Реферат: Геморфология

Предметом данного реферата являетсяопределение объекта исследования и изложение в общих чертах содержаниягеоморфологии в терминах теории множеств, математической логики и топологии. Использованимеющийся опыт применения элементов теории множеств и математической логики вгеологии (Косыгин, Воронин и др., 1964, 1965 и др.; Геология и математика,1967) и географии (Родоман, 1967).

Начнем с математического определения объектаизучения геоморфологии — земной поверхности, понимая под нею поверхность литосферыили поверхность раздела литосферы с гидро- и атмосферами. В масштабахмакромира, изучаемого в геоморфологии, дискретным, молекулярно-атомарнымстроением оболочек Земли можно пренебречь и рассматривать их как сплошнуюсреду, т.е. как бесконечно большое множество материальных точек, каждая изкоторых имеет исчезающе малые размеры. Слово множество можно понимать здесь всмысле, придаваемом ему и в обыденной речи, и в математике. Но вообще, если вобыденной речи под множеством понимается большое число объектов, то вматематике это совокупность любого числа однородных в каких-либо отношенияхобъектов, или элементов произвольной природы. Множество материальных точек s Земли обозначим через S. Отношение принадлежностиэлемента s к множеству Sможно записать словесно: «sпринимает значения на множестве S»,или «из множества S», либосимволически: <img src="/cache/referats/10278/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"><img src="/cache/referats/10278/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Множество S материальных точек Земли существует вфизическом пространстве, которое в геоморфологии допустимо рассматривать какньютоново пространство. Положение каждой точки p этого пространстваопределяется тремя действительными (т.е. рациональными или иррациональными)числами x, y, z. Тройка чисел (x, y, z) называется вектором, потому что в декартовой системекоординат X, Y, Z ее можнорассматривать как три координаты радиус-вектора Op точки p.Координата x может принимать значенияиз множества X действительных чисел,отложенных на оси X; следовательно, <img src="/cache/referats/10278/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/10278/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"><img src="/cache/referats/10278/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">x, y, z) называется прямымпроизведением множеств <img src="/cache/referats/10278/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/10278/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><img src="/cache/referats/10278/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> всех точек <img src="/cache/referats/10278/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> ньютоновапространства, и таким образом: <img src="/cache/referats/10278/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">n множествдействительных чисел, где n —целое число, называется n-мернымевклидовым пространством. Евклидово пространство представляет собой частныйслучай метрических пространств. Так называют пространства, в которые можноввести метрику, определив тем или иным образом расстояние между элементамипространства. В евклидовом пространстве это есть расстояние между точками вобычном понимании.

Чтобы внести метрику вомножество Sматериальных точек Земли, образуем прямое произведение <img src="/cache/referats/10278/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> этого множества имножества P точекфизического пространства. Это есть множествовсех векторов <img src="/cache/referats/10278/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">которых первой компонентной служиткакая-либо материальная точкаs Земли, а второй компонентой — какая-либо точка p физического пространства. Однако невсе векторы <img src="/cache/referats/10278/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1037">входящие в произведение <img src="/cache/referats/10278/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/10278/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1039"><img src="/cache/referats/10278/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1040"><img src="/cache/referats/10278/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><img src="/cache/referats/10278/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> — одна и та жематериальная точка, а p1,p2, p3 — различные точки физического пространства,может реально существовать только один вектор, допустим <img src="/cache/referats/10278/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Выделим из множества векторов<img src="/cache/referats/10278/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1044">образующих произведение <img src="/cache/referats/10278/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> R множества <img src="/cache/referats/10278/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> векторов <img src="/cache/referats/10278/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

<img src="/cache/referats/10278/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1048">                   (1)

где <img src="/cache/referats/10278/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> — знак включенияподмножества во множество. Выражение (1) представляет собой запись отношениясоответствия между множествами S и P (или заданного на множествах S и P), первое из которых называетсяобластью определения, а второе — областью значений соответствия. Множество S материальных точек s Земли отображаетсясоответствием (1) во множество Pточек pфизического пространства. Точки p,удовлетворяющие этому соответствию, называются образами точки s, последние, в свою очередь, являются прообразами точек p. Соответствие представляетсобой обобщение понятия функции, описывая не только однозначные зависимости,когда каждому элементу из области определения (аргументу) соответствует один, итолько один, элемент из области значений (функция этого аргумента), но имногозначные зависимости, когда каждому элементу из области определениясоответствует более чем один элемент из области значений, как это имеет место,например, для стохастических связей.

