Реферат: Логические парадоксы
План:
I. Введение
II. Апории Зенона
- Ахилли черепаха
- Дихотомия
- Стадий
III. Парадокслжеца
IV. Парадокс Рассела
I. Введение.
Парадокс— это два противоположных, несовместимыхутверждения, для каждого из которыхимеются кажущиеся убедительными аргументы.Наиболее резкая форма парадокса — антиномия,рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно изкоторых является отрицанием другого.
Особойизвестностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках — математикеи логике. И это не случайно.
Логика— абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нетдаже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логикаисходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этогоанализа носят синтетический характер. Они не являются констатациями каких-либоотдельных процессов или событий, которыедолжна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назватьнаблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.
Конструируяновую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можнонаблюдать в опыте. Как бы ни была свободнаего творческая фантазия, она должна считаться с одним непременнымобстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуетсяс относящимися к ней фактами. Теория,расходящаяся с фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.
Ноесли в логике нет экспериментов, нет фактов и нетсамого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются вовнимание при создании новых логических теорий?
Расхождениелогической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается вформе более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в формелогической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим какраз объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и тобольшое внимание, которым они в ней пользуются.
Одиниз первых и, возможно, лучших парадоксов был записан Эвбулидом, греческим поэтоми философом, жившим на Крите в VI веке до н. э. В этом парадоксекритянин Эпименид утверждает, что все критяне — лжецы. Если он говоритправду, то он лжет. Если он лжет, то он говорит правду. Так кто жеЭпименид — лжец или нет?
Другойгреческий философ Зенон Элейский составил серию парадоксов обесконечности — так называемые “апории” Зенона.
То, что сказал Платон, есть ложь.
Сократ
Сократ говорит только правду.
Платон
II. Апории Зенона.
Большойвклад в развитие теории пространства и времени, в исследование проблем движениявнесли элеаты (жители города Элея в южной Италии). Философия элеатов опираласьна выдвинутую Парменидом (учителем Зенона) идею о невозможности небытия. Всякаямысль, утверждал Парменид, всегда есть мысль о существующем. Поэтомунесуществующего нет. Нет и движения, так как мировое пространство заполнено всецеликом, а значит, мир един, в нем нет частей. Всякое множество есть обманчувств. Из этого вытекает вывод о невозможности возникновения, уничтожения. ПоПармениду ничто не возникает и не уничтожается. Этот философ был первым, ктоначал доказывать выдвигаемые мыслителями положения
Элеатыдоказывали свои предположения отрицанием утверждения, обратного предположению.Зенон пошел дальше своего учителя, что дало основание Аристотелю видеть вЗеноне родоначальника «диалектики»- этим термином тогда называлосьискусство достигать истины в споре путем выяснения противоречий в суждениипротивника и путем уничтожения этих противоречий.
Ахилл и черепаха.Начнемрассмотрение зеноновских затруднений с апорий о движении “Ахилл и черепаха”.Ахилл — герой и, как бы мы сейчас сказали, выдающийся спортсмен. Черепаха, какизвестно, одно из самых медлительных животных. Тем не менее, Зенон утверждал,что Ахилл проиграет черепахе состязание в беге. Примем следующие условия. ПустьАхилла отделяет от финиша расстояние 1, а черепаху — ½. ДвигатьсяАхилл и черепаха начинают одновременно. Пусть для определенности Ахилл бежит в2 раза быстрее черепахи (т.е. очень медленно идет). Тогда, пробежав расстояние½, Ахилл обнаружит, что черепаха успела за то же время преодолетьотрезок ¼ и по-прежнему находится впереди героя. Далее картинаповторяется: пробежав четвертую часть пути, Ахилл увидит черепаху на однойвосьмой части пути впереди себя и т. д. Следовательно, всякий раз, когдаАхилл преодолевает отделяющее его от черепахи расстояние, последняя успеваетуползти от него и по-прежнему остается впереди. Таким образом, Ахилл никогда недогонит черепаху. Начав движение, Ахилл никогда не сможет его завершить.
Знающиематематический анализ обычно указывают, что ряд сходится к 1. Поэтому,дескать, Ахилл преодолеет весь путь за конечный промежуток времени и,безусловно, обгонит черепаху. Но вот что пишут по данному поводуД. Гильберт и П. Бернайс:
“Обычно этот парадокс пытаются обойтирассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интерваловвсе-таки сходится и, таким образом, дает конечный промежуток времени. Однакоэто рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальныймомент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечнаяпоследовательность следующих друг за другом событий, последовательность,завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически,но хотя бы в принципе), на самом деле все-таки должна завершиться”.
