныекоординаты />, или />, />.Имеем: />. Отделяя вещественные имнимые части, получим:

/>.

Следовательно, />. При /> траектории образуют спирали(рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При /> все траектории — окружности.В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3)периодические с периодом 2/.

4) />. Жорданова форма матрицы Аимеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

  /> 

Решением этойсистемы будет функция />. Взависимости от формы матрицы J получаются два случая:или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел.Дикритический узел возможен лишь в случае системы />

/>

Рис. 1.Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел

1.5. Линейные однородные системы с периодическимикоэффициентами.

В данном пунктеизлагается так называемая теория Флоке.

Будемрассматривать систему вида />     (4)

где />, а матричная функция P(t) удовлетворяет условию P(t + )= P(t), >0при всех />. Такие матричные функциибудем называть периодическими с периодом  или -периодическими.

Теорема Флоке.Фундаментальная матрица системы (4) имеет вид

/>

где G — -периодическая матрица, R — постоянная матрица.

Матрица В,определяемая равенством />,называется матрицей монодромии. Для нее справедливо />.Она определяется с помощью фундаментальной матрицы неоднозначно, но можнопоказать, что все матрицы монодромии подобны. Часто матрицей монодромииназывают ту, которая порождается нормированной при /> фундаментальнойматрицей />, то есть />.

Собственныечисла /> матрицы монодромииназываются мультипликаторами уравнения (4), а собственные числа /> матрицы R— характеристическими показателями. Из определения Rимеем />, при этом простыммультипликаторам соответствуют простые характеристические показатели, а кратным— характеристические показатели с элементарными делителями той же кратности.

Характеристическиепоказатели определены с точностью до />. Из /> и формулы Лиувилля следует,что />.

Названиемультипликатор объясняется следующей теоремой:

Теорема. Число  является мультипликатором уравнения (4) тогда итолько тогда, когда существует ненулевое решение /> этогоуравнения такое, что при всех t />.

Следствие 1.Линейная периодическая система (4) имеет нетривиальное решение периода  тогда и только тогда, когда по меньшей мере один изее мультипликаторов равен единице.

Следствие 2.Мультипликатору /> соответствует такназываемое антипериодическое решение /> периода , т. е. />. Отсюдаимеем:

/>

Таким образом, /> есть периодическое решение спериодом />. Аналогично, если /> (p иq — целые, />), то периодическая система имеет периодическое решение с периодом />.

Пусть />, где /> — матрица из теоремы Флоке, /> — ее жорданова форма. Потеореме Флоке />, или />,  (5)

где /> — фундаментальная матрица, /> — -периодическаяматрица. В структуре фундаментальной матрицы линейной системы с периодическимикоэффициентами характеристические показатели играют ту же роль, что исобственные числа матрицы коэффициентов в структуре фундаментальной матрицылинейной системы с постоянными коэффициентами.

Пример. Рассмотримдифференциальное уравнение второго порядка

  />, (6)

где /> — -периодическаявещественная скалярная функция. Мультипликаторами уравнения (6) будем называтьмультипликаторы соответствующей линейной системы, т. е. системы

/>

с матрицей />. Так как />, то />. Мультипликаторы являютсясобственными числами матрицы

/>,

где /> — решение уравнения (6),удовлетворяющее начальным условиям /> />, а /> — решение уравнения (6),удовлетворяющее начальным условиям /> />. Пусть /> — характеристическоеуравнение для определения мультипликаторов. Так как />,то оно принимает вид />, где />.

2. Устойчивость решений систем дифференциальныхуравнений.

2.1. Устойчивость по Ляпунову.

Вводяопределение устойчивости по Лагранжу и Пуассону в пункте 1.3, описывалисьсвойства одной отдельно взятой траектории. Понятие устойчивости по Ляпуновухарактеризует траекторию с точки зрения поведения соседних траекторий,располагающихся в ее окрестности. Предположим, что система при старте изначальной точки /> порождаеттраекторию />. Рассмотрим другуютраекторию той же системы />,стартовая точка которой близка к />. Если обетраектории остаются близкими в любой последующий момент времени, то траектория /> называется устойчивой поЛяпунову.

Нагляднаяиллюстрация устойчивости по Лагранжу, Пуассону и Ляпунову приводится на рис. 2.Когда говорят просто об устойчивой траектории, то всегда имеется в видуустойчивость по Ляпунову.