Поскольку каждая материальнаяточка Земли совпадает с одной, и только одной, точкой физического пространства,соответствие (1) является функциональным, однозначным от S к P. Его можно сделать взаимнооднозначным, выделив из множества P подмножество Ps тех точекфизического пространства, с которыми совпадают материальные точки Земли, исузив область значений соответствия (1) на это подмножество. В результатеполучим соответствие: <img src="/cache/referats/10278/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1050">S и Ps, получаем возможностьвнести во множество Sметрику из пространства P,или, иначе говоря, определять расстояния между материальными точками Земли какрасстояния между точками евклидова пространства.

Теперь можно воспользоватьсяпонятием об окрестности некоторой точки s  множества S. Так называют множествоточек s, которыенаходятся внутри сферы произвольного радиуса r с центром в данной точке. Выделим из множества S материальных точек Землиподмножество L точек l литосферы и подмножество A точек a гидро- и атмосферы. Всякая точка l литосферы, сколь угодномалая окрестность которой содержит только точки множества L, называется внутренней точкоймножества L.Аналогичным образом определяются внутренние точки множества A.Множество M точек m, окрестности которых содержат точкикак множества L, так имножества A, называетсяв топологии границей между множествами L и A.

Границу между множествамиможно не включать ни в одно из них, а можно присоединить к любому из этихмножеств. Вещество литосферы обладает гораздо меньшей подвижностью, чемвещество гидро- и атмосфер. Поэтому границу между множествами L и A удобнее присоединить к множеству L, рассматривая ее как внешнюю границулитосферы —земную поверхность. Но в таком виде эта граница, обладая и геометрическими,и вещественными свойствами, является объектом изучения не только геоморфологии,но также геологии и почвоведения. Если четко определять объект изучениягеоморфологии и отделить его от объектов изучения геологии и почвоведения, топриходится принять, что задачей геоморфологии является изучение толькогеометрических, но не вещественных свойств земной поверхности. В математическойформулировке это означает, что объектом изучения геоморфологии следует считатьне саму границу множества L,а ее отображение в пространство P,т.е. поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, прообразом которой являетсямножество M точеквнешней границы литосферы. Такой подход нисколько не исключает рассмотрение вгеоморфологии вещественных свойств земной поверхности, которые вводятся врассмотрение ниже в числе рельефообразующих факторов. Вместе с тем такой подходне исключает рассмотрения в геологии геометрических свойств земной поверхностикак ограничения геологических тел. Приведенное определение объектагеоморфологии можно вообще трактовать, как узкое, сохранив наряду с нимпринятое сейчас более широкое определение и дав последнему математическуютрактовку в виде пространства возможных состояний рельефа, о котором будет идтиречь ниже.

Свойства земной поверхностикак таковой описываются геометрическими характеристиками g1, g2…, gk,принимающими значения соответственно на множествах G1, G2…, Gk.Ряд геометрических характеристик земной поверхности, например, высоту, уклон,кривизну, практически можно относить к точке поверхности. Вместе с тем этихарактеристики могут быть измерены и выражены количественно, принимая, такимобразом, значения на множестве действительных чисел. Но рельеф представляетсобой, в терминах теории систем, сложную, иерархически, ярусно построеннуюсистему, у которой элементы высшего яруса, вступая в определенные отношениямежду собой, образуют элементы низшего яруса — больших размеров. В рельефеэлементами самого высокого яруса — самых малых размеров — являются точки земнойповерхности. Из точек строятся элементы (в геоморфологическом смысле) формрельефа, из  элементов форм – сами формы,из форм – типы рельефа. Обобщенный в кибернетике опыт изучения сложных системпоказывает, что для них количественное выражение свойств элементов и отношениймежду элементами часто оказывается невозможным. Поэтому для описания состояниясложных систем приходится прибегать к качественным характеристикам, принимающимзначения на конечных множествах. Так, если в каждой точке склона степеньвыпуклости или вогнутости определяется количественно второй производной <img src="/cache/referats/10278/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> высоты H по расстоянию x и принимает значения намножестве действительных чисел, то склоны как элементы рельефа делят навыпуклые, <img src="/cache/referats/10278/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1052"><img src="/cache/referats/10278/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1053"><img src="/cache/referats/10278/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

Вследствие иерархическогостроения рельефа, область (участок) земной поверхности, допускающаяэкспериментальное определение характеристик рельефа, далеко не всегда можетрассматриваться в данном масштабе как точка. Но этот общий случай авторисследовать не стал.