Принципиальная незавершаемость даннойпоследовательности заключается в том, что в ней отсутствует последний элемент.Всякий раз, указав очередной член последовательности, мы можем указать иследующий за ним. Интересное замечание, также указывающее на парадоксальностьситуации, встречаем у Г. Вейля:
“Представим себе вычислительную машину,которая выполняла бы первую операцию за ½ минуты, вторую — за¼ минуты, третью — за ⅛ минуты и т. д. Такаямашина могла бы к концу первой минуты “пересчитать” весь натуральный ряд(написать, например, счетное число единиц). Ясно, что работа над конструкциейтакой машины обречена на неудачу. Так почему же тело, вышедшее из точки А,достигает конца отрезка В, “отсчитав” счетное множество точек А1, А2, ..., Аn, ... ?”
Древние греки тем более не могли себе представить завершеннуюбесконечную совокупность. Поэтому вывод Зенона о том, что движение из-занеобходимости “пересчитать” бесконечное число точек не может закончиться, ещетогда произвел большое впечатление. На схожих аргументах основывается апория оневозможности начать движение.
Дихотомия. Рассуждение очень простое. Для того, чтобы пройти весь путь,движущееся тело сначала должно пройти половину пути, но чтобы преодолеть этуполовину, надо пройти половину половины и т. д. до бесконечности.Иными словами, при тех же условиях, что и в предыдущем случае, мы будем иметьдело с перевернутым рядом точек: (½)n, ..., (½)3, (½)2, (½)1.Если в случае апории Ахилл и черепаха соответствующий ряд не имелпоследней точки, то в Дихотомии этот ряд не имеет первой точки.Следовательно, заключает Зенон, движение не может начаться. А посколькудвижение не только не может закончиться, но и не может начаться, движения нет.Существует легенда, о которой вспоминает А. С. Пушкин в стихотворении«Движение»:
Движеньянет, сказал мудрец брадатый.
Другойсмолчал и стал пред ним ходить.
Сильнеебы не мог он возразить;
Хвалиливсе ответ замысловатый.
Но,господа, забавный случай сей
Другойпример на память мне приводит:
Ведькаждый день пред нами солнце ходит,
Однакож прав упрямый Галилей.
Действительно, согласно легенде, один изфилософов так и “возразил” Зенону. Зенон велел бить его палками: ведь он несобирался отрицать чувственное восприятие движения. Он говорил о его немыслимости,о том, что строгое размышление о движении приводит к неразрешимымпротиворечиям. Поэтому, если мы хотим избавиться от апорий в надежде, что этовообще возможно (а Зенон как раз считал, что невозможно), то мы должныприбегать к теоретическим аргументам, а не ссылаться на чувственную очевидность.Рассмотрим одно любопытное теоретическое возражение, которое было выдвинутопротив апории Ахилл и черепаха.
“Представим себе, что по дороге в одном направлениидвижутся быстроногий Ахилл и две черепахи, из которых Черепаха-1 несколькоближе к Ахиллу, чем Черепаха-2. Чтобы показать, что Ахилл не сможет перегнатьЧерепаху-1, рассуждаем следующим образом. За то время, как Ахилл пробежитразделяющее их вначале расстояние, Черепаха-1 успеет уползти несколько вперед,пока Ахилл будет пробегать этот новый отрезок, она опять-таки продвинетсядальше, и такое положение будет бесконечно повторяться. Ахилл будет все ближе иближе приближаться к Черепахе-1, но никогда не сможет ее перегнать. Такойвывод, конечно же, противоречит нашему опыту, но логического противоречия у наспока нет.
Пусть, однако, Ахилл примется догонятьболее дальнюю Черепаху-2, не обращая никакого внимания на ближнюю. Тот жеспособ рассуждения позволяет утверждать, что Ахилл сумеет вплотную приблизитьсяк Черепахе-2, но это означает, что он перегонит Черепаху-1. Теперь мы приходимуже к логическому противоречию”.
Здесь трудно что-либо возразить, еслиоставаться в плену образных представлений. Необходимо выявить формальную сутьдела, что позволит перевести дискуссию в русло строгих рассуждений. Первуюапорию можно свести к следующим трем утверждениям:
1. Каков бы ни был отрезок[A B], движущееся от А к В тело должно побывать во всех точках отрезка[A B].
2. Любой отрезок [A B] можнопредставить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков[A a1] [a1 a2] [a2 a3]… [an an+1].
3. Поскольку бесконечнаяпоследовательность аi (1 ≤ i < ω)не имеет последней точки, невозможно завершить движение, побывав в каждой точкеэтой последовательности.
Проиллюстрировать полученный вывод можнопо-разному. Наиболее известная иллюстрация — “самое быстрое никогда не сможетдогнать самое медленное” — была рассмотрена выше. Но можно предложить болеерадикальную картину, в которой обливающийся потом Ахилл (вышедший изпункта А) безуспешно пытается настичь черепаху, преспокойно греющуюся наСолнце (в пункте В) и даже не думающую убегать. Суть апории от этогоне меняется. Иллюстрацией тогда станет куда более острое высказывание — “самоебыстрое никогда не сможет догнать неподвижное”. Если первая иллюстрацияпарадоксальна, то вторая — тем более.
При этом нигде не утверждается, чтоубывающие последовательности отрезков ai для [A B] и ai'для [A' B'] должны быть одинаковы. Напротив, если отрезки [A B] и[A' B'] неравны по длине между собой, их разбиения на бесконечныепоследовательности убывающих отрезков окажутся различными. В приведенномрассуждении Ахилла отделяет от черепах 1 и 2 разные расстояния.Поэтому мы имеем два различных отрезка [A B1] и [A B] собщей начальной точкой А. Неравные отрезки [A B1] и[A B] порождают различные бесконечные последовательности точек, инедопустимо использовать одну из них вместо другой. Между тем именно эта “незаконная”операция применяется в аргументах о двух черепахам.
Если не смешивать иллюстрации и существоапории, то можно утверждать, что апории Ахилл и Дихотомиясимметричны по отношению к друг другу. В самом деле, Дихотомия такжеводится к следующим трем утверждениям:
1. Каков бы ни был отрезок[A B], движущееся от А к В тело должно побывать во всех точках отрезка[A B].
2. Любой отрезок [A B] можнопредставить в виде бесконечной последовательности убывающих по длине отрезков[bn+1 bn]… [b3 b2] [b2 b1]… [b1 B].
3. Поскольку бесконечнаяпоследовательность bi не имеет первой точки, невозможно побывать вкаждой из точек этой последовательности.
Таким образом, апория Ахиллосновывается на тезисе о невозможности завершить движение из-за необходимостипосетить последовательно каждую из точек бесконечного ряда, упорядоченного потипу ω (т. е. по типу порядка на натуральных числах), который неимеет последнего элемента. В свою очередь Дихотомия утверждаетневозможность начала движения из-за наличия бесконечного ряда точек,упорядоченных по типу ω* (так упорядочены целые отрицательные числа),который не имеет первого элемента.
Проанализировав более тщательно двеприведенные апории, мы обнаружим, что обе они опираются на допущение о непрерывностипространства и времени в смысле их бесконечной делимости. Такоедопущение непрерывности отличается от современного, но имело место в древности.Без допущения тезиса о том, что любой пространственный или временной интервалможно разделить на меньшие по длине интервалы, обе апории рушатся. Зенонпрекрасно это понимал. Поэтому он приводит аргумент, исходящий из принятиядопущения о дискретности пространства и времени, т. е. допущения осуществовании элементарных, далее неделимых, длин и времен.
Стадий. Итак, допустим существование неделимых отрезков пространства иинтервалов времени. Рассмотрим следующую схему, на которой каждая клеткатаблицы представляет неделимый блок пространства. Имеется три ряда объектов А,В и С, занимающих по три блока пространства, причем первый ряд остаетсянеподвижным, а ряды В и С начинают одновременное движение в направлении,указанном стрелками:
A1 A2 A3 В3 В2 В1 → ← С1 С2 С3Начальное положение
А1 А2 А3 В3 В2 В1 С1 С2 С3Конечное положение
Ряд С, утверждает Зенон, за неделимыммомент времени прошел одно неделимое место неподвижного ряда А(место А1). Однако за то же самое время ряд С прошел два местаряда В (блоки В2 и В3). Согласно Зенону, это противоречиво, т. к.должен был встретиться момент прохождения блока В2, изображенный наследующей схеме:
В3 В2 В1 С1 С2 С3Промежуточное положение
Но где в это промежуточное положение находился ряд А ?Для него просто не остается соответствующего места. Остается либо признать, чтодвижения нет, либо согласиться с тем, что ряд А делим не на три, а набольшее количество мест. Но в последнем случае мы вновь возвращаемся кдопущению о бесконечной делимости пространства и времени, снова попадая в тупикапорий Дихотомия и Ахилл. При любом исходе движение оказываетсяневозможным.
Основнаямысль апорий Зенона Элейского состоит в том, что дискретность, множественностьи движение характеризуют лишь чувственную картину мира, но она заведомонедостоверна. Истинная картина мира постигается только мышлением итеоретическим исследованием.
Еслине вникать в глубину апорий, можно относиться к ним свысока и удивляться, какэто Зенон не додумался до очевидных вещей. Но о Зеноне не перестают спорить, аистория науки показывает, что если о чем-то долго спорят, то это, как правило,не зря. Несомненно, размышления над апориями помогли создать математический анализ,сыграли определенную роль в физической революции ХХ века и, вполне возможно,что в физике XXI столетия их значение будет еще более существенным.
III. Парадокслжеца.
Ужепочти две с половиной тысячи лет одной из логических загадок, мучающих людей,пытающихся гармонизировать основания своего мышления, является «парадокс лжеца».Несмотря на то, что в настоящее время известны десятки семантических,логических и математических парадоксов и апорий, «парадокс лжеца» занимаетособое место:
- во-первых, он является наиболее доступным из множества парадоксов и, в силуэтого, наиболее известным из них.
- во-вторых, он первичен по отношению ко многим другим парадоксам и,следовательно, последние неустранимы, пока не разрешен «парадокс лжеца».
Простейшимвариантом парадокса лжеца является высказывание “Я лгу”. Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду, изначит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не являетсяложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Оказывается, таким образом, что,если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.
«Парадокслжеца» имеет и ряд других похожих друг на друга формулировок. Ниже приведенылишь некоторые из них:
— «Все критяне – лжецы»(тезис, высказанный критянином Эпименидом);
— «Я высказываю сейчасложное предложение»;
— «Все, что Xутверждает в промежуток времени Р – ложь»;
— «Это утверждениеложно»;
— «Это утверждение непринадлежит к классу истинных высказываний”.
Хотя приведенный списокдалеко не полон, он дает некоторое представление о сути проблемы. Логическаяпроблема состоит в том, что предположение о ложности приведенных высказыванийведет к их истинности и наоборот.
Древнихгреков очень занимало, каким образом, казалось бы, вполне осмысленноеутверждение не может быть ни истинным, ни ложным без того, чтобы при этом невозникло противоречия. Философ Хризипп написал шесть трактатов о парадокселжеца, ни один из которых не сохранился до нашего времени. Ходит легенда, чтонекий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой.Говорят также, что один из известных древнегреческих логиков, Диодор Кронос,уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение«Лжеца», и вскоре умер, так ничего и не добившись.
В средние века этот парадокс был отнесен к так называемым неразрешимым предложениям и сделался объектомсистематического анализа. Теперь «Лжец» —этот типичный бывший софизм — нередко именуется королем логических парадоксов.Ему посвящена обширная научная литература. И тем не менее, как и в случае многих других парадоксов, остается невполне ясным, какие именно проблемы скрываютсяза ним и как следует избавляться от него.
Рассмотримпервую формулировку: приписываемое Эпимениду утверждение логическипротиворечиво, если предположить, что лжецы всегда лгут, а нелжецы всегдаговорят правду. При таком предположении утверждение «Все критянелжецы» не может быть истинным, ибо тогда Эпименид был бы лжецом и,следовательно, то, что он утверждает, было бы ложью. Но это утверждение неможет быть и ложным, ибо это означало бы, что критяне говорят только правду и,следовательно, то, что сказал Эпименид, также истинно.
Историялогики знает множество попыток и подходов к разрешению данного парадокса. Однаиз первых — попытка представления «парадокса лжеца» в качествесофизма. Суть такого представления в том, что в реальной жизни ни один лгун неговорит только ложь. Следовательно, парадокс — софизм, основанный на ложнойпосылке.
Нотакое объяснение приемлемо лишь для первой (ранней) формулировки парадокса, ноне «снимает» парадокс в его более точных современных формулировках. Существуетнесколько решений парадокса лжеца в его современной формулировке. />Какоеиз решений правильное? Все правильны. Как такое может быть? Потому, чтопарадокс — это рассуждение, ведущее к противоречию. Избавиться от противоречияможно разными способами. Все они сводятся к замене некоторого сомнительногокусочка рассуждений на более правильный. В результате получается рассуждение,аналогичное прежнему, но без видимых противоречий. Кроме того, различныерешения приводятся через разные виды логик.
Заменять можно разныекусочки. В каждом случае получатся различные решения, а какое из нихпредпочесть — дело вкуса. Одному самым сомнительным кажется один кусочек,другому — другой. Иногда самый первый сомнительный кусочек заметен и очевиден.
Пожалуй,самым распространенным вариантом решения парадокса лжеца является разделениеязыка и метаязыка:
Сейчас«Лжец» обычно считается характерным примером тех трудностей, к которым ведет смешение двух языков: языка,на котором говорится о лежащей вне его действительности, и языка, на которомговорят о самом первом языке.
