Реферат: Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов

Федеральное агентство по образованию

Тольяттинский государственный университет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

по теории и методикеобучения математике на тему

Изучение функций в курсе математики

VII-VIIIклассов

Выполнила:

Студентка группы Мз-401

Барейчева Л.В.

Научный руководитель:

Антонова И.В.

К.П.Н., ст.преподаватель

Tольятти 2005 г.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

Содержание

Nп/п

Стр.

1

Введение

3

2

Определение функции

4

3

Различные подходы к введению понятия функции в школе

8

4

Методика введения понятий: функции, аргумента, области определения.

11

5

Методика изучения прямой и обратной пропорциональной зависимости

17

6

Методика изучения  линейной, квадратной и кубической функции в VIIклассе.

19

7

Методика введения понятия обратной функции, функции вида y=√xв VIIIклассе

26

8

Заключение

28

9

Список литературы

29

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

Введение

Данная курсовая работа посвящена изучению функций вкурсе математики VII-VIIIклассов. В ней даётся исторический экскурсопределения понятия функции, рассматриваются различные подходы к введениюпонятия функции в школе. Отдельно рассматриваются общие вопросы методикивведения понятий: независимой и зависимой переменной, функциональнойзависимости, аргумента, функции,  областиопределения функции. Приводятся примеры.

Основная часть курсовой работы направлена нарассмотрение вопросов методики изучения в VII-VIIIклассахшкольного курса математики функций, образующих классы, которые обладаютобщностью аналитического способа задания функций, сходными особенностямиграфиков, областей применения. Освоение индивидуально заданной функциипроисходит в сопоставлении черт, специфических для неё, с общим представлением о функции. Особое внимание уделенометодике изучения линейной, квадратичной и кубической функций и их графиков, атакже рассматриваются понятия обратной функции и функции вида  y=√¯x. 

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

Определениефункции

        Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции.Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

         Идеяфункциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первыхматематически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилахдействий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех илииных фигур.

         Тевавилонские ученые, которые 4<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

5 тысяч лет назад нашли дляплощади S круга радиусом rформулу S=3r2(грубо приближенную), темсамым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функциейот его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиесявавилонянами, представляют собой задания функции.

        Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции исистематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в.в связи с проникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта ив работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существуинтуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо смеханическими представлениями: ординаты точек кривых <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

функции от абсцисс (х); путь и скорость <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">-функции от времени (t)и тому подобное.

        Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь кпервому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривалв своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощьюуравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функциистало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

формулы.

         Слово“функция” (от латинского functio <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с1673 г. в смысле роли (величина,выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функцияот х” стало употребляться Лейбницем иИ. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и“константа” (постоянная). Для обозначения произвольной функции от хИоганн Бернулли применял знак <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">jх, называя <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">jхарактеристикой функции, а также буквы хили <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">e; Лейбниц употреблял х1,х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f: х, f: (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f (x),  f (x + y). Наряду с <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">jЭйлер предлагаетпользоваться и буквами <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">F, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Yи прочими. Даламбер делает шаг вперед напути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово  двоеточие; он пишет,  например, <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">jt, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j(t + s).

         Явноеопределение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудниковЛейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: “Функциейпеременной величины называют количество, образованное каким угодно способом изэтой переменной величины и постоянных”.

        Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает копределению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л.Эйлера гласит: “Функция переменного количества есть аналитическое выражение,составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянныхколичеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер,Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегдапридерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалосьдальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. Внекоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции,понимая ее как кривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с такимвзглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередьего постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возниклабольшая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выраженияпроизвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следуетсчитать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованиемколебаний струны.

        В“Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер дает общееопределение функции: “Когда некоторые количества зависят от других такимобразом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, топервые называются функциями вторых”. “Это наименование, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

продолжает далее Эйлер, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-имеет чрезвычайно широкий характер; оноохватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других”.На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем“Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению”, опубликованном в1797 г., смог записать следующее: “Всякое количество, значение которого зависитот одного или многих других количеств, называется функцией этих последнихнезависимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейтиот них к первому”.

         Каквидно из этих определений, само понятие функции фактически отождествлялось саналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вXIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

         Большой вклад в решение спора Эйлера,Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следуетпонимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье(1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленныхим в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг., работах по теориираспространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций,которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

         Изтрудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких икаких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единогоаналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемыеаналитическим выражением. В своем “Курсе алгебраического анализа”,опубликованном в 1821 г., французский математик О. Коши обосновал выводыФурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики сталоясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которыхочень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическимаппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознаниемрасширение понятия функции.