Геометрические характеристикирельефа изменяются не только в пространстве, но и во времени. Поэтомунеобходимо ввести в рассмотрение множество T элементов tвремени. Мы привыкли и в обыденной жизни, и при научных наблюдениях надсовременными процессами измерять время и полагать, что его элементы принимаютзначения на множестве действительных чисел. Однако реальное время, существующеенезависимо от наших измерений, не имеет собственной метрики и представляетсобой множество событий, упорядоченное отношением нестрогого порядка «раньше —позже» (Уитроу, 1964). Этому определению удовлетворяет относительноегеологическое время, элементами которого являются конечные промежутки.Занумеруем множество промежутков прошлого времени числами натурального ряда 0,1, 2, 3… Натуральныйряд чисел и множества любой природы, которые могут быть поставлены вовзаимнооднозначное соответствие с ним, называются счетными множествами (вотличие от несчетных множеств, к которым принадлежит, например, множестводействительных чисел). Таким образом, относительное геологическое времяпринимает значения на конечных подмножествах счетного множества.

Изменения рельефа вызываютсярельефообразующими факторами, описываемыми характеристиками, которые обозначим <img src="/cache/referats/10278/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

Образуем прямое произведениевведенных в рассмотрение множеств:

<img src="/cache/referats/10278/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1056">                     (2)

Введем сокращенныеобозначения:

<img src="/cache/referats/10278/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1057">   <img src="/cache/referats/10278/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1058">                 (3)

где <img src="/cache/referats/10278/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> — знак произведениямножеств, m и n — индексы, которые могутпринимать значения от 1 доk или l соответственно. Запись можно сделатьеще более короткой, если множествам, входящим в произведение (2), датьединообразные обозначения: <img src="/cache/referats/10278/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

<img src="/cache/referats/10278/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1061">                (4)

где Qu — любое из названных вышемножеств. Образуем из этих множеств необходимое для дальнейших построениймножество <img src="/cache/referats/10278/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1062"><img src="/cache/referats/10278/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1063">Qu),называют системой множеств.

Используя (3) и (4), можнонаписать

<img src="/cache/referats/10278/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1064">                 (5)

Прямое произведение множествпредставляет собой, согласно определению, в данном случае множество вектороввида (p, t, m, g1,g2, …, gk, b1, b2, …, bl).Каждый из этих векторов описывает состояние, которое, вообще говоря, можетпринять некоторая точка рельефа в некоторый момент времени, находясь подвоздействием определенного сочетания рельефообразующих факторов. Множество этихвекторов будем называть пространством W возможных состояний рельефа[1].Как было сказано выше, это пространство можно рассматривать в качестве объектаизучения геоморфологии в том широком понимании, какой придается ему в настоящеевремя.

В геоморфологии изучаются каксами множества, из которых построено пространство W, так и отношения на этих множествах.Особенно важным представляется изучение отношений

<img src="/cache/referats/10278/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1065">                           (6)

соответствия междуподпространствами <img src="/cache/referats/10278/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> (область определениясоответствия) и <img src="/cache/referats/10278/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> (область значенийсоответствия) пространства состояний, поскольку отношения соответствияописывают связи между явлениями. В соответствии (6), во-первых, <img src="/cache/referats/10278/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> и <img src="/cache/referats/10278/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/10278/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> и <img src="/cache/referats/10278/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1071"><img src="/cache/referats/10278/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> и <img src="/cache/referats/10278/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> системы <img src="/cache/referats/10278/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> множеств, из которыхстроится пространство Wвозможных состояний; во-вторых, <img src="/cache/referats/10278/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1075"><img src="/cache/referats/10278/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1076"><img src="/cache/referats/10278/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1077">

Система множеств <img src="/cache/referats/10278/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1078">W, может включать, в зависимости от решаемыхзадач, те или иные из введенных в рассмотрение множеств. Однако, чтобы непотерялись объекты изучения геоморфологии, в построении пространства W должны участвовать либомножество M материальныхточек рельефа, либо хотя бы одно из множеств Gm, на которых принимают значения геометрическиехарактеристики рельефа. В символах математической логики это условие запишетсятак:

<img src="/cache/referats/10278/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1079">               (7)

Здесь <img src="/cache/referats/10278/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> (перевернутая буква Е)— квантор существования, читаемый как «существует хотя бы один», <img src="/cache/referats/10278/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> — логический союз«или» разделительное, требующий выполнения одного, и только одного изсвязываемых им высказываний. В целом, условие (7) читается как «существует хотябы одно такое множество Qu(входящее в систему <img src="/cache/referats/10278/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> множеств, из которыхстроится пространство состояний W),которое удовлетворяет высказыванию, заключенному в квадратные скобки,представляя собой либо множество M, либо множество Gm».