Вповседневном языке нет различия между этими уровнями:и о действительности, и о языке мы говорим на одном и том же языке.Например, человек, родным языком которого является русский язык, не видит никакой особой разницы между утверждениями: «Стекло прозрачно»и «Верно, что стекло прозрачно», хотя одно из них говорит о стекле, а другое —о высказывании относительно стекла.
Если бы у кого-то возникла мысль о необходимости говорить о мире на одном языке, а о свойствах этогоязыка — на другом, он мог бы воспользоваться двумя разными существующими языками, допустим русским и английским.Вместо того, чтобы просто сказать: «Корова— это существительное», сказал бы «Корова is a noun», а вместо: «Утверждение «Стеклоне прозрачно» — ложно» произнес бы «The assertion «Стекло не прозрачно» is false». При таком использовании двухразных языков сказанное о мире ясноотличалось бы от сказанного о языке, с помощью которого говорят о мире. В самомделе, первые высказывания относились бы к русскому языку, в то время как вторые — к английскому.
Еслибы далее нашему знатоку языков захотелось высказатьсяпо поводу каких-то обстоятельств, касающихся уже английского языка, онмог бы воспользоваться еще одним языком. Допустим немецким. Для разговора обэтом последнем можно было бы прибегнуть, положим, к испанскому языку и т.д.
Получается,таким образом, своеобразная лесенка, или иерархия, языков, каждый из которыхиспользуется для вполне определенной цели:на первом говорят о предметном мире, на втором — об этом первом языке,на третьем — о втором языке и т.д. Такоеразграничение языков по области их применения — редкое явление в обычнойжизни. Но в науках, специально занимающихся, подобно логике, языками, оноиногда оказывается весьма полезным. Язык, на котором рассуждают о мире, обычноназывают предметным языком. Язык,используемый для описания предметного языка, именуют метаязыком.
Ясно, что, если язык и метаязык разграничиваются указанным образом, утверждение «Я лгу» уже не можетбыть сформулировано. Оно говорит о ложности того, что сказано на русском языке, и, значит, относится к метаязыку идолжно быть высказано на английском языке. Конкретнооно должно звучать так: «Everything I speak in Russian is false» («Все сказанное мной по-русски ложно»);в этом английском утверждении ничего не говорится о нем самом, и никакогопарадокса не возникает.
Различениеязыка и метаязыка позволяет устранить парадокс «Лжеца». Тем самым появляетсявозможность корректно, без противоречияопределить классическое понятие истины: истинным является высказывание,соответствующее описываемой им действительности.
Понятие истины, как и все иные семантические понятия, имеет относительный характер: оно всегда может быть отнесено к определенному языку.
Какпоказал польский логик АТарский, классическое определениеистины должно формулироваться в языке более широком, чем тот язык, длякоторого оно предназначено. Иными словами,если мы хотим указать, что означаетоборот «высказывание, истинное в данном языке», нужно, помимо выражений этого языка, пользоваться также выражениями, которых в нем нет.
Тарский ввел понятие семантически замкнутого языка. Такойязык включает, помимо своих выражений, их имена, а также, что важноподчеркнуть, высказывания об истинности формулируемых в нем предложений. Границымежду языком и метаязыком в семантически замкнутом языке не существует.Средства его настолько богаты, чтопозволяют не только что-то утверждать о внеязыковой реальности, но иоценивать истинность таких утверждений. Этих средств достаточно, в частности, для того, чтобы воспроизвести вязыке антиномию «Лжец». Семантическизамкнутый язык оказывается, таким образом, внутренне противоречивым.Каждый естественный язык является, очевидно, семантически замкнутым.
Единственноприемлемый путь для устранения антиномии, а значит, и внутреннейпротиворечивости, согласно Тарскому, — отказ от употребления семантически замкнутого языка. Этот путь приемлем,конечно, только в случае искусственных, формализованных языков,допускающих ясное подразделение на язык и метаязык.В естественных же языках с их неясной структурой и возможностью говоритьобо всем на одном и том же языке такой подход не очень реален. Ставить вопрос о внутренней непротиворечивости этихязыков не имеет смысла. Их богатые выразительные возможности имеют и своюобратную сторону — парадоксы.