         В1834 г. в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н. И. Лобачевский,развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал:“Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается длякаждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значениефункции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, котороеподает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец,зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взглядтеории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа,одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе”.

         Ещедо Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказаначешским математиком Б. Больцано. В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихлетак сформулировал общее определение понятия функции: “у есть функция переменнойх(на отрезке a <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£

х <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£b), если каждому значению х(на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у,причем безразлично, каким образом установлено это соответствие <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-аналитической формулой, графиком, таблицейлибо даже просто словами”.

         Такимобразом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятиефункции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластияматематической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функцииделается на идею соответствия.

         Вовторой половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимоидеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полномсвоем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом:если каждому элементу х множества А поставлен всоответствие некоторый определенный элемент умножества В, то говорят, что на множествеА задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множестваА называют значениями аргумента, а элементы умножества В <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

значениями функции; вовтором случае х <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-прообразы, у <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">-образы. В современном смысле рассматривают функции, определенныедля множества значений х, которые, возможно, и не заполняютотрезка a <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£x <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£b, о котором говорится вопределении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функцииприменимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другимматематическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любомгеометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

         Общееопределение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссийв результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первойполовине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалосьна этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. этоопределение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Ещеважнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие болееширокого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятияфункции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основыквантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного изоснователя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, котораявыходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советскийматематик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

40-х годах нашего столетия работы, в которыхнеизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучшесоответствует физической сущности явлений.

         Вобщем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первымрассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, иприменил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важныйвклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилови другие.

        Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольноприходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно,никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом.Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новымрасширениям понятия функции и других математических понятий. Математика <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

незавершенная наука, она развивалась напротяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться вдальнейшем.<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Различные подходы к определению понятия функции.

Обос­нованиефункциональной линии как ведущей для школьного кур­са математики — одно изкрупнейших достижений современной методики. Однако реализация этого положенияможет быть прове­дена многими различными путями; многообразие путей вызванофундаментальностью самого понятия функции.

Для того  чтобы составить представление  об этом многообра­зии, сравним две наиболее резко различающиеся методическиетрак­товки этого понятия; первую мы назовем генетической, а вторую —логической.

Генетическаятрактовка понятия функции основана на раз­работке и методическом освоении основныхчерт, вошедших в понятие функции до середины XIXв. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят всистему функцио­нальных представлений, служат переменная величина, функцио­нальнаязависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную черезнекоторую комбинацию других переменных), декартова система координат наплоскости.

Генетическоеразвертывание понятия функции обладает рядом достоинств. В нем подчеркивается«динамический» характер по­нятия функциональной зависимости, легко выявляетсямодельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такаятрактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры,поскольку большинство функций, используе­мых в нем, выражаются аналитически илитаблично.

Генетическаятрактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматриватькак ограничительные. Од­ним из очень существенных ограничений является то, чтоперемен­ная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому взначительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одногочислового аргумента (определенными на чис­ловых промежутках). В обученииприходится, используя и развивая функциональные представления, постоянновыходить за пределы его первоначального описания.

Логическая трактовка понятия функции исходит из положения о том, чтостроить обучение функциональным представлениям сле­дует на основе методическогоанализа понятия функции в рамках понятия алгебраической системы. Функция притаком подходе выступает в виде отношения специального вида между двумямножествами, удовлетворяющего условию функционально­сти. Начальным этапомизучения понятия функции становится вывод его из понятия отношения.

Реализация логического подхода вызывает необходимость ил­люстрироватьпонятие функции при помощи разнообразных средств; язык школьной математики приэтом обогащается. Помимо формул и таблиц, здесь находят свое место заданиефункции стрелками, перечислением пар, использование не только числового, но игео­метрического материала; геометрическое преобразование при таком подходеоказывается возможным рассматривать как функ­цию. Обобщенность возникающегопонятия и вытекающие отсюда возможности установления разнообразных связей вобучении ма­тематике — основные достоинства такой трактовки.

Однако выработанное на этом пути общее понятие оказыва­ется в дальнейшемсвязанным главным образом с числовыми функ­циями одного числового аргумента, т.е. с той областью, в которой оно гораздо проще формируется на генетическойоснове.