Множества Gm могут входить как вобласть значений, так и в область определения соответствия (6). Пусть мы имеемусловие:

<img src="/cache/referats/10278/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1083">                          (8)

Здесь <img src="/cache/referats/10278/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> (перевернутая буква А)— квантор общности, имеющий смысл слова «все». Выражение (8) читается как «всемножества <img src="/cache/referats/10278/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> должны представлятьсобой только множества Gm»,т.е. областью значений соответствия (6) при соблюдении условия (8) могут бытьтолько те множества, на которых принимают значения геометрическиехарактеристики рельефа. Множества, на которых принимают значения рельефообразующиефакторы, элементы пространства и времени, могут входить только в областьопределения соответствия (6). Иначе говоря, соответствиями, удовлетворяющимиусловию (8), выражаются зависимости очертаний рельефа от местоположения,времени, рельефообразующих факторов, а также взаимосвязи геометрическиххарактеристик рельефа. Ясно, что установление такого рода соответствийотносится к задачам геоморфологии, сюда же отнесем соответствия, удовлетворяющиеприводимому ниже условию (10).

В других случаяхгеометрические характеристики рельефа могут входить в область определения соответствия(6), определяя собой либо значения геологических, гидрологических, биогеографическихи прочих факторов, которые в задачах, удовлетворяющих условию (8),рассматривались как рельефообразующие, либо (в геохронологическихисследованиях) время. Этим случаям отвечает условие:

<img src="/cache/referats/10278/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1086">                      (9)

где <img src="/cache/referats/10278/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1087"> — логический союз «и»,означающий, что должны выполняться оба связываемые им высказывания. Примерамизадач такого рода могут служить: установление зависимости характеристик потокаот формы ложа, дешифрование геологического строения по очертаниям рельефа,измерение времени скоростью денудации. Отнесение такого рода задач кгеоморфологии или к смежным к ней наукам в той или иной мере условно. Те иззадач, которые можно отнести к геоморфологии, мы будем называть ее пограничнымизадачами. Таким образом, условие (9) является необходимым, но недостаточнымточно так же, впрочем, как и условие (8), которому могут удовлетворятьпограничные задачи смежных с геоморфологией наук.

В построении пространствасостояний рельефа непременно, в явном или неявном виде, должно участвоватьмножество T элементоввремени t. В неявномвиде, принимая значения на одноэлементном множестве, оно присутствует, когдаизучается состояние рельефа в фиксированный, современный или прошлый момент илипромежуток времени. В таких случаях среди рассматриваемого множества элементоввремени любые два элемента <img src="/cache/referats/10278/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> и <img src="/cache/referats/10278/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1089"> совпадают: <img src="/cache/referats/10278/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1090"><img src="/cache/referats/10278/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1091">

В пределах внутренних задачгеоморфологии, определяемых условием (8), а также приводимым ниже условием(10), можно либо не учитывать, либо учитывать рельефообразующие факторы. Впервом случае имеет место условие <img src="/cache/referats/10278/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1092"><img src="/cache/referats/10278/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1093"><img src="/cache/referats/10278/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> — знак логическогоотрицания «не», который, будучи поставлен перед квантором существования <img src="/cache/referats/10278/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1095"><img src="/cache/referats/10278/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> означает «несуществует».

Накладывая на пространство(5) и соответствия (6) приведенные условия, можно поставить основные задачигеоморфологии и выделить разделы науки, в которых они решаются.

В пределах внутренних задачгеоморфологии, т.е. при выполнении условий (8) или (10), логическое обоснованиеполучают четыре раздела геоморфологии — геометрия, статика, кинематика идинамика рельефа, ранее выделявшиеся интуитивно (Девдариани, 1966).

1.     

<img src="/cache/referats/10278/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1097">

Изучаютсяочертания рельефа в фиксированный момент или промежуток времени. Наиболее частовстречающейся задачей геометрии рельефа является установление соответствий вида<img src="/cache/referats/10278/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1098">Pпонимается двумерное (карта) или одномерное (профиль) евклидово пространство. Вчастности, обозначив координаты точки земной поверхности в трехмерномпространстве <img src="/cache/referats/10278/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1099"><img src="/cache/referats/10278/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1100"><img src="/cache/referats/10278/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1101"><img src="/cache/referats/10278/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1102">

Другая задача геометриирельефа состоит в установлении зависимостей между различными геометрическимихарактеристиками рельефа, т.е. соответствий вида <img src="/cache/referats/10278/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1103">G1) уклоны (принимающие значения на упорядоченноммножестве G2)преимущественно (это слово указывает на неоднозначность соответствия, еговероятностный характер) возрастают.