/>

Рис. 2.Качественная иллюстрация устойчивости по Лагранжу (траектория остается взамкнутой области), по Пуассону (траектория многократно возвращается в -окрестность стартовой точки) и по Ляпунову (двеблизкие на старте траектории остаются близкими всегда)

Рассмотримуравнение />   (1)

где /> и функция fудовлетворяет в G условию Липшица локально:

/> и />, где /> — константа, не зависящая отвыбора точек /> и />.

Предположим, чтоуравнение (1) имеет решение />,определенное при />, и что />. Чтобы перейти кисследованию нулевого решения, выполним в (1) замену />. В результате получимуравнение

  />,         (2)

где /> определена в области,содержащей множество />. Это уравнениеназывается уравнением в отклонениях. Пусть /> —решение (2) с начальными данными />.

Определение.Решение /> уравнения (2) называетсяустойчивым по Ляпунову, если для />, такое,что при /> />.

Решение /> называется асимптотическиустойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует /> такое, что /> при />.

Неустойчивостьрешения /> означает следующее:существуют положительное />, последовательностьначальных точек /> при />, и последовательностьмоментов времени /> такие, что />.

При исследованиивопроса об устойчивости решений часто прибегают к заменам переменных, позволяющимупростить вид рассматриваемого уравнения. Сделаем в (2) замену />, где функция /> определена при всех /> и непрерывна по z при /> равномерноотносительно />, причем />. Пусть уравнение /> однозначно разрешимоотносительно z: />,где /> определена на множестве /> и непрерывна по y при /> равномерноотносительно />. Пусть уравнение (2) заменой/> можно преобразовать вуравнение />.

Лемма. Присделанных предположениях нулевое решение уравнения (2) устойчиво по Ляпунову,асимптотически устойчиво или неустойчиво тогда и только тогда, когдасоответственно устойчиво по Ляпунову, асимптотически устойчиво или неустойчивонулевое решение уравнения />.

Пусть уравнение(2) автономно, а его нулевое решение асимптотически устойчиво. Множество /> называется областьюпритяжения решения />.

2.2. Устойчивость линейных однородных систем.

Пусть />          (3)

— вещественнаясистема, /> — ее произвольное решение.Замена /> приводит (3) к виду />, т. е. произвольное решениеуравнения (3) переводится в тривиальное решение того же уравнения.Следовательно, все решения уравнения (3) устойчивы по Ляпунову, асимптотическиустойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому можно говорить об устойчивостиуравнения (3), понимая под этим устойчивость всех его решений, в частноститривиального.

Лемма 1. Пусть /> и /> или />, где /> — неособая при всех /> матрица, ограниченная понорме вместе с обратной />. Тогда /> ограничена, не ограниченаили бесконечно мала по норме при /> тогда итолько тогда, когда /> обладает такимсвойством.

Лемма вытекаетиз оценки />.

Следствие. Пусть/>, /> —нормированная при /> фундаментальнаяматрица уравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена,не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с />.

Теорема 1. 1)Для того чтобы уравнение (3) было устойчивым по Ляпунову, необходимо идостаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были ограничены при />. 2) Для того чтобы уравнение(3) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы егофундаментальные матрицы были бесконечно малыми при />.

Доказательство.1) Достаточность. Пусть /> ограниченана />. Решение /> задается формулой />. (*)

Так как />, то />. Следовательно, уравнение(3) устойчиво по Ляпунову, так как устойчиво его тривиальное решение.Действительно, если />, то при всех /> />.        (**)

Необходимость.Пусть уравнение (3) устойчиво по Ляпунову. Тогда устойчиво его тривиальное решение,и выполняется (**). Пусть /> фиксировано.Положим />. Если />, то />. Из (*) и (**) имеем />, т. е. /> ограничена. Аналогичнодоказывается ограниченность />, а вместес ними и матрицы />.

2)Достаточность. Пусть /> при />. В силу (*) /> при всех />, что и дает асимптотическуюустойчивость.

Необходимость.Пусть для любых /> при />. Положим />. В силу (*) />, следовательно, />. Аналогично доказывается,что />, />,что означает /> при />. Теорема доказана.

