Реферат: Исследование некоторых задач в алгебрах и пространствах программ

КазиевВ.М.

Рассмотрим пару алгебр (A,B): алгебру X=<X,&,a (+),a {},{}a > событий — алгоритмических процедур (программ) заданную над алфавитом X={x1 ,x2 ,...,xn } и В-трехзначную алгебру логики (0,1,2 — неопределенность). В алгебре А определим двухместные операции конъюнкции и условной дизъюнкции и одноместную операцию итерации следующим образом: конъюнкция s1 &s2 событий s1, s2 состоит из всех слов вида pq, pÎ s1, qÎ s2; a — дизъюнкция a (s1 +s2 ) совпадает с s1 (s2 ), если условие a истинно (ложно); итерация с постусловием {s}a состоит из пустого события s0=e и всевозможных слов вида p1 p2 ...pk т.е. , {s}a =sm, где sm — последний из степеней s, для которого условие a выполнено; итерация с предусловием a {s} определяется аналогично. В алгебре А задается событие называемое неопределенным и обозначаемое символом Æ. Элементарные события в А — события е, x1, x2 ,..., xn. Аксиомы алгебры А ниже рассмотрены. Все аксиомы алгебры B и правила вывода в ней сