Реферат: Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації

--PAGE_BREAK--4 Деякі методи знаходження Парето-оптимальних рішень
Більшість методів знаходження Парето-оптимальних рішень базується на тих чи інших умовах Парето-оптимальності. У загальному випадку використовуються достатні й необхідні умови Парето-оптимальності. Зокрема, рішення є Парето-оптимальним, якщо воно є рішеннями задачі максимізації певної функції, зростаючої за відношенням <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1806056107-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">. Фактично розв'язання задачі Парето-оптимізації зводиться до множини відповідних задач скалярної оптимізації за деяких обмежень. Якщо використані умови оптимальності є також і достатніми, то знайдена у такій спосіб множина рішень є множиною Парето-оптимальних рішень. У противному випадку, знайдена множина може включати і зайві рішення, що мають бути відкинуті.

Знаходження множини Парето-оптимальних систем може здійснюватися або безпосередньо перебиранням усіх строго допустимих варіантів системи та перевіркою умови (3), або з використанням спеціальних методів, наприклад, методу послідовних поступок, вагового методу, методу робочих характеристик. Вибір відповідного методу оптимізації залежить від змісту сформульованих вихідних даних, типу поставленої задачі проектування. Розглянемо особливості деяких методів.

Метод перебору.При розв'язанні оптимізаційної задачі методом перебору згідно з умовою(3)припускається, що множина <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1806044447-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> має скінченну потужність. Такі задачі виникають, наприклад, при виборі з уже відомих (“у натурі” або у вигляді технічних проектів) варіантів систем. Зокрема, множина допустимих систем може формуватися на основі відомого морфологічного підходу як різні допустимі комбінації певної кількості  підсистем. Тут суттєво зазначити, що навіть для порівняно простих систем, які складаються лише з кількох підсистем, кількість допустимих комбінацій останніх може бути значною (десятки і сотні тисяч). Тому, хоча принципових труднощів при використанні методу перебору не існує, проте на практиці можливі складнощі обчислювального характеру.

Метод робочих характеристик.Метод полягає у тому, що шукається оптимум однієї із цільових, наприклад, першої функції на множині строго допустимих систем при умові, що на всі цільові функції накладаються  обмеження типу рівності


<img width=«77» height=«41» src=«ref-1_1806056309-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">, при <img width=«221» height=«28» src=«ref-1_1806056774-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">,                                  (5)
де <img width=«99» height=«28» src=«ref-1_1806057489-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> -фіксовані, але довільні значення показників якості.

Очевидно, оптимальне значення показника <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_1806057792-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> у загальному випадку залежатиме від фіксованих значень інших показників якості <img width=«207» height=«28» src=«ref-1_1806057911-578.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">. Знайдені у такий спосіб залежності за допустимих комбінацій фіксованих значень<img width=«132» height=«28» src=«ref-1_1806058489-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"> у критеріальному просторі являють собою робочу поверхню. Робочій поверхні відповідає сім'я одновимірних робочих характеристик <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_1806058853-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142"> виду 


<img width=«173» height=«28» src=«ref-1_1806059116-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">,

<img width=«169» height=«28» src=«ref-1_1806059645-530.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">,                                                                     (6)

...........................

<img width=«173» height=«28» src=«ref-1_1806060175-517.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">.
Тут підкреслені змінні, що розглядаються як фіксовані параметри.

Робоча поверхня має такі характерні властивості:

1.Робоча поверхня включає усі Парето-оптимальні точки, але поряд з ними має і ряд безумовно гірших точок. Вони мають бути відкинуті з подальшого розгляду.

Необхідною і достатньою умовою збіжності робочої поверхні з Парето-оптимальною множиною, є її строга монотонність, тобто монотонно спадний характер відносно кожного з аргументів. В цьому випадку робоча поверхня визначає БПХ системи.

Основні складнощі при використанні методу робочих характеристик полягають у розв'язанні задачі скалярної оптимізації в умовах <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_1806060692-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">-го обмеження типу рівностей. Але у багатьох практичних випадках таку задачу вдається довести до одержання конкретної структури системи з довільними параметрами.