Существуют и другие решения парадокса лжеца, например, решениеОккама и решение Буридана:
Итак, существуют высказывания, говорящие о своей собственнойистинности или ложности. Идея, что такогорода высказывания не являютсяосмысленными, очень стара. Ееотстаивал еще древнегреческий логик Хрисипп. В средние века английскийфилософ и логик У. Оккам заявлял, чтоутверждение «Всякое высказывание ложно» бессмысленно, поскольку оно говорит вчисле прочего и о своей собственной ложности. Из этого утверждения прямоследует противоречие. Если всякое высказывание ложно, то это относится и ксамому данному утверждению; но то, что оноложно, означает, что не всякоевысказывание является ложным. Аналогично обстоит дело и с утверждением«Всякое высказывание истинно». Оно также должно быть отнесено к бессмысленным итакже ведет к противоречию: если каждое высказывание истинно, то истиннымявляется и отрицание самого этоговысказывания, то есть высказывание, чтоне всякое высказывание истинно.
Почему, однако, высказывание не может осмысленно говорить о своейсобственной истинности или ложности? Уже современник Оккама, французскийфилософ XIV в. Ж. Буридан, не был согласен с егорешением. С точки зрения обычных представлений о бессмысленности, выражениятипа «Я лгу», «Всякое высказывание истинно (ложно)» и т.п. вполне осмысленны. Очем можно подумать, о том можно высказаться, — таков общий принцип Буридана.Человек может думать об истинностиутверждения, которое он произносит, значит, он может и высказаться обэтом. Не все утверждения, говорящие о самихсебе, относятся к бессмысленным. Например, утверждение «Это предложениенаписано по-русски» является истинным, а утверждение «В этом предложении десятьслов» ложно. И оба они совершенно осмысленны. Если допускается, что утверждение может говорить и о самом себе, топочему оно не способно со смысломговорить и о таком своем свойстве, как истинность?
Сам Буридан считал высказывание «Я лгу» не бессмысленным, аложным. Он обосновывал это так. Когда человекутверждает какое-то предложение, он утверждает тем самым, что оноистинно. Если же предложение говорит о себе, что оно само является ложным, тооно представляет собой только сокращенную формулировку более сложного выражения, утверждающего одновременно и своюистинность, и свою ложность. Это выражение противоречиво и, следовательно,ложно. Но оно никак не бессмысленно.
Аргументация Буридана и сейчас иногдасчитается убедительной.
Имеются и другие направления критики тогорешения парадокса «Лжец»,которое было в деталях развито Тарским.Действительно ли в семантически замкнутых языках — а таковы ведь всеестественные языки — нет никакого противоядия против парадоксов этоготипа?
Если бы это было так, то понятие истины можно было бы определитьстрогим образом только в формализованных языках. Только в них удаетсяразграничить предметный язык, на котором рассуждают об окружающем мире, и метаязык, на котором говорят об этом языке. Этаиерархия языков строится по образцу усвоения иностранного языка спомощью родного. Изучение такой иерархии привело ко многим интересным выводам,и в определенных случаях она существенна. Но ее нет в естественном языке.Дискредитирует ли это его? И если да, то в какой именно мере? Ведь в немпонятие истины все-таки употребляется, и обычно без всяких осложнений. Являетсяли введение иерархии единственным способом исключения парадоксов, подобных«Лжецу?»
В 30-е годы ответы на эти вопросы представлялись несомненноутвердительными. Однако сейчас былого единодушия уже нет, хотя традицияустранять парадоксы данного типа путем«расслаивания» языка остается господствующей.
В последнее время все больше внимания привлекают эгоцентрические выражения. В них встречаются слова, подобные «я»,«это», «здесь», «теперь», и их истинность зависитот того, когда, кем, где они употребляются. В утверждении «Этовысказывание является ложным» встречается слово «это». К какому именно объекту оно относится? «Лжец» может говорить о том,что слово «это» не относится ксмыслу данного утверждения. Но тогда к чему оно относится, чтообозначает? И почему данный смысл не может быть все-таки обозначен словом «это»?
Не вдаваясь в детали, стоит отметить только,что в контексте анализаэгоцентрических выражений «Лжец» наполняется совершенно иным содержанием, чемранее. Оказывается, он уже не предостерегает от смешения языка и метаязыка, а указывает на опасности, связанныес неправильным употреблением слова «это» иподобных ему эгоцентрических слов.
Проблемы, связывавшие на протяжении веков с «Лжецом», радикально менялись взависимости от того, рассматривался ли он как пример двусмысленности, или же как выражение, внешне представляющееся какобразец смешения языка и метаязыка,или же, наконец, как типичный пример неверного употребленияэгоцентрических выражений. И нет уверенности в том, что с этим парадоксом не окажутся связанными в будущем идругие проблемы.
Известный современный финский логик ифилософ Г. фон Вригт писал всвоей работе, посвященной «Лжецу», что данный парадокс ни в коем случае недолжен пониматься как локальное, изолированное препятствие, устранимое одним изобретательным движением мысли.«Лжец» затрагивает многие наиболее важные темы логики и семантики. Это иопределение истины, и истолкование противоречия и доказательства, и целая серия важных различий: между предложениеми выражаемой им мыслью, между употреблением выражения и его упоминанием,между смыслом имени и обозначаемым имобъектом.