Применим теорему1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентовP. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальнуюматрицу />, />,где /> — жорданова форма матрицы P. По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость поЛяпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3)эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости инеограниченности матрицы /> при />. Отсюда получаем следующуютеорему:

Теорема 2.Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1) устойчива поЛяпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицыкоэффициентов нет таких, вещественные части которых положительны, а числомнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простыеэлементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когдавсе собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественныечасти.

Нижерассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корнейхарактеристического уравнения линейной однородной системы с постояннымикоэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерийМихайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение.Полином />, где />, />,/> называется полиномомГурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином /> является полиномом Гурвица,то все />.

Составим />-матрицу Гурвица вида

/>

Теорема Гурвица(критерий Гурвица). Для того чтобы полином /> являлсяполиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главныедиагональные миноры его матрицы Гурвица />:

/>

Если степеньполинома /> сравнительно большая, топрименение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае дляопределения расположения корней полинома /> накомплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотногокритерия Михайлова.

Определение.Пусть />, где />, />,/>. Кривая />, /> называетсягодографом Михайлова функции />.

КритерийМихайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Уголповорота в положительном направлении ненулевого вектора /> при /> равен />, где /> — число корней полинома /> с положительной вещественнойчастью с учетом их кратностей.

КритерийМихайлова. Для того чтобы полином />, неимеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо идостаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора /> при /> был бы равен />.

Замечание. Еслиполином /> есть полином Гурвица степени/>, то вектор /> монотонно поворачивается вположительном направлении на угол />, то естьгодограф Михайлова, выходя из точки /> положительнойполуоси />, последовательно пересекаетполуоси />, проходя /> квадрантов.

2.3. Устойчивость периодических решений.

Рассмотримуравнение (3) с периодическими коэффициентами, т. е. />,        (4)

где />. По формуле (5) предыдущейглавы уравнение (4) имеет в рассматриваемом случае фундаментальную матрицу />, где /> — неособая -периодическаянепрерывная матрица, тем самым ограниченная вместе с обратной, /> — жорданова матрица,собственные числа /> которой —характеристические показатели уравнения (4). Из леммы 1 следует, чтохарактеристические показатели играют при оценке фундаментальной матрицы ту жероль, что собственные числа />, когда /> постоянна. Учитывая, что />, где /> — мультипликаторы уравнения,получаем следующий результат:

Теорема 3.Линейная однородная система с периодическими коэффициентами: 1) устойчива поЛяпунову тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы не превышают помодулю единицы, а равные единице по модулю либо простые, либо им соответствуютпростые элементарные делители матрицы монодромии; 2) асимптотически устойчиватогда и только тогда, когда модули всех мультипликаторов меньше единицы.

Пример.Рассмотрим уравнение из примера п. 1.5:

/>

Уравнение будемназывать устойчивым по Ляпунову, асимптотически устойчивым или неустойчивым,если таковой является соответствующая ему линейная система. Мультипликаторы находятсяиз уравнения />: />,где />. Поэтому можно сделатьвывод, что при /> обамультипликатора вещественны и один из них по абсолютной величине большеединицы, а при /> мультипликаторыявляются комплексно-сопряженными с модулями, равными единице. По теореме 3 при /> уравнение /> неустойчиво, а при /> оно устойчиво по Ляпунову,но не асимптотически.

2.4. Классификация положений равновесия системывторого порядка.

Исследуем наустойчивость положения равновесия линейной однородной системы двух уравнений спостоянными коэффициентами. Пусть />, где />. Как было показано в пункте1.4, тип особой точки такой системы определяется корнями характеристическогоуравнения /> или />. Его корни можно найти поформуле

/>.

Рассмотримследующие случаи согласно пункту 1.4.

1) /> вещественны, различны и /> (/>).Параметрические уравнения траекторий: />.Положение равновесия называется узел. Если корни /> положительны(/>), то решения будутнеограниченно возрастать, и особая точка — неустойчивый узел.

Если /> отрицательны (/>), то решения с ростомвремени будут неограниченно уменьшаться, то есть положение равновесия будетасимптотически устойчивым. Особая точка — устойчивый узел.

/>                     />

2) /> вещественны и /> (/>).В этом случае одна из траекторий всегда будет неограниченно возрастать, адругая неограниченно уменьшаться. Таким образом, седло всегда неустойчиво.

/>

3) /> комплексно-сопряженные, ноне чисто мнимые (/>). Решение вполярных координатах запишется в виде />,где />. Если /> (/>),то спирали будут раскручиваться от особой точки, и фокус будет неустойчивым.