Ваговий метод.При його застосуванні Парето-оптимальні рішення знаходяться шляхом оптимізації зваженої суми цільових функцій виду


<img width=«323» height=«41» src=«ref-1_1806060954-1155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">.                                               (7)
Тут <img width=«115» height=«25» src=«ref-1_1806062109-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> —скінченні додаткові зважуючі коефіцієнти. При цьому знаходиться оптимальне значення <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1806062392-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> і відповідні йому значення показників якості<img width=«131» height=«28» src=«ref-1_1806062513-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">,


<img width=«241» height=«28» src=«ref-1_1806062848-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">.                                                      (8)
У загальному випадку значення <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_1806063260-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> залежать від обраних вагових коефіцієнтів <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_1806063526-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">:


<img width=«169» height=«25» src=«ref-1_1806063767-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">,

<img width=«175» height=«25» src=«ref-1_1806064212-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">,          

….…......................                                                                         (9)

<img width=«181» height=«28» src=«ref-1_1806064687-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">.
Для розв'язання оптимізаційної задачі(7),а також для знаходження залежностей(9)необхідно виконати оптимізацію для всіх можливих комбінацій коефіцієнтів <img width=«192» height=«32» src=«ref-1_1806065147-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.

Розв'язавши системуіз <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_1806065686-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> рівнянь (9)  можна дістати залежність


<img width=«200» height=«28» src=«ref-1_1806065774-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">.                                                              (10)
У <img width=«19» height=«16» src=«ref-1_1806054525-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">-вимірному просторі векторних оцінок ця залежність розглядається, як рівняння вагової поверхні. Неважко бачити, що використання вагового методу зводиться до скалярної оптимізації, зокрема, відомим методом множників Лагранжа.

Вагова поверхня має такі властивості:

1.Включає тільки Парето-оптимальні точки, тобто жодна з безумовно гірших точок не може належати цій поверхні.

У багатьох випадках вагова поверхня є повністю визначеною і неперервною в усьому діапазоні значень показників якості <img width=«100» height=«25» src=«ref-1_1806066397-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">. У таких випадках вагова поверхня збігається з Парето оптимальною множиною.

Отже, при використанні розглянутих методів, а також їхніх модифікацій векторна оптимізаційна задача зводиться у математичному відношенні до розв'язання множини скалярних оптимізаційних задач з урахуванням різного роду обмежень.

У загальному випадку при розв'язанні оптимізаційних задач (5), (7)варіюється оператор системи<img width=«76» height=«25» src=«ref-1_1806066691-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, тобто як структура<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1806029373-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">,так і параметри <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1806029468-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> системи. При цьому можуть бути використані методи варіаційного числення, функціонального аналізу, теорії статистичних рішень, теорії інформації. При фіксованій структурі системи<img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1806029373-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> задача синтезу зводиться до задачі оптимізації вектора параметрів <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_1806029468-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">.Ця задача у ряді випадків може розв'язуватися методами лінійного, нелінійного чи динамічного програмування.

Якщо знайдена множина Парето <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_1806067450-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> порівняно вузька, то за оптимальне рішення може бути прийнята люба Парето-оптимальна оцінка і відповідна їй система. У таких випадках можна вважати, що відношення строгої переваги<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1806045059-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> збігається з відношенням <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1806056107-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> на множині векторних оцінок, а тому <img width=«109» height=«25» src=«ref-1_1806067955-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">
. При цьому часто і не вдаються до пошуку всієї множини Парето-оптимальних систем, а зразу вибирають один із Парето-оптимальних варіантів. 

Проте часто множина <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_1806067450-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> є занадто обширною. Це свідчить, що відношення<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1806045059-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> та <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1806056107-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> хоча і зв'язані аксіомою Парето, але не збігаються. Для звуження множини Парето-оптимальних оцінок слід використати умовний критерій переваги (УПК), який зводиться до задання деякої скалярної цільової функції. УКП може бути заданий після одержання додаткової інформації та введенні різного роду умов.