«Парадокслжеца» (как это ни удивительно), крайне близок по своей логической форме ихарактеру логической ошибки многим другим «парадоксам», которыепринято считать вполне самостоятельными. К их числу относится и знаменитый«парадокс Рассела».
III. ПарадоксРассела
Самымзнаменитым из открытых уже в прошлом веке парадоксов является антиномия,обнаруженная Б. Расселом и сообщенная им в письме к Г. Ферге. Рассел открылсвой парадокс, относящийся к области логики и математики, в 1902г. Эту жеантиномию обсуждали одновременно в Геттингене немецкие математики 3. Цермело(1871— 1953) и Д. Гильберт. Идея носилась в воздухе, и ее опубликованиепроизвело впечатление разорвавшейся бомбы. Этот парадокс вызвал в математике,по мнению Гильберта, эффект полной катастрофы. Нависла угроза над самымипростыми и важными логическими методами, самыми обыкновенными и полезнымипонятиями. Оказалось, что в теории множеств Кантора, которая с восторгом былапринята большинством математиков, имеются странные противоречия, от которыхневозможно, или, по крайней мере, очень трудно, избавиться. Парадокс Рассела(точнее, Рассела — Цермело) особенно ярко выявил эти противоречия. Над егоразрешением, так же, как и над разрешением других найденных парадоксовканторовской теории множеств, трудились самые выдающиеся математики тех лет.
Сразуже стало очевидным, что ни в логике, ни в математике за всю долгую историю ихсуществования не было выработано решительно ничего, что могло бы послужитьосновой для устранения антиномии. Явно оказался необходимым отход от привычныхспособов мышления. Но из какого места и в каком направлении? Насколькорадикальным должен был стать отказ от устоявшихся способов теоретизирования? Сдальнейшим исследованием антиномии убеждение в необходимости принципиальнонового подхода неуклонно росло. Спустя полвека после ее открытия специалисты пооснованиям логики и математики Л. Френкель и И.Бар-Хиллел уже без всякихоговорок утверждали: «Мы полагаем, что любые попытки выйти из положения спомощью традиционных (то есть имевших хождение до XX столетия) способовмышления, до сих пор неизменно проваливавшихся, заведомо недостаточны для этойцели». Современный американский логик X. Карри писал немного позднее об этомпарадоксе: «В терминах логики, известной в XIX в., положение просто неподдавалось объяснению, хотя, конечно, в наш образованный век могут найтисьлюди, которые увидят (или подумают, что увидят), в чем же состоит ошибка».
ПарадоксРассела в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса.Можно говорить о множествах различных объектов, например, о множестве всехлюдей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будетвсякий отдельный человек, элементом второго — каждое натуральное число. Допустимотакже сами множества рассматривать как некоторые объекты и говорить омножествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество всехмножеств или множество всех понятий. Относительно любого произвольно взятогомножества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственнымэлементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовемобычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же какмножество атомов — это не атом. Необычными будут множества, являющиесясобственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества,представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.
Рассмотримтеперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно множество, о нем тожеможно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказываетсяобескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, должносодержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычныемножества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение,что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, такимобразом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны,оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя вкачестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычныемножества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множествне может быть ни обычным, ни необычным множеством.
Итак,множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свойэлемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Этоявное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположенийи с помощью бесспорных как будто шагов. Противоречие говорит о том, что такогомножества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оносостоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем самоусловие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и яснозаданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключаетсяразличие между возможными и невозможными множествами? Вывод о не существованиирассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делаетнаше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно неспособно породить какие-то новые парадоксы.
ПарадоксРассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужныкакие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых другихпарадоксов, достаточно понятий «множество» и «элемент множества». Но этапростота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самыеглубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не окаких-то специальных случаях, а о множествах вообще.
Другие варианты парадокса ПарадоксРассела не имеет специфически математического характера. В нем используетсяпонятие множества, но не затрагиваются какие-то особые, связанные именно сматематикой его свойства.
Этостановится очевидным, если переформулировать парадокс в чисто логическихтерминах. О каждом свойстве можно, по всей вероятности, спрашивать, приложимооно к самому себе или нет. Свойство быть горячим, например, неприложимо ксамому себе, поскольку само не является горячим; свойство быть конкретным тожене относится к самому себе, ибо это абстрактное свойство. Но вот свойство бытьабстрактным, являясь абстрактным, приложимо к самому себе. Назовем этинеприменимые к самим себе свойства неприложимыми. Применимо ли свойство быть неприложимымк самому себе? Оказывается, не приложимость является неприложимой только в томслучае, если она не является таковой. Это, конечно, парадоксально. Логическая,касающаяся свойств разновидность антиномии Рассела, столь же парадоксальна, каки математическая, относящаяся к множествам, ее разновидность.