Если /> (/>),то особая точка — устойчивый фокус, причем устойчивость асимптотическая.

/>                   />

4) /> (/>).Особая точка — центр, траектории — окружности, то есть положение равновесияявляется устойчивым, но не асимптотически.

/>

5) />. Если />, то получаем неустойчивыйузел, либо вырожденный, либо дикритический. Если />,положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

/>          />         />

6) Один изкорней равен нулю (например />).Траекториями являются прямые, параллельные друг другу. Если />, то получаем прямуюнеустойчивых особых точек. Если />, топрямая будет содержать устойчивые особые точки.

7) Оба корняравны нулю. Тогда />. Особая точканеустойчива.

Пример. Рассмотримсистему />. Положение равновесиянаходится из уравнения />, или />, откуда />. Следовательно, положениеравновесия — неустойчивый узел. Жорданова форма матрицы А имеет вид:

/>.

Найдемкоординаты преобразования />,приводящего матрицу А к жордановой форме, то есть переводящего систему к виду />. Дифференцируя эти уравненияи подставляя в исходную систему, получаем:

/>

откуда с учетом /> />, — произвольное, />, — произвольное. Получаем преобразование />. Определим новое положениеосей:

/>

Решение системы /> запишется в виде />, а исходной системы отсюда />. Схематическое изображениетраекторий:

/>

Рассмотримтеперь некоторые положения равновесия в трехмерном пространстве. Характеристическоеуравнение — кубическое с вещественными коэффициентами, оно может иметь тривещественных или один вещественный и два комплексно-сопряженных корня. Взависимости от расположения этих корней /> наплоскости /> возможно 10«грубых» случаев (рис. 3, 1)-5) и 1')-5')) и ряд«вырожденных» (рис. 3, 6)-9)), когда вещественная часть одного изкорней равна нулю или вещественной части не сопряженного с ним корня. Случаикратных корней здесь не рассматриваются.

Поведениефазовых траекторий в приведенных случаях показано на рис. 4. Случаи 1')-5')получаются из случаев 1)-5) изменением направления оси t,так что на рис. 4 надо лишь заменить все стрелки на противоположные.

Устойчивость поЛяпунову в рассмотренных случаях следующая. Все случаи 1')-5'), а также 2), 5),8) и 9) неустойчивы. Случаи 1), 3) и 4) устойчивы асимптотически. Случай 6)устойчив.

/>

Рис. 3.Собственные числа матрицы А. Закрашенным кружком отмечены />,

светлым — началокоординат.

/>

Рис. 4. Фазовыекривые в трехмерном пространстве.

2.5. Автономные системы на плоскости. Предельныециклы.

Рассмотримавтономную двумерную систему

  />,        (5)

где /> — область.

Предположим, чтосистема (5) имеет замкнутую траекторию /> снаименьшим периодом />. Возьмемпроизвольную точку /> и проведем черезнее нормаль /> к /> единичной длины. Дляопределенности считаем, что /> направленво внешнюю область. Не нарушая общности, считаем также, что /> — начало координат (этогоможно добиться заменой />). Точки на нормали/> определяются единственной координатой/>. В качестве /> берем расстояние от точкинормали до начала координат, если точка лежит снаружи />, и это расстояние, взятое собратным знаком, если она лежит внутри />.

Рассмотримтраектории />, проходящие через точкинормали. Запишем уравнение

  />             (6)

с неизвестными t, s (— параметр).

Лемма 3.Существует /> такое, что в области /> уравнение (6) имеетединственное решение />, удовлетворяющееусловиям />, причем функции /> непрерывно дифференцируемыпри />.

Доказательство.Так как /> — решение с периодом , то по теореме о дифференцируемости решения функция /> определена и непрерывнодифференцируема по t и в некоторой окрестности точки />. Тогдафункция /> определена и непрерывнодифференцируема в некоторой окрестности точки />.Так как /> ‑периодична,то />. Рассмотрим якобиан /> в точке />. Имеем />. Следовательно, в точке /> />,поскольку /> и /> — ортогональные векторы.Тогда утверждение леммы вытекает из теоремы о неявной функции.

Следствие.Справедлива формула

  />.