2.     Статикарельефа: <img src="/cache/referats/10278/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1104">

Изучаются зависимости очертаний рельефа отрельефообразующих факторов в фиксированный момент или промежуток времени.Очевидно, что такие зависимости имеют геоморфологический смысл, если рельефдостиг устойчивого равновесия (например, предельного профиля) и более неизменяется во времени.

3.     Кинематикарельефа: <img src="/cache/referats/10278/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1105">

Изучаются изменения состояния рельефа вовремени вне зависимости от вызывающих эти изменения рельефообразующих факторов.При этом могут использоваться два метода описания движения: а) Локальный метод,когда объектами наблюдения служат элементы p физического пространства (например,точки на карте), в которых с течением времени t изменяются геометрическиехарактеристики рельефа g1,g2, …, gk. Соответствие (6) получает вид

<img src="/cache/referats/10278/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1106">                  (10)

Здесь знак <img src="/cache/referats/10278/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1107"> обозначает логическоеотношение эквивалентности, смысл которого состоит в том, что первоевысказывание, утверждающее присутствие в области определения соответствия (6)множества M, требуетосуществления второго высказывания, гласящего, что областью значенийсоответствия является только множество P, и наоборот. Выражение (10) является упоминавшимся выше вторымнаряду с (8) условием, определяющим внутренние задачи геоморфологии.

4.      <img src="/cache/referats/10278/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1108">

Изучаетсяразвитие рельефа при активном или пассивном воздействии рельефообразующихфакторов. Примером в терминах континуальной математики может служить уравнениеразвития продольного профиля реки: <img src="/cache/referats/10278/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1109">H— высота точки профиля, A— постоянная, зависящая от его начальных очертаний; они представляют собойгеометрические характеристики рельефа, принимающие значения на множествах G1 и G2 соответственно;t — время, принимающеезначения на множестве T;F(x) — функциярасстояния x, принимающегозначения в одномерном евклидовом пространстве P; m — постоянная, зависящая от рельефообразующих факторов, принимающихзначения на множествах B1,B2, …, Bl; e — основание натуральных логарифмов. Все перечисленныехарактеристики принимают значения из множества действительных чисел, иприведенное уравнение представляет собой конкретную форму функциональногосоответствия <img src="/cache/referats/10278/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> в многомерном евклидовом пространстве состояний <img src="/cache/referats/10278/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1111">

Рассмотрим бесконечнуюупорядоченную последовательность элементов времени:

<img src="/cache/referats/10278/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1112">

Знак <img src="/cache/referats/10278/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1113"> указывает, что стоящийперед ним элемент предшествует элементу, стоящему после. Для элементовмножества действительных чисел знак <img src="/cache/referats/10278/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> равносилен знаку < (меньше), а <img src="/cache/referats/10278/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> — знаку > (больше). Для элементоввремени <img src="/cache/referats/10278/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> означает раньше, а <img src="/cache/referats/10278/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> позже. В указанной последовательностиважнейшую грань образует момент (или промежуток) времени tн, в который произведены(или начаты) наблюдения за состоянием рассматриваемой системы. Для последующихэлементов времени, <img src="/cache/referats/10278/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1118"><img src="/cache/referats/10278/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> — восстанавливаютсяисторическим и методами, на основании сохранившихся свидетельств прошлыхсостояний. В соответствии с этим в каждом из разделов геоморфологии следуетразличать задачи:

1)      <img src="/cache/referats/10278/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1120">

2)      <img src="/cache/referats/10278/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1121"><img src="/cache/referats/10278/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1122">

Пограничные задачигеоморфологии делятся на пограничные задачи геометрии рельефа, когда <img src="/cache/referats/10278/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1123"><img src="/cache/referats/10278/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1124"> при соблюдении,разумеется условия (9).

Использованная литература.

1.     

Автором былаиспользована литература:

2.       Геология и математика. «Наука», Новосибирск,1967.

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     


[1] Авторне накладывает никаких ограничений на множества, входящие в прямое произведениеW, и допускает, вчастности, что они могут быть неупорядоченными. Поэтому множество векторов,образующих W, не являетсяпространством в строгом математическом понимании. Однако автору представляется,что в географических и геологических целях такое расширение математическогопонятия пространства было бы весьма удобным. И это не шло бы в разрез с общейтенденцией расширения понятия пространства в математике от трехмерного евклидовак многомерным евклидовым, затем к метрическим и далее к топологическимпространствам.

еще рефераты
Еще работы по литературе, лингвистике