Расселпредложил также следующий популярный вариант открытого им парадокса. Представим,что совет одной деревни так определил обязанности брадобрея: брить всех мужчиндеревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он бритьсамого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, ктобреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто небреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Мы приходим, таким образом,к заключению, что этот брадобрей бреет себя в том и только том случае, когда онне бреет себя. Это, разумеется, невозможно.
Рассуждениео брадобрее опирается на допущение, что такой брадобрей существует. Полученноепротиворечие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни,который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами. Обязанностибрадобрея не кажутся на первый взгляд противоречивыми, поэтому вывод, что егоне может быть, звучит несколько неожиданно. Но этот вывод не является все-такипарадоксальным. Условие, которому должен удовлетворять деревенский брадобрей,на самом деле внутренне противоречиво и, следовательно, невыполнимо. Подобногопарикмахера не может быть в деревне по той же причине, по какой в ней нетчеловека, который был бы старше самого себя или который родился бы до своегорождения.
Рассуждениео брадобрее может быть названо псевдопарадоксом. По своему ходу оно строгоаналогично парадоксу Рассела и этим интересно. Но оно все-таки не являетсяподлинным парадоксом.
Другойпример такого же псевдопарадокса представляет собой известное рассуждение окаталоге. Некая библиотека решила составить библиографический каталог, вкоторый входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые несодержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?Нетрудно показать, что идея создания такого каталога неосуществима; он простоне может существовать, поскольку должен одновременно и включать ссылку на себяи не включать.
Интересноотметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки насамих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийсяпроцесс. Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К1,включающий, все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. Ссозданием К1 появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так какзадача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, неупоминающих себя, то очевидно, что К1 не является ее решением. Он не упоминаетодин из таких каталогов — самого себя. Включив в К1 это упоминание о нем самом,получим каталог К2. В нем упоминается К1, но не сам К2. Добавив к К2 такоеупоминание, получим КЗ, который опять-таки не полон из-за того, что неупоминает самого себя. И далее без конца.
Можноупомянуть еще один логический парадокс — «парадокс голландскихмэров», сходный с парадоксом брадобрея. Каждый муниципалитет в Голландиидолжен иметь мэра, и два разных муниципалитета не могут иметь одного и того жемэра. Иногда оказывается, что мэр не проживает в своем муниципалитете.Допустим, что издан закон, согласно которому некоторая территория Sвыделяется исключительно для таких мэров, которые не живут в своихмуниципалитетах, и предписывающий всем этим мэрам поселиться на этойтерритории. Допустим, далее, что этих мэров оказалось столько, что территория Sсама образует отдельный муниципалитет. Где должен проживать мэр этого ОсобогоМуниципалитета S? Простое рассуждение показывает, что если мэр ОсобогоМуниципалитета проживает на территории S, то он не должен проживать там, инаоборот, если он не проживает на территории, то он как раз и должен жить наэтой территории. То, что этот парадокс аналогичен парадоксу брадобрея,совершенно очевидно.
Расселодним из первых предложил вариант решения “своего” парадокса. Предложенное имрешение, получило название «теории типов»: множество (класс) и егоэлементы относятся к различным логическим типам, тип множества выше типа егоэлементов, что устраняет парадокс Рассела (теория типов был использованаРасселом и для решения знаменитого парадокса «Лжец»). Многиематематики, однако, не приняли расселовское решение, считая, что ононакладывает слишком жесткие ограничения на математические утверждения.
Аналогично обстоит дело и с другимилогическими парадоксами. «Антиномии логики, — пишет фон Вригг, — озадачили с момента своего открытия и,вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать их нестолько как проблемы, ожидающие решения, сколько как неисчерпаемый сыройматериал для размышления. Они важны,поскольку размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросывсей логики, а значит, и всего мышления».
Списокиспользуемой литературы:
/>1 Френкель А.А.,Бар-Хиллел И. “Основания теории множеств”
2. B.Russell.“Introduction to mathematical philosophy”.
3. Russell B.“The principles of mathematics”.
4. Задоя А.И. “Введение в логику”
5. Гильберт Д. — Аккерман В.,“Основы теоретической логики”.
6. Лакофф Дж. “Прагматика вестественной логике. Новое в лингвистике”.
7. Якобсон Р. “Взгляды Боаса награмматическое значение.”