При цьому постає запитання: чи має сенс виконувати синтез на основі безумовного критерію переваги — критерію Парето, якщо на заключному етапі все ж доводиться вводити умовний критерій переваги. В обґрунтування доцільності пошуку Парето-оптимальних варіантів систем з використанням БКП на початкових етапах оптимального проектування зазначимо таке:

1.БКП дає змогу знайти всі Парето-оптимальні системи, тобто відкинути безумовно гірші варіанти системи.

БКП дає змогу знайти потенціальні (найкращі можливі) значення кожного із показників якості і зв'язок між ними.

3.Методи відшукання Парето-оптимальних систем зводяться у математичному відношенні до оптимізації скалярних цільових функцій, тобто зводять розв'язання задачі векторного синтезу до деякої множини задач скалярного синтезу.

4.У виродженому випадку БКП дає змогу знайти єдину найкращу систему.

5.У невиродженому випадку знаходження Парето-оптимальних систем часто приводить до однієї структури системи, але  з різними параметрами.

6.Навіть тоді, коли на заключному етапі синтезу для вибору єдиної системи доводиться вводити УКП, то краще вводити різного роду умовності на більш пізньому етапі синтезу.
5 Методи звуження множини Парето-оптимальних рішень
Формальна модель задачі Парето-оптимізації не містить інформації для вибору єдиної альтернативи. При цьому множина допустимих варіантів системи лише звужується до множини Парето шляхом виключення безумовно гірших варіантів за відношенням <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1806045059-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">. Проте для наступних етапів проектування системи, як правило, має бути обраний єдиний варіант системи. Тому виникає необхідність звуження множини Парето-оптимальних рішень із залученням додаткової інформації про відношення <img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1806045059-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.Така інформація з'являється в результаті різностороннього аналізу структури і параметрів Парето-оптимальних варіантів системи, багатовимірних діаграм обміну показників якості системи, відносної важливості показників якості, порівняльного аналізу одержаних варіантів системи між собою.

Отримана при цьому додаткова інформація може бути використана для побудови скалярної цільової функції <img width=«147» height=«25» src=«ref-1_1806069100-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">,оптимізація якої на множині Парето-оптимальних рішень <img width=«59» height=«28» src=«ref-1_1806069673-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> приводить до вибору єдиного оптимального варіанта системи
<img width=«356» height=«28» src=«ref-1_1806069961-1150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">.                               (11)
Загальна вимога до функції <img width=«104» height=«25» src=«ref-1_1806071111-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179"> зводиться до того, щоб вона була монотонною (зростаючою чи спадною) по кожному зі своїх аргументів.

Існують як об'єктивні, так і суб'єктивні підходи до побудови такої функції. У ряді випадків на основі розгляду призначення системи, що проектується у складі більш складної надсистеми (комплексу), об'єктивними методами може бути встановлено взаємозв'язок показників якості системи <img width=«85» height=«25» src=«ref-1_1806071491-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> з якимось показником якості <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1806071811-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> надсистеми у вигляді відповідної функції <img width=«136» height=«25» src=«ref-1_1806071910-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">. Проте у більшості випадків об'єктивно ввести таку функцію не вдається і доводиться вдаватись до її побудови значною мірою суб'єктивними методами. Розглянемо деякі з них.

Вибір оптимальних рішень з використанням функцій цінності.Одним із широко використовуваних методів звуження множини Парето-оптимальних рішень є використання скалярної функції цінності (корисності), оптимізація якої веде до вибору одного з оптимальних варіантів системи. Числову функцію <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_1806072338-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> називають функцією цінності для відношення строгої переваги <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1806072677-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">,якщо для довільних оцінок <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1806072761-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_1806072886-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> упросторі<img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1806035790-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> нерівність <img width=«107» height=«24» src=«ref-1_1806073149-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> має місце тоді і тільки тоді, коли<img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1806073597-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">.Припустимо, що відношення строгої переваги<img width=«16» height=«16» src=«ref-1_1806045059-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> задовольняє аксіому Парето. При цьому із нерівності <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1806073597-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> випливає відношення <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1806074096-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">,що означає <img width=«107» height=«24» src=«ref-1_1806073149-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">, тобто функція цінності <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1806074759-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, є зростаючою за відношенням <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1806056107-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.Якщо існує функція цінності <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1806074759-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">,то оптимальна оцінка знаходиться шляхом максимізації цієї функції на множині Парето

<img width=«233» height=«45» src=«ref-1_1806075347-910.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.                                                        (12)
Тобто відшукання оптимальної оцінки зводиться до розв'язання задачі скалярної оптимізації функції багатьох змінних <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1806074759-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.

При цьому можуть бути побудовані адитивна, мультиплікативна, полінійна функції цінності.

Процедура утворення функції цінності <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1806074759-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> інколи називається згорткою векторного критерію <img width=«157» height=«28» src=«ref-1_1806076757-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">.

Операція згортки можлива, якщо:

— частинні критерії кількісно сумарні по важливості, тобто кожному з них відповідає певне число <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1806077215-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">, яке визначає його відносну важливість відповідно до інших критеріїв;

— частинні критерії є однорідні, тобто кількісно порівнюються в одній вимірності.

Існують різноманітні форми подання узагальненого скалярного критерію та вибору відповідних оптимальних рішень. Зокрема, це такі способи згортки частинних критеріїв:

— формується узагальнений критерій, чисельник якого складає добуток критеріїв, які підлягають максимізації, а знаменник — добуток критеріїв, які підлягають мінімізації;

— формується узагальнений критерій з використання елементів теорії адитивної корисності, тобто підсумовування частинних критеріїв за певною вагою коефіцієнтів вибору чисельника і знаменника;

— формується узагальнений критерій відносно всіх частинних критеріїв.

Узагальнена функція цінності може набирати такого вигляду


<img width=«209» height=«55» src=«ref-1_1806077319-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">,                                                             (13)

де <img width=«47» height=«29» src=«ref-1_1806078119-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> -одновимірні функції цінності, що характеризують цінність системи за <img width=«15» height=«23» src=«ref-1_1806078401-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">-м показником якості; <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_1806078491-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> -шкалюючі коефіцієнти.

Задача побудови функції(13)зводиться до оцінки коефіцієнтів <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_1806078594-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">, вибору виду функцій <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_1806078697-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">, перевірки їх незалежності за перевагою <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1806056107-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">,перевірки узгодженості побудованої функції цінності.У ряді випадків може бути використана функція цінності(13)у вигляді


<img width=«113» height=«55» src=«ref-1_1806079128-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">.                                                                                (14)
При цьому використовуються різні методи одержання додаткової інформації про значення коефіцієнтів <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1806079624-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. Зокрема, це добре розроблені методи експертних оцінок.Вони зводяться до опитування вибраної групи експертів про цінність одержаних Парето-оптимальних варіантів системи, відносну важливість показників якості та інше. Існують добре розроблені методики врахування одержаної інформації, які реалізовані у методі Сааті.

Інколи для вибору єдиного варіанту обмежуються так званою пороговою оптимізацією: найбільш вагомий критерій піддається оптимізації, інші включаються до системи обмежень. Слід зауважити, що існує також багато інших принципів та підходів до вибору єдиного варіанту з використанням скалярних критеріїв оптимальності. Фактично співвідношення (14) визначає байесовий детермінований критерій оптимальності. За умов невизначеності  про умови вибору рішень використовує методи теорії ігор. Такі ситуації вибору проектних рішень при створенні систем часто називають «іграми з природою». Для прийняття рішень вишукують найкращу стратегію, з використанням критерія Вальда, критерія Севіджа, критерія Гурвіца, критерія Лапласа та інших.

    продолжение
--PAGE_BREAK--