Выясним геометрическийсмысл функций />. Лемма 3утверждает, что каждая траектория, пересекающая нормаль /> в точке /> из -окрестностиначала координат, вновь пересечет ее через промежуток времени /> в точке />. При этом так как функция /> также делает полный оборотвдоль /> при />, то траектория /> также делает полный оборотпри />, оставаясь в малойокрестности />, если достаточно мало.

/>

Функция /> называется функциейпоследования.

Определение.Замкнутая траектория /> автономногоуравнения (5) называется устойчивым предельным циклом, если существует такое />, что /> является -предельныммножеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестностикривой />.

Определение.Замкнутая траектория /> автономногоуравнения (5) называется неустойчивым предельным циклом, если существует такое />, что /> является -предельныммножеством для любой траектории, проходящей через точку из -окрестностикривой />.

Так как вреальной действительности время течет в положительном направлении, то напрактике реализуются те периодические движения, которым соответствуютустойчивые предельные циклы. Такие движения называются автоколебаниями.

Теорема 4. Пусть/>.      (7)

Если />, то /> является устойчивымпредельным циклом; если />, то /> — неустойчивый предельныйцикл.

Характерприближения соседних траекторий к /> при /> следующий: они приближаютсяк />, образуя бесконечное числовитков спирали, как изнутри, так и снаружи.

/>

2.6. Устойчивость по первому приближению.

Вернемся крассмотрению уравнения (1), где />. Послезамены /> получим уравнение (2),которое, используя разложение в ряд Тейлора, запишем в виде

  />,   (8)

где /> при />.            (9)

Теорема 5. Пусть/> — постоянная матрица,предельный переход в (9) выполняется равномерно по /> ивещественные части собственных чисел матрицы /> отрицательны.Тогда решение /> уравнения (8)асимптотически устойчиво.

Теорема 6. Пусть/> — постоянная матрица,предельный переход в (9) выполняется равномерно по />.Для устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения (8) необходимо, чтобывещественные части собственных чисел матрицы /> былинеположительны.

Рассмотримтеперь автономное уравнение (1): />,            (10)

где функция /> непрерывно дифференцируемапри />, причем />. Тогда /> является положениемравновесия уравнения (10). После замены /> уравнение(10) принимает вид />, где />, функция /> непрерывно дифференцируемапри /> и

  /> при />.     (11)

Из (11) и теорем5 и 6 вытекает следующее утверждение.

Теорема 7. Есливсе собственные числа матрицы /> имеютотрицательные вещественные части, то положение равновесия /> асимптотически устойчиво;если же хоть одно из собственных чисел имеет положительную вещественную часть,то оно неустойчиво.

Пример.Рассмотрим систему двух уравнений /> Координатыположений равновесия определяются из уравнений />.Положения равновесия:

/>

Соответствующиематрицы /> имеют вид

/>, или />.

Собственныечисла определяются уравнением />. При k четном />, при k нечетном />. Потеореме 7 при k четном решения /> асимптотически устойчивы, апри k нечетном неустойчивы.

Предположимтеперь, что правая часть уравнения (1) и решение /> периодичныпо t с одним и тем же периодом .Тогда в уравнении (8) />, />. Далее, так как /> равномерно непрерывна накомпакте />, то в силу периодичности /> /> выполняетсяравномерно по />. Поскольку /> — периодическая матрица, тосуществует замена переменных />,      (12)

где /> — периодическая с периодом  функция класса />,причем />, переводящая уравнение /> в /> с постоянной матрицейкоэффициентов />, определяемойтеоремой Флоке. Следовательно, замена (12) переводит (8) в уравнение

  />,         (13)

причем функция /> определена и непрерывна вобласти вида />. Условие (9) такжевыполняется. Действительно, /> в силу(9), ограниченности /> и /> и поскольку /> эквивалентно />. При этом, как отмечалось,имеет место равномерность по t.

Согласно леммеиз п. 2.1. вопрос об устойчивости тривиального решения уравнения (8)эквивалентен вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения (13). Таккак />, где /> — собственные числа матрицы />, а /> — мультипликаторы линейногоуравнения />, называемые такжемультипликаторами периодического решения />,то из теорем 5 и 6 вытекает следующая теорема:

Теорема 8. Еслимодули всех мультипликаторов периодического решения периодического уравнения(1) меньше единицы, то это решение асимптотически устойчиво. Если же модульхоть одного из мультипликаторов больше единицы, то оно неустойчиво.

