Реферат: Дзета-функция Римана

Курсовая работа

Выполнил студент 2го курса ФМФ группы «Б»Симонян Сергей Олегович

Ставропольский Государственный университет

Кафедра математического анализа

Ставрополь, 2004 г.

Введение.

Функция – одно из основных понятий во всехестественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получаютинтуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знанийпополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная,показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики кругизвестных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные игиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции),тета-функции, функции Якоби и многие другие.

Что же такое функция? Строгого определения для неё несуществует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется.Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементукакого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементовмножества Y. Элементы множества X называются аргументами,а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствуетодно значение, функция называется однозначной, если более одного – томногозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшемслучае множество X  может быть подмножеством поля действительных R иликомплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будутвстречаться только такие отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами:словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будемрассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря натакое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она можетбыть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различнымтеоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана,имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великийшвейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства.Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик БернгардРиман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовалнесколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них онраспространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл еёаналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньшихзаданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участиемфункции /> и высказал свою гипотезу онулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которойбезрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.

 Научная общественность считала и считает решение этойпроблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на МеждународнойПарижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развитиянауки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть наукудалеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay MathematicsInstitute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.

Таким образом, даже бы поверхностное знакомство сдзета-функцией будет и интересным, и полезным.

Глава 1.

Итак,приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В даннойглаве мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя изеё определения с помощью ряда.

Определение.Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию,которая любому действительному числу s ставит всоответствие сумму ряда

/>                                                                                                      (1)

еслиона существует.

Основнойхарактеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашейфункции.

Пустьсначала s≤0, тогда s=−t, где t принадлежит множеству неотрицательныхдействительных чисел R+/>{0}. В этом случае /> и ряд (1) обращается в ряд />, который, очевидно,расходится как при t>0, так и при t=0.То есть значения s≤0 не входят в областьопределения функции.

Теперьпусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1)воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом sрассмотрим функцию />, где />, которая является напромежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

0<s<1. Тогда />, поэтомуряд (1) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;

s=1. Получаем />, то есть при s=1дзета-функция Римана также не определена;

s>1.   В   этом   случае     />

/>.Ряд (1) сходится.

Обобщив результаты, находим, что область определениядзета-функции есть промежуток />. На этомпромежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное числораз.

Докажем непрерывность функции ζ(s) на областиопределения. Возьмём произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1) в виде />.Как было выше показано, ряд /> сходится,а функции /> при s>s0монотонно убываюти все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему онепрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0ζ(s) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1), покаформально, найдём производную дзета-функции Римана:

/>                                                                                                (2).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться втом, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке /> ивоспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируемлюбое s0>1 и представимряд (2) в виде /> для s>s0. Множители />, начинаяс n=2,монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признакуАбеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взятьего можно заключить между /> и />, где />, а />; к промежутку /> применима вышеуказаннаятеорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании длядзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

/>.

Попытаемся построить наглядное изображение функции в видеграфика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестноститочки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), потеореме о почленном переходе к пределу, имеем />.При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому />.

Чтобы исследовать случай />,докажем некоторые вспомогательные оценки.

 Во-первых, известно, что если для ряда /> существует непрерывная,положительная, монотонно убывающая функция />,определённая на множестве />, такая,что />, и имеет первообразную />, то остаток ряда оценивается   так: />, где />.  Применяя  вышесказанное   к  ряду   (1),   найдём,  что   необходимая  функция

/>, а/> и />. Отсюда, подставляя вдвойное неравенство, имеем

/>                                                           (3). В левом неравенстве положим n=0, тогда />, то есть/>. В правом же возьмём n=1 и получим />, далее />, /> и,наконец, />. Переходя в неравенствах /> к пределу при />, находим />.

Отсюда, в частности, следует, что />. Действительно, положим />. Тогда />, то есть /> />.Поэтому />. Из того, что />, а />, вытекает доказываемоеутверждение.  

Можно, однако, получить ещё более точный результат дляоценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше,принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства />. Прибавим ко всем частямнеравенств (3) сумму /> и вычтем />. Имеем />. Пусть здесь s стремится кединице. По правилу Лопиталя легко вычислить /> и/>. Мы пока не знаем,существует ли предел выражения /> при />, поэтому, воспользовавшисьнаибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: />

/>.Ввиду произвольности n возьмём />. Первое ипоследнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C/>0,577). Значит />, а,следовательно, существует и обычный предел и />.

 Найденные выше пределы позволяют получить лишьприблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведемформулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретныеточки, а именно, определим значения />, где k – натуральноечисло.

Возьмём известное разложение />,где /> - знаменитые числа Бернулли(по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое /> в левую часть равенства.Слева получаем /> />cth/>, а в правой части — />,то есть />cth/>. Заменяем /> на/>, получаем />cth/>.

С другой стороны, существует равенство cth/>, из которого />cth/>. Подстановкой /> вместо /> находим />cth/> />.Если />, то для любого />N /> /> и по теореме о сложении бесконечного множества степенныхрядов />cth/> />.     

