Реферат: Розклад вектора за базисом

Розклад вектора за базисом.

Означення . Лінійно залежними називають вектори />, якщо існує хоч би одне дійсне число />(і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність

/>(1)

Означення . Лінійно незалежними називають вектори />, якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі />.

В системі векторів />число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів />із простору Еmрозглядати як матриці-стовпці з mзаданими елементами, тоді рівняння (1) можна записати у вигляді однорідної системи mлінійних алгебраїчних рівнянь з nневідомими />.Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу rосновної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів />.

Таким чином, серед чисел />існує rне рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори />лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори />із простору Еn(кожен з них має nкоординат) лінійно незалежні, тоді />, тобто система nоднорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з nневідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів />, не дорівнює нулю.

Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів />= (-1,-2,-3); />= (7,8,9); />= (-4,-5,6) та системи векторів />= (3,-2,4,1); />= (-1,2,-1,2); />= (1,2,2,5).

Розв’язування. Спочатку розглянемо систему векторів />, />та />. Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

/>

Визначник цієї матриці |А| = — 48 + 72 + 105 – 96 +84 – 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r(A)=3 і вектори />, />, />лінійно незалежні.

Тепер розглянемо систему векторів />, />, />. Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

/>

Ця матриця розміру 3 х 4 має ранг r(B)=2.

Тому вектори />, />, />лінійно залежні.

Означення. Базисом nвимірного простору Еnназивають будь-яку сукупність nлінійно незалежних векторів nвимірного простору.

Довільний вектор />n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса />так:

/>(2)

Числа />називають координатами вектора />у базисі векторів />.

Приклад. Довести, що вектори />= (5,4,3); />= (-3,-1,2); та />= (-3,1,3) утворюють базис в Е3, та розкласти вектор />= (12,9,10) за цим базисом.

Розв’язування. Кожен із заданих векторів />, />, />має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця складена з координат цих векторів

/>

має визначник |А|= -15-24-9-9+36-10= -31/>0, тому вектори />, />, />лінійно незалежні. Згідно з означенням базиса, ці вектори утворюють базис в Е3.

Вектор />також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна представити у вигляді (2) або

/>

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо

/>

Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи

/>

Отже, маємо розклад />за базисом

/>= 3/>

Координатами вектора />у базисі />, />, />будуть (3,2,-1).

Зауваження. Два лінійно залежних вектори задовольняють рівність />, тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто

/>

Вправи з векторної алгебри

Взяти довільний вектор />і побудувати вектори

/>

Використовуючи два довільні вектора />та />, побудувати

/>+ />, /> — />, />-/>, 2/> — 3/>

Паралелограм АВСDпобудований на векторах />та />. Виразити через />та />вектори />, />, />та />, де М – точка перетину діагоналей.

При якому розташуванні вектора />відносно осі />його проекція:

а) додатня; b) від’ємна; с) дорівнює нулю?

Знайти координати векторів

2/>+5/>та 2/> — />, якщо />= (2,-4,2), />=(-3,2,-1)

Побудувати ромб АВСD і записати вектори, що утворені сторонами ромба та:

а) мають рівні модулі; b) колінеарні; с) рівні між собою

Задані точки М1(1,2,3) та М2(3,-4,6). Треба:

а) знайти координати векторів />= />/>= />;

b) знайти довжину відрізка М1М2 та косінуси кутів />що утворює вектор />з осями координат;

с) знайти орт вектора />

Задана точка А(-2,3,-6). Обчислити:

а) координати радіус-вектора />точки А;

b) модуль />та косінуси кутів між />та осями координат;

Чому дорівнює скалярний добуток/>/>, якщо:

а) />та />колінеарні і однаково напрямлені;

b) />та />протилежні;

с) />/>; d) />=/>

Вектори />та />утворюють кут />Обчислити:

а) />/>;b)(3/>— 2/>)(/>+2/>); c) |/>+/>|; d) |2/>-3/>|

Задані вектори />=(1,-2,4), />=(3,0,-1). Знайти модуль вектора />=2/>-3/>та його напрямні косінуси.

Задані точки А(-1,3,-7), В(2,-1,5), С(0,1,-5)

Знайти />

Перевірити колінеарність векторів />=(2,-1,3) та />(-6,3,-9)

Чи утворюють базис у тривимірному просторі вектори

/>= (1,2,2); />= (1,2,3); />= (1,2,-2)

Знайти:

а) усі можливі базиси системи векторів

/>= (1,1,1); />= (1,2,2); />=(1,1,3); />= (1,1,-2)

b) координати />у базисі />, />, />

Завдання для індивідуальної роботи.

Задані чотири вектори />, />, />, />. Довести, що вектори />, />, />утворюють базис та знайти координати вектора />, в цьому базисі та |/>|.

а = (2,1,0); b = (4,3,-3); с = (-6,5,7); d= (34,5,-26)

а = (1,0,5); b = (3,2,7); с = (5,0,9); d= (-4,2,-12)

а = (4,5,2); b = (3,0,1); с = (-1,4,2); d= (5,7,8)

а = (3,-5-2); b = (4,5,1); с = (-3,0,-4); d= (-4,5,-16)

а = (-2,3,5); b = (1,-3,4,); с = (7-8,-1); d= (1,20,1)

а = (1,3,5); b = (0,2,0); с = (5,7,9); d= (0,4,16)

а = (2,4,-6); b = (1,3,5); с = (0,-3,7); d= (3,2,52)

а = (4,3,-1); b = (5,0,4); с = (2,1,2); d= (0,12,-6)

а = (3,4,-3); b = (-5,5,0); с = (2,1,-4); d= (8,-16,17)

а = (-2,1,7); b = (3,-3,8); с = (5,4,-1); d= (18,25,1)