Рассмотримсмешанный случай, когда исследуется устойчивость -периодическогорешения /> автономного уравнения (10).Дифференцируя тождество />, получаем/>. Следовательно, функция /> является -периодическимрешением уравнения в вариациях />. Последствию 1 п. 1.5. один из мультипликаторов равен единице. Если средиостальных мультипликаторов имеются такие, модули которых больше единицы, торешение /> неустойчиво по теореме 8. Впротивном случае теорема 8 неприменима.

Теорема 9.(Андронова-Витта) Если /> мультипликаторовпериодического решения уравнения (10) имеют модули, меньшие единицы, то эторешение устойчиво по Ляпунову.

Замечание.Уравнение (10) автономно, поэтому наряду с решением /> имеютсяи решения />, />,следовательно, решение /> не может бытьасимптотически устойчивым.

2.7. Экспоненциальная устойчивость.

Рассмотримуравнение (10), в котором />.Обозначим через /> траекторию,проходящую через точку /> при />. Предположим, что нулевоерешение (10) асимптотически устойчиво, причем существуют число /> и функция />, /> при/> такие, что /> при />. В этом случае существуютположительные числа /> такие, что при /> справедливо неравенство

  />.       (14)

Если имеет местооценка (14), то говорят, что нулевое решение экспоненциально асимптотическиустойчиво. Например, в условиях теоремы 5 нулевое решение уравнения (8)экспоненциально асимптотически устойчиво. Более того, нулевое решение уравнения(8) экспоненциально асимптотически устойчиво при более слабых, чем в теореме 5,ограничениях на нелинейность />.Достаточно, чтобы левая часть (9) удовлетворяла неравенству />, где /> — собственные числа матрицы A (их вещественные части по условию отрицательны).

Для автономногоуравнения (10) из экспоненциальной устойчивости следует асимптотическая устойчивость,и наоборот. Однако для неавтономных систем справедливо только первоеутверждение.

Для неавтономнойсистемы по формуле (14) вводится аналогичное понятие экспоненциальной устойчивости,однако асимптотическая устойчивость. Кроме того, справедлив следующая теорема.

Теорема. Длятого чтобы линейная система /> былаэкспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы существовали двеквадратичные формы /> и />, обладающие следующимисвойствами:

1. /> вещественная, симметричная иограниченная;

2. /> вещественная, симметричная иограниченная;

3. />;

4. /> (см. п. 3.1).

3. Второй метод Ляпунова.

3.1. Основные определения.

Рассмотримдифференциальное уравнение

  />,     (1)

где />. Предположим, что G — область единственности и /> привсех />, т. е. уравнение (1) имееттривиальное решение />. Рассмотрим вопрособ устойчивости этого решения.

Сущность второгометода Ляпунова заключается в исследовании поведения некоторой функции /> как функции t при замене x на произвольноерешение уравнения (1). В дальнейшем используем определения устойчивости иасимптотической устойчивости, где />.

Под функциейЛяпунова будем понимать любую непрерывную функцию /> такую,что /> при всех />. На множестве функцийЛяпунова /> задан линейный оператор D, определяемый формулой

  />.         (2)

/> называется производной V в силу уравнения (1). Справедлива формула

  />,     (3)

где /> — решение уравнения (1) сначальными данными />.

Определение.Функция Ляпунова />, не зависящая от t, называется определенно-положительной, если в области G при /> />. Функция Ляпунова /> называетсяопределенно-положительной, если существует определенно-положительная функция /> такая, что />. Функция Ляпунова /> называетсяопределенно-отрицательной, если /> —определенно-положительная функция.

Определение.Функция Ляпунова /> называетсяположительной, если /> в области G и отрицательной, если /> вG.

Таким образом,функцию Ляпунова, тождественно равную в G нулю, можнорассматривать и как положительную, и как отрицательную.

Отметимследующее свойство определенно-положительных и определенно-отрицательныхфункций: если />, то />.          (4)

Импликация /> в (4) вытекаетнепосредственно из определения функций Ляпунова. Чтобы обосновать импликацию />, рассмотрим произвольнуюпоследовательность />, />, для которой /> при />. Покажем, что /> при />. Предположим, что этоневерно. Тогда найдется подпоследовательность /> иположительное число /> такие, что />. Согласно определению />, где /> — определенно-положительнаяфункция. Положим />. Множество /> компактно, поэтому потеореме анализа />, где />, следовательно, />. Тогда />, что противоречит свойствупоследовательности />.