Приравняем полученные разложения: /> 

 />, следовательно />. Отсюда немедленно следуетискомая формула

  />                                                                                      (4),где /> - k-е число Бернулли. Онаудобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.   

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построитьэскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведениена всей области определения.

/>

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получилзамечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тожепринимают за определение:

/>,где pi – i-е простоечисло                                             (4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4).Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство />

/> Еслиперемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, непревосходящим заданного натурального числа N, то получившеесячастичное произведение окажется равным   />,где    символ    *    означает,     что    суммирование распространяется не навсе натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своёмразложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральныхчисел этим свойством обладают, то

/>                                                                      (5).

Сумма /> содержитне все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, />.Из (5) получаем

/>                                                                 (6).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющееего остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а /> естьпроизведение (4). Значит из неравенства при /> />, что и требовалось доказать.

Формула(4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множествомзначений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг вэтом направлении мы сделаем, оценив />, а именнопоказав, что />, где /> остаётся ограниченным при />.

Из(4) следует, что />, где />N, а /> при />. Возьмём логарифм от обеихчастей равенства, тогда /> />. Натуральные логарифмы подзнаком суммы разлагаются в ряд: /> />. Подставив полученныеразложения в равенство и устремив N к бесконечности,имеем />. Остаётся доказатьограниченность последнего слагаемого. Ясно, что />.Последнее равенство справедливо,  так как /> />. Далее, очевидно, />, что и завершаетдоказательство.

Наэтом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительногоаргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет  случай изложенный во второй главе.

Глава 2.

Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функцииРимана, были получены в предположении, что её аргумент s – действительное число.Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения сталивозможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел.Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкийматематик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший еёв теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение,данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет />C. Возникает необходимостьнайти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: вполуплоскости /> (/> действительная часть числа x) ряд

/>                                                                                                               (1) сходится абсолютно.

Пусть />.Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), />.Первый множитель содержит только вещественные числа и />, так как />. Ко второму же множителюприменим знаменитую формулу Эйлера, получим />/>. Значит, />. Ввиду сходимости ряда /> при α>1, имеемабсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функция аналитична.Действительно, при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд /> мажорирует ряд из абсолютных величин />, где />, откуда, по теоремеВейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда  в полуплоскости />. Сумма же равномерносходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.

Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функцииформулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента.Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные спереходом к абсолютным величинам.

В связи с этим замечанием становится возможным использоватьразложение дзета-функции в произведение />,где s теперь любое комплексное число, такое, что />.Применим его к доказательству отсутствия у функции /> корней.

Оценим величину />,используя свойство модуля />: />, где как обычно />. Так как />, то />, а />, следовательно,дзета-функция в нуль не обращается.

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладныевопросы получают новые широкие возможности для исследования, еслираспространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многихвозможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем еёфункциональное уравнение, характеризующее и  однозначно определяющее />.

Для этого нам понадобится формула

/> (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можнозаписать />. Для любого d при /> />,  значит /> и />, а />. />.Следовательно, /> /> />/>/>. Интеграл /> можно найти интегрированиемпо частям, принимая />, />; тогда />, а />. В результате /> />.Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим />,отсюда легко следует равенство (2).

Теперь положим в (2) />,/>, a и b – целыеположительные числа. Тогда /> />. Пусть сначала />, примем a=1, а b устремим кбесконечности. Получим />.Прибавим по единице в обе части равенств:

/>                                                                       (3).

Выражение /> являетсяограниченным, так как />, а функция /> абсолютно интегрируема напромежутке /> при />, то есть при />, />.Значит, интеграл /> абсолютно сходитсяпри />, причём равномерно в любойконечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой />. Тем самым он определяет аналитическуюфункцию переменной s, регулярную при />. Поэтомуправая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжениедзета-функции на полуплоскость /> и имееттам лишь один простой полюс в точке /> свычетом, равным единице.

Для /> можнопреобразовать выражение (3) дзета-функции. При /> имеем/>, значит, /> и/>.Теперь при /> (3) может быть записано ввиде />.

Немного   более  сложными  рассуждениями  можно   установить, что   в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции наполуплоскость />. Положим />, а />, то есть />  первообразная для />. /> ограничена,так как />, а интеграл /> /> и/> /> ограничениз-за того, что />. Рассмотрим интеграл/> при x1>x2 и />. Проинтегрируем его почастям, приняв />, />, тогда />, а по указанному вышеутверждению />. Получаем /> />.Возьмём />, а />. Имеем />, />, потому  что  />  является   ограниченной  функцией.   Значит,

 />                                                                       (4).

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла />, если />, и ограниченностью функции />, делаем вывод, что в левойчасти равенства (4) интеграл тоже сходится при />.Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правеепрямой />.

Нетрудно установить, что для отрицательных /> />,поэтому из (3) имеем

/>                                                                                       (5) при />.

