Реферат: Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона

Метод Ньютона-Рафсона, также известный как МетодНьютона, представляет собой обобщенный метод поиска корня уравнения

/>

/>

(1)

Примем x = xj в качестве j-го приближения ккорню уравнения (1). Предположим, что xj не является решением.Следовательно,/>. Предположим также, что мы получили разложение в ряд Тейлора для уравнения (1)относительно точки x = xj:

/>

(2)

Если примем в качестве следующего члена x = xj+1,то уравнение (2) будет иметь вид:

/>

(3)

Теперь предположим, что справедливо необязательноедопущение того, что предыдущее приближение xj былоудовлетворительным, так что xj+1 — xj мало. Если этопредположение верно, мы можем пренебречь членами более высокого порядка вуравнении (3), так как n-я степень малой величины значительно меньше, чем малаявеличина для n>=2. В этом случае уравнение (3) может быть аппроксимированоследующим образом:

/>

(4)

Нашей целью является выбор такого xj+1,чтобы оно стало решением уравнения (1). Следовательно, если наше предыдущеепредположение справедливо, xj+1 должно быть выбрано таким, что/>. Приравнявуравнение (4) к нулю и решив относительно xj+1, получим:

/>

(5)

Уравнение (5) называется уравнением Ньютона — Рафсона.Если наше предположение, приведшее к выводу уравнения (5), справедливо, этоталгоритм будет сходящимся, но только в том случае, если точка начальногоприближения достаточно близка к точке решения. Геометрическая интерпретациясходящегося метода Ньютона — Рафсона приведена на рис. 1а.

/>

/>

а) метод сходится б) метод не сходится

Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона — Рафсона

Однако, если точка начального приближения далека отточки решения, то метод Ньютона — Рафсона может не сходиться совсем.Геометрическая интерпретация не сходящегося метода Ньютона — Рафсона приведенана рис. 1б.

Алгоритм

Назначение: поиск решения уравнения (1)

Вход:

   Начальное приближение x0

   Точность (число итераций I)

Выход:

   xI — решение уравнения (1)

Инициализация:

   calculatef’(x0)

Шаги:

1.     repeat:

2.            calculate xi using(5)

3.            let i=i+1

4.            if i>I then break thecycle

       endof repeat

Модификация алгоритма Ньютона для решения системынескольких уравнений заключается в линеаризации соответствующих функций многихпеременных, т. е. аппроксимации их линейной зависимостью с помощью частныхпроизводных. Например, для нулевой итерации в случае системы двух уравнений:

/>

Чтобы отыскать точку, соответствующую каждой новойитерации, требуется приравнять оба равенства нулю, т.е. решить на каждом шагеполученную систему линейных уравнений.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта www.xaoc.ru/

еще рефераты
Еще работы по математике