3.2. Теоремы второго метода Ляпунова.

Теорема 1. Пустьсуществует определенно-положительная функция Ляпунова />, такая, что DV есть отрицательная функция. Тогда решение /> уравнения (1) устойчиво поЛяпунову.

Доказательство.Пусть  — произвольная положительная постоянная,/>. Положим /> при />. Так как Vопределенно-положительная, то />. По l найдем /> такое,чтобы />. Рассмотрим решение /> при />. Покажем, что

  />.   (5)

Пусть (5) неимеет места. Тогда существует /> такое,что />, а при  />. В силу (3) и условиятеоремы функция /> является при /> невозрастающей функцией t. Так как />, то />, тогда тем более />, что противоречитопределению T и тому, что />.Таким образом, импликация (5) имеет место, а это и означает по определениюустойчивость решения /> по Ляпунову.Теорема доказана.

Следствие. Еслиуравнение (1) имеет в области Gопределенно-положительный интеграл, не зависящий от t иуничтожающийся в начале координат, то решение /> устойчивопо Ляпунову.

Теорема 2. Пустьсуществует определенно-положительная функция Ляпунова />, такая, что DV определенно-отрицательная при />.Тогда решение /> уравнения (1)асимптотически устойчиво.

Доказательство.Условия теоремы 1 выполнены, и решение /> устойчивопо Ляпунову. Следовательно, существует /> такое,что

  /> при />.           (6)

Из определенияасимптотической устойчивости в силу (4) заключаем, что достаточно доказать импликацию/> при />. В силу (3) и условиятеоремы /> — строго убывающая функция t.

Предположим, чтотеорема неверна. Тогда

  />.           (7)

Отсюда, из (6) и(4) следует, что при /> />. По условию теоремы />, где /> — определенно-положительнаяфункция. Пусть />. Из (3) следует,что при всех /> />,что противоречит определенной положительности />.Полученное противоречие доказывает теорему.

В случае когдауравнение автономно, условия теоремы (2) можно ослабить.

Теорема 3. Пустьуравнение (1) автономно, выполнены условия теоремы 1 и множество /> не содержит целиком полныхтраекторий уравнения (1), за исключением положения равновесия />. Тогда решение /> асимптотически устойчиво.

Доказательство.Используем доказательство теоремы 2 до формулы (7) включительно. Далее, пусть /> — -предельнаяточка траектории />. Из определения -предельной точки и (7) следует, что />. По первому свойствупредельных множеств (п. 1.3.) все точки траектории /> являются-предельными для траектории />. Следовательно, для всех t, при которых определено решение />,/>. Отсюда и из (3) следует,что при указанных t />, что противоречит условиютеоремы, так как /> не совпадает сначалом координат. Теорема доказана.

Пример.Рассмотрим уравнение движения диссипативной системы с одной степенью свободы />, где /> удовлетворяют условиюЛипшица при />, /> удовлетворяетусловию /> при /> и /> при />. Докажем, что положениеравновесия /> асимптотически устойчиво.

Соответствующаясистема двух уравнений имеет вид

/>.

В качествефункции Ляпунова возьмем полную энергию системы />.

В силу условия /> V—определенно-положительная функция, при этом

/>.

Следовательно, DV —отрицательная функция и множество M— интервал оси абсцисс при />. Так какпри /> при />, то множество M не содержит целых траекторий, отличных от положенияравновесия />.

По теореме 3решение /> системы асимптотическиустойчиво, что и требовалось доказать.

Перейдем крассмотрению неустойчивости. Пусть /> — функцияЛяпунова. Обозначим через /> любуюсвязную компоненту открытого множества /> сначалом координат на ее границе.

Теорема 4. Пустьсуществует функция Ляпунова /> такая,что /> не пусто и при />. Тогда решение /> уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство. Пусть/>. Будем рассматривать решения/> с начальной точкой />. Достаточно показать, чтодля каждого из этих решений можно указать момент T (длякаждого решения свой) такой, что />.

Пусть этоневерно, т. е. существует решение />,удовлетворяющее при всех /> неравенству/>. Покажем, что траекториярешения /> принадлежит /> при />. Действительно, поопределению /> она может покинуть область /> только через ту часть ееграницы, где />. Но это невозможно, так как /> и при возрастании /> функция /> строго возрастает, пока />, в силу (3).