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливоразложение в ряд

/>                                                                                    (6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:

/>.Сделаем в полученном интеграле подстановку />,отсюда следует />, а />, и получим далее />. Известно, что /> />,значит /> />.Из известного соотношения для гамма-функции />,по формуле дополнения />,следовательно /> />

Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функцииРимана

/>                                                                    (7),

которое само по себе может служить средством изучения этойфункции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другаяфункция />, удовлетворяющая равенству(7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с />.

Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказалиформулу (7) для />. Однако праваячасть этого равенства является аналитической функцией s и при />. Это показывает, что дзета-функцияможет быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём неимеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при />.

Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосноватьпочленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и егочастичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечномотрезке допустимо. Ввиду /> /> для любого />, остаётся доказать, что /> /> при/>. Но интегрируя внутреннийинтеграл по частям   имеем />

/>. Отсюдабез труда получается наше утверждение.

Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записаномногими способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство

/>                                                                       (8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральноечисло. Имеем />. По формуле (4)первой главы /> />,а />, поэтому /> и произведя в правой части всесокращения, учитывая, что />, получим />.

Покажем ещё, что />. Дляэтого прологарифмируем равенство (8): />  /> и результатпродифференцируем /> />. В окрестности точки s=1 />, /> />, />,где С – постоянная Эйлера, а k – произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице,получим />, то есть />. Опять из формулы (4) главы1 при k=0 />, значит,действительно, />.

Глава 3.

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широкоприменяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность еёвыявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучениираспределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ осерьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамкиэтой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем сеё помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много.Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит вследующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначимих p1, p2, …, pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает нис одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, чтопротиворечит предположению. Значит, количество простых чисел не может бытьконечным.

Другое доказательство этого факта, использующеедзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство(5) при s=1, получим />, отсюда /> и ввиду расходимостигармонического ряда, имеем при /> 

/>                                                                                         (1). Если бы количество простых чисел былоконечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученныйрезультат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде />.Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимостипредыдущего делаем вывод, что ряд /> расходится.Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём,что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так какздесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном рядеимеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: />, />,…, />.

Несмотря на свою простоту приведённые выше предложенияважны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всёболее и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сейдень. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и былоисследование функции />, то естьколичества простых чисел не превосходящих x. В качестве примераформулы, связывающей /> и />, мы сейчас получим равенство

/>                                                                                     (2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции впроизведение: />. Излогарифмического ряда />,учитывая, что />, приходим к ряду /> />.Значит, />.

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при /> />,то />. Во внутреннем интегралеположим />, тогда /> и />, отсюда />.В промежутке интегрирования />, поэтому верно разложение /> и /> />.Получаем /> />.Теперь /> /> />. Если сравнить полученноезначение интеграла с рядом для />, тоувидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.

Используем формулу (2) для доказательства одной оченьсерьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический законраспределения простых чисел, то есть покажем, что />.

В качестве исторической справки отмечу, что великийнемецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерностьещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математическихтаблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемсяразрешить это уравнение относительно />, то естьобратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующимобразом. Пусть /> />. Тогда

/>                                                                                  (3). Этот интеграл имеет нужную форму, а /> неповлияет на асимптотику />.Действительно, так как />, интеграл для /> сходится равномерно вполуплоскости />, что легкообнаруживается сравнением с интегралом />.Следовательно, /> регулярна иограничена в полуплоскости />. То жесамое справедливо и относительно />, так как /> />.

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бывесьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуемравенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем />. Обозначим левую часть через/> и положим />, />,(/>, /> и/> полагаем равными нулю при />). Тогда, интегрируя почастям, находим /> при />, или />.

Но /> непрерывна и имеетограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как />, то /> (/>)и /> (/>).Следовательно, /> абсолютноинтегрируема на /> при />. Поэтому /> при />, или /> при />. Интеграл в правой частиабсолютно сходится, так как /> ограниченнапри />, вне некоторой окрестноститочки />. В окрестности /> /> иможно положить />, где /> ограниченна при />, /> иимеет логарифмический порядок при />. Далее, /> />.Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой />, то есть />. Во втором члене можноположить />, так как /> имеет при /> лишь логарифмическуюособенность. Следовательно, />.Последний интеграл стремится к нулю при />.Значит,

/>                                                                                                           (4).

Чтобы перейти обратно к />,используем следующую лемму.

Пусть /> положительнаи не убывает и пусть при /> />. Тогда />.

Действительно, если /> -данное положительное число, то /> /> (/>).Отсюда получаем для любого /> /> />.Но так как /> не убывает, то />. Следовательно, />. Полагая, например, />, получаем />.

Аналогично, рассматривая />,получаем />, значит />, что и требовалось доказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что />, />,поэтому /> и теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теориидзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемомусписку использованной литературы.

Список литературы

Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000г.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегральногоисчисления, том II. М.,1970 г.

Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексногопеременного. М.,1999 г.

Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современнуютеорию чисел. М.,1987 г.

Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.

еще рефераты
Еще работы по математике