Таким образом, если генетический подход оказывается недос­таточным дляформирования функции как обобщенного понятия, то логический обнаруживаетопределенную избыточность. Отметим, что различия в трактовках функциипроявляются с наибольшей резкостью при введении этого понятия. В дальнейшемизучении функциональной линии различия постепенно стираются, посколькуизучается в курсах алгебры и начал анализа не само понятие функции, а восновном конкретно заданные функции и классы функций, их разнообразныеприложения в задачах естествозна­ния и общественного производства.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методическихпоисков в качестве ведущего был принят гене­тический подход к понятию функции.Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода.Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов всоставе функциональной линии система обучения строится так, чтобы вниманиеучащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четкоразграниченных пред­ставлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, наустановлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Инымисловами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции иустановлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:

— представление  о   функциональной   зависимости  переменных
величин в реальных процессах и в математике;

— представление о функции как о соответствии;

— построение и использование графиков функций, исследова­ние функций;

— вычисление  значений   функций,   определенных   различными
способами.

В процессе обучения алгебре все указанные компоненты при­сутствуют прилюбом подходе к понятию функции, но акцент мо­жет быть сделан на одном из них.Как только что мы отметили, функциональный компонент является основой введенияи изучения понятия функции. На этой основе при организации работы надопределением вводятся и другие компоненты, проявляющиеся в различных способахзадания функциональной зависимости и ее графического представления.

Рассмотрим теперь взаимодействие компонентов на примере, относящемся кформированию прикладных умений и навыков.

Пример 1. С мороза в комнату внесли банку сольдом и стали наблюдать за изменением температуры вещества в банке: ледпостепенно таял, когда он растаял весь, температура воды стала повышаться, покане сравнялась с температурой в комнате. На рисунке  изображен график зависимости температуры отвремени.

<img src="/cache/referats/18897/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

 Ответьте на вопросы: а) Каковаисходная температура льда? б) За какое время температура льда повысилась до 0°С? в) Какая температура в комнате? г) Укажите область, на которой определенафункция, промежутки ее возрастания, промежуток, на котором она постоянна.

В этом примере необходимо использовать все компоненты, кроме последнего,вычислительного компонента. Процесс с самого начала представлен какфункциональная зависимость. В вопросах требуется уточнить характер этойзависимости (вопрос г)), выяс­нить соответствующие значения функции и аргументав определен­ные моменты процесса (вопросы а) и в)).

Понятие функции, в системе формирования которого должны присутствоватьтакие задания, сразу выступает в курсе математики как определённаяматематическая модель, что и является мотивировкой для его углублённогоизучения.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

Методика введения понятий:

функции, аргумента, области определения.

        Несмотря на чрезвычайно большой объем, широту и сложность понятия функции, егопростейший вариант дается уже в средних классах школы. Это понятие в дальнейшемиграет важную роль, являясь базовым понятием в изучении алгебры и началанализа. Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойствфункций и функциональных зависимостей. Рассматриваются различные классыфункций: начиная с простейших линейных функций и их графиков, затем следуютквадратичные функции, функции обратной пропорциональности и дробно-линейныефункции. В более старших классах вводятся тригонометрические функции, и,наконец,  показательные и логарифмическиефункции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной,причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.

         Внастоящее время, на волне педагогического поиска, стало появляться множествоэкспериментальных учебников для использования в школе. Наряду с добротными,толково написанными учебниками, в школы стала попадать, под предлогомапробации, масса учебников с довольно вольной трактовкой учебного материала, втом числе и глав, касающихся изучения функций. Часто нарушается логическийпорядок следования изучаемых разделов, допускаются ошибки при построенииграфиков, материал необоснованно упрощается, примитивизируется или наоборот,чрезмерно перегружается терминами и символикой.

         Введение понятия функции — длительныйпроцесс, завершаю­щийся формированием представлений о всех компонентах этогопонятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ееприложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

— упорядочение   имеющихся  представлений   о   функции,  развертывание системы понятий,   характерных   для  функциональной линии (способы задания и общие свойства функций,графическое
истолкование  области  определения,  области   значений,   возрастания и т. д. на основе методакоординат);

— глубокое изучениеотдельных функций и их классов;

— расширение  области приложений  алгебры за  счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий сфункцией.

Первое из этихнаправлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных.

В реализации этогонаправления значительное место отводится усвоению важного представления,входящего в понятие функции,— однозначности соответствия аргумента иопределенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопросапривлекаются различные способы задания функции.

