Реферат: Функціональне відображення поведінки споживача

Функціональне відображення поведінки споживача

1. Геометричнеподання зміни попиту при зміні доходу й цін

Припустимозмінюється доход (/>). Йогозбільшення або зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зізміною доходу змінюється й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можназнайти точку рівноваги, в якій забезпечується максимум функції корисності />. Нехай цими точками є точки/>, />, />, /> на рис. 1. З'єднавши їх,одержимо криву />. Така криваназивається кривою доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгелявідображує зміну попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, колижоден з товарів не є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – ціннийтовари, крива Енгеля приймає вигляд, зображений на рис. 2.

/> />

Рисунок 1.                                       Рисунок2

Припустимо, щозмінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2.Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)

/>.

Нехай /> зменшується. Тоді точка /> переходить у точку />, а точка /> – у точку /> – нову точку рівноваги, вякій споживачеві забезпечується новий максимум функції корисності />. Зменшимо ціну />. Тоді точка /> переміститься в точку />, а точка /> займе положення точки /> й т.д. З'єднавши точки />, />, />, />, /> одержимо кривуціни-споживання (або криву цін) як геометричне місце точок, які характеризуютьзміну попиту двох товарів при зміні ціни />.На відміну від лінії доход-споживання, що виходить із початку координат, лініяціна-споживання починається в точці />.

/>

Рисунок 3

Проаналізуємобільш детально процес переходу з точки /> вточку /> при зміні ціни /> (рис. 4). Позначимовихідну бюджетну лінію через />, а змінену– через />. Проведемо пряму /> паралельно прямій лініїцін /> так, щоб вона мала точкудотику з кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка />. Як у точці />, так й у точці /> споживачеві забезпечуєтьсяодин і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать одній кривійбайдужності. Перехід із точки /> в /> розглянемо поетапно:спочатку з /> в точку />, потім із точки /> у точку />. Перехід з А в точку В несупроводжується зміною корисності. Ціна першого товару знизилася, тому попит нанього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим, що відповідає ефектузаміни. Перехід із точки /> у точку/> відповідає ефекту доходу йобумовлений зміною реального доходу при зміні цін.

/>

Рисунок 4

2 Аналізматематичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача

При будь-яких додатних цінах /> і доході /> розв’язок задачі поведінкуспоживача, існує й єдиний.

Очевидно, що цей розв’язок залежить від /> і />, тобто вибір споживача єфункцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція називається функцією попиту /> або в розгорнутомувигляді:

/>.

Цей запис означає, що при цінах /> і доході /> вибирається споживчих благу кількостях />.

Основною властивістю функції попиту є її однорідністьщодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційнихзмін /> й />:

/>, де />.

Ця властивість виражає той факт, що вибір споживачазалежить тільки від співвідношення цін на товари, а не від масштабу цін.

Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченнічутливості розв’язку до зміни її параметрів /> і/>. Цей підхід у математичнійекономіці називається методом порівняльної статистики.

Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою /> умови першого порядку йможуть бути розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів /> і оптимального множникаЛагранжа />, тобто розв’язок подаєтьсяу вигляді функції попиту /> та функціїпопиту та доходу />. Поставимо /> й />в

/>

або врозгорнутому вигляді

/>                (1)

Позначимо/> і />.

Отжеперейдемо до аналізу математичноїмоделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів /> і />:1.Розглянемо вплив зміни доходу /> на розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо(1) по />, тоді одержимо

/>                (2)

де /> і /> відображають ступіньчутливості стосовно зміни />.

Позначимо />, тодів матричному позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:

/>,

де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, щооблямована цінами, тобто

/>, де /> –вектор-рядок.

Припустимо, що />.Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні /> одержимо

/>

де /> – алгебраїчні доповненняелементів />, /> відповідно.

Якщо />, то />-й товар називається коштовним(цінним), при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. Навипадок, коли /> />-й товар називається малоцінним.

2. Розглянемовплив зміни ціни одного товару, наприклад />,на поведінку споживача. Диференціюючи (1) по />,одержимо:

/>        (3)

де /> – дельта Кронекера />. Запишемо систему (3) утакому вигляді:

/>.

Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто/>, тоді маємо прифіксованому /> такий розв’язок, якийназивають рівнянням Слуцького

/>

/>                          (4)

Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності.Вираз /> називається коефіцієнтомСлуцького. З рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на />-й товар зміна попиту на />-й товар наведена двомадоданками, перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальнийефект = вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на />-й товар відбуваєтьсязростання доходу (ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю />-го товару – частина йоговитрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).

Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх /> та /> таких, що />, тоді матриця /> розміром /> симетрична й від’ємно визначена, тобто />.

Можнавстановити властивості цієї матриці.

Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначаютьзміну />, яка є результатомваріації ціни />, за умови, щодоход підтримується на такому рівні, що значення /> залишаєтьсянезмінним.

При /> товари /> та /> прийнято вважативзаємозамінюючими, при /> –взаємодоповнюючими, а при /> –незалежними.

3 Коефіцієнтеластичності

Коефіцієнтомеластичності функції одного аргументу /> називаєтьсявеличина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відноснийприріст аргументу. Позначаючи еластичність через />,маємо за означенням

/>,

де /> – приріст аргументу;

/> – викликаний ним прирістфункції.

Звичайно правучастину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичностіпоказує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументуна 1%.

При /> маємо

/>.

Якщо функція /> є функцією декількохаргументів, то говорять про часткові коефіцієнти еластичності

/>.

Функція попиту /> євекторною функцією, її можна розглядати як сукупність /> функцій попиту на окремітовари />, кожна з яких є функцієювід /> змінної. Отже, для кожноїз цих функцій існує /> частковийкоефіцієнт еластичності.

Залежновід типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.

Величини />, щопоказують, на скільки відсотків зміниться попит на />-йтовар у розрахунку зміни ціни />-готовару на 1%, називають коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо /> – то перехресними коефіцієнтами).

Показники />, щохарактеризують аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю задоходом.

4 Алгоритми розв’язання задачі споживання

Умови Куна-Такера дають повну характеристикурозв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними залгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтніметоди.

Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методамиполягає в тому, що, починаючи з деякої точки />,здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайденийприйнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на двакласи.

До першого класу відносять методи, в яких точки />, що досліджуються, невиходять за межі області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з такихє метод Франка-Вульфа.

До другого класу методів відносять методи, під часвикористання яких досліджувані точки /> можутьяк належати, так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца,метод штрафних функцій).

Під час знаходження розв’язку задачі градієнтнимиметодами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функціїв черговій точці /> не станедорівнювати нулю або ж поки

/>,

де /> –достатньо мале позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.

Длячисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.

Нехай потрібно знайти максимальне значення функціїкорисності /> за умови />.

Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням взадачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійноїцільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чомурозв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійногопрограмування.

Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методуФранка-Вульфа:

1.Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належитьобласті припустимих розв’язків задачі.

2.Знайдемо градієнт цільової функції в точці /> />

/>.

3.Побудуємо лінійну функцію />

/>.

4.Знайдемо максимум /> при обмеженні />, тобто розв’яжемо задачулінійного програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор />, що доставляє максимум />.

5.Визначимо значення оптимального кроку обчислення /> заформулою

/>.

6.Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою

/>.

7.Знайдемо значення />, />.

8.Порівняємо отримані />, /> з точністю />. Якщо />, тоді /> і алгоритм переходить допункту 2, якщо />, тоді отриманооптимальний розв’язок задачі /> і /> при />.