Реферат: Полуточка: модель скорости
Каратаев Евгений Анатольевич
Настоящаястатья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простыхиллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестныхслучаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основноммодель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляетсялибо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языкегиперкомплексных чисел.
Дляпонимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положениямодели полуточки и модели миров.
Точкапространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта кдругой:
/>
(1)Считается,что точка />принадлежит миру с временем />:
/>
(2)Вэтой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаютсясовпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются внекоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.
Состоянияточки в два различных момента времени могут быть определены относительно однойи той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второеможно попасть, совершив преобразование системы координат:
/>
(3)Здесьвеличина />определяет преобразование, которое следуетсовершить для такого перехода. При этом />есть разностьвремён этих двух миров:
/>
(4)Такжебудем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малымрасстоянием во времени:
/>
(5)Подскоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Есливеличина />зависит от величины />, и с течением />величина/>испытываетизменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин />и />:
/>
(6)Ещёодно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной моделипреобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишьпространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяетдва различных преобразования:
/>
(7)и
/>
(8)Здесьв первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором — скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точкизрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:
/>
(9)/>
(10)/>
(11) /> /> />Видно,что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того,что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут бытьпредставлены как:
/>
(12)/>
(13)гдечерез />обозначен оператор />с вынесеннойпсевдоскалярной составляющей из его параметров:
/>
(14)Такимобразом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1)использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использоватьскалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасываниемрассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того,что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и всилу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.
Аименно:
/>
(15)/>
(16)Поэтомумы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.
Всилу того, что величина />и её приращение являютсяскалярами, имеем:
/>
(17)Ив случае когда />мало, имеем:
/>
(18)/>
(19)Используяэто соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение дляпреобразования точки:
/>
/>
(20)Оставивчлены первого порядка малости по />:
/>
(21)Используяопределение полуточки
/>
получим:
/>
(22)Положивточку функцией величины />и сравнив с разложением еёв ряд Тейлора в окрестности />, получим:
/>/>
(23)Этовыражение и является определением скорости точки />, если она движется вовремени />, испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:
/>
(24)Выражение(23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:
/>
(25)Тоесть абсолютное приращение точки />выполняется несмотря напроизвольность величины />так, что точка />остаетсясама себе скалярно-векторно сопряжённой.
Отметимтакже, что в силу свойства точки />верноравенство:
/>
(26)Далее…
Придерживаясьмодели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины />и />дуальнымибикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторнойсопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.
Дляпонимания дальнейшего вывода представим величины />и />в виде, явносодержащем разделение на главную и дуальную части:
/>
/>
(27)Здесьиндексом />обозначены главные части, а индексом /> — дуальные. Пользуясьвведенным обозначением, распишем выражение скорости:
/>
Сгруппировавглавные и дуальные части, получим:
/>/>
(28)Используяэто разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаивеличин />, />, />и />, оценим характервклада в скорость точки />отдельных величин />и/>. А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестнымскоростям.
Случай1.
Зададимточку />как дуальный вектор с единичной главной частью:
/>
(29)авеличину />как дуальный вектор с нулевой главной частью:
/>
(30)Тогда,используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:
/>
(31)Всилу того, что выбрано условие />, имеем:
/>
(32)Такимобразом, в приведённых выше условиях величина />является линейной скоростьюприращения дуальной части />. В силу того, что всостав величины />входит какполярная, так и дуальная части, то есть:
/>
(33)тов силу свойств функций />и />, определённыхкак
/>
(34)/>
(35)Иимеющих свойства сопрягаться:
/>
(36)/>/>
(37)Имеемравенство для первого случая:
/>
(38)Или:величина />является линейной скоростью изменения вектора/>.
Случай2. Выберем величины />и />такими, чтовыполняются следующие условия:
/>
(39)Используявыражение (29) с этими условиями, получим:
/>
(40)Всилу выбора />и свойства (38) имеем:
/>
(41)И,также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:
/>
(42)Переведявеличины />и />в векторную запись ираскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:
/>
(43)гдес помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерныхвекторов />и />.
Или:величина />является угловой скоростью вращения вектора />.
Такимобразом, величины />и />имеют всем хорошо известные механические кинематическиеинтерпретации.
Цельюнастоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях.Поэтому полный разбор сочетаний />и />здесь нерассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темойотдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.
Кбудущим исследованиям могут быть отнесены: величины />и />, а также отдельное исследование главной части точки />. Вданной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модельпреобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной иглавной частей вектора />, существенно увеличив егоразмерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданностьтакого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной возможностьзамены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое впреобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта karataev.nm.ru/