Итак, доказано,что при /> /> и/>. Следовательно, по условиютеоремы /> при />. Интегрируя (3) от /> до />, получаем

/>,

что противоречитограниченности /> при />. Противоречие доказываеттеорему.

Пример.Рассмотрим уравнение />, где /> — удовлетворяющая условиюЛипшица при /> функция такая, что /> при />. Докажем неустойчивостьрешения />.

Рассмотримсистему />, соответствующую уравнениюпримера. В качестве функции Ляпунова возьмем />.Имеем:

/>.

По теореме 4решение /> системы неустойчиво, что итребовалось доказать.

3.3. Устойчивость по первому приближению.

Рассмотримдифференциальное уравнение

  />,          (8)

где /> — заданная квадратичнаяформа.

Лемма 1. Еслисобственные числа матрицы A удовлетворяют условию

  />,         (9)

то уравнение (8)имеет единственное решение />, являющеесяквадратичной формой.

В следующих двухлеммах будут построены квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова длялинейного уравнения

  />            (10)

и удовлетворяющиеусловиям теорем 2 и 4.

Лемма 2. Пустьвсе собственные числа матрицы A имеют отрицательныевещественные части, /> —определенно-отрицательная квадратичная форма. Тогда уравнение (8) имеетединственное решение />, являющеесяопределенно-положительной квадратичной формой.

Лемма 3. Пустьматрица A имеет собственные числа с положительнымивещественными частями. Тогда можно подобрать /> такое,что существует единственное решение /> уравнения

/>,

причем если /> — определенно-положительнаяквадратичная форма, то область /> для квадратичнойформы /> непуста.

Докажем теперьтеоремы 5 и 6 пункта 2.6. Рассмотрим уравнение (1), у которого

  />           (11)

где /> удовлетворяет условию

  />       (12)

равномерно по />.

Теорема 5 (см.теорему 5 п. 2.6). Если все собственные числа матрицы Aимеют отрицательные вещественные части и /> удовлетворяетусловию (12), то решение /> уравнения(1) асимптотически устойчиво.

Доказательство.Построим функцию Ляпунова, удовлетворяющую условию теоремы 2 для линейногоуравнения (10), и покажем, что она удовлетворяет условиям теоремы 2 и дляуравнения (1).

Пусть /> — квадратичная форма,удовлетворяющая уравнению

/>.

По лемме 2 /> определенно-положительная.Определим ее производную DV в силу уравнения (1). Из(2) и (11) имеем: />. Отсюда получаем:

  />.     (13)

Из (12) следует,что для любого /> можно указать /> такое, что при /> /> выполняется/>. Так как /> — квадратичная форма, то />, />,и />. Очевидно также, что />. Из (13) и записанныхнеравенств следует, что />.Следовательно, DV — определенно-отрицательная функцияпри /> />,если a выбрать по />.Итак, выполнены все условия теоремы 2, откуда следует, что решение /> уравнения (1) асимптотическиустойчиво. Теорема 5 доказана.

Теорема 6. (см.теорему 6 п. 2.6). Если среди собственных чисел матрицы имеются такие, вещественныечасти которых положительны, и выполнено условие (12), то решение /> уравнения (1) неустойчиво.

Доказательство.С помощью леммы 3 построим квадратичную форму />,удовлетворяющую уравнению />, итакую, что область /> для функции V непуста. Составим DV в силууравнения (1). Имеем

/>.

Используя (12),как и при доказательстве теоремы 5, покажем, что если aдостаточно мало, то при /> /> функция />. Следовательно, так как вобласти /> />,то при />, /> имеем/>. Таким образом, выполненывсе условия теоремы 4, откуда и следует, что нулевое решение уравнения (1)неустойчиво. Теорема доказана.

Список литературы

Метод функцийЛяпунова в анализе динамики систем. Сб. статей. Новосибирск: Наука, 1987.

М. Розо.Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

Б. П. Демидович.Лекции по математический теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

И. Г.Петровский. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука,1964.

Ю. Н. Бибиков.Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.

В. И. Арнольд.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

Кузнецов С. П.Динамический хаос (курс лекций). М.: Изд. ФМЛ, 2001.

еще рефераты
Еще работы по математике