Чаще других вматематике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другиеспособы играют подчи­ненную роль. Именно поэтому после первого знакомства снесколь­кими такими способами основное внимание в обучении уделяется темфункциям и классам, которые имеют стандартную алгебраи­ческую форму ихвыражения. Однако при введении понятия со­поставление разных способов заданияфункции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практическойпотребностью: и таб­лицы, и графики, как правило, служат для удобного вопределенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую формузаписи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего много­образия аспектов понятияфункции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующуюсистему представ­лений и операций, а эта система такова, что различныекомпоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественноразличными средствами.

 Использование перевода задания функ­ции изодной формы представления в другую — необходимый методический прием привведении понятия функции.

Реализация этогоприема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены всеслучаи такого перевода. Если ограничиться основными способами представленияфунк­ции — формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов уп­ражнений, прикоторых форма представления меняется, и 3 — при которых она остается такой же.Приведем примеры заданий первого типа — изменения формы представления:

а)      Изобразить график функции  у =4х+1  на промежутке [0; 2].

б)      Проверить, насколько  точна   таблица  квадратов  чисел,
взяв несколько значений для аргумента и проведя расчет: x=1,35;
2,44; 9,4; 7; 6,25.

в)      На рисунке изображены точки накоординатной плоскости,
выражающие результаты наблюдений за атмосферным давлением.
Построить график зависимости давления от времени в промежутке
12≤t≤18, соединив эти точки плавнойлинией.

Мы рассмотримметодику работы с этими заданиями только на этапе первоначального ознакомленияс понятием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. Нарассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего вида графика линейной функции(задание а)). Поэтому график функции  у=4х+1 они могутпостроить только по точкам. Учитель может обратить внимание на то, что поточкам нельзя построить целиком график функции, если она определена набесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на прямой; оказывается,что это замечание верно. Таким образом, можно установить связи с дальнейшимизучением материала. Способ построения графика функции по точкам ил­люстрируетсязаданием в); пользуясь конкретным содержанием задания, учитель может отметить,что предлагаемые учащимися графики могут отличаться от действительногоположения, но что на практике этим приемом часто приходится пользоваться (ин­терполяция).В задании б) можно отметить связь функциональных представлений с числовойсистемой — с понятиями точного и при­ближенного числового значения. С ихсопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении графиков,потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.

В настоящее время в изучениипонятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода:индуктивный и дедуктивный. Сложившись исторически, они наиболее полно отвечаютцелям и задачам образования, и поэтому именно им отдано предпочтение приизучении математики, в том числе функций, в средних классах школ.

         Воткак, примерно, реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7классе:

         “Напрактике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами.Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического брусказависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипедазависит от его длины, ширины и высоты.

         Вдальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами.

            Рассмотрим примеры.”

         Далееследуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенныйматериал.

         Пример 2. Площадь квадрата зависит отдлины его стороны. Пусть сторона квадрата равна a см, а его площадь равна S см2.

         Длякаждого значения переменной a можнонайти соответствующее значение переменной S.

         Так,

                                    если a = 3,    то S = 32 = 9;

                                    если a =15,  то S = 152 = 225;

                                    если a =0,4, то S = 0,42 = 0,16.

        Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой

S= a2

(по смыслу задачи a > 0).

         Затемдается первое определение зависимой и независимой переменных:

        “Переменную a, значениякоторой выбираются произвольно, называют независимой переменной, а переменнуюS,значения которой определяются выбранными значениями a, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

зависимой переменной”.

        П ри м е р 3. На рисунке  изображенграфик температуры воздуха в течении суток.

<img src="/cache/referats/18897/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

С помощью этого графика для каждого момента времени t(в часах), где 0 <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£

t <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">£24, можно найтисоответствующую температуру p (вградусах Цельсия). Например,

если t = 6, то p = <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">-

2;

если t = 12, то p = 2;

если t = 17, то p = 3;

         Здесьtявляется независимой переменной, а p <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

зависимой переменной.

         Пример4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которойотносится станция. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны, а буквой m <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">-

соответствующая стоимостьпроезда в рублях):

<img src="/cache/referats/18897/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

         Поэтой таблице для каждого значения n,где n = 1, 2, ..., 9, можно найтисоответствующее значение m. Так,

если n = 2, то m = 1.5;

если n = 6, то m = 4   ;

если n = 9, то m = 8.5;

         Вэтом случае n является независимойпеременной, а m <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">-

зависимой переменной.”

        Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции,объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами,учащиеся интуитивно нащупывают суть этог

еще рефераты
Еще работы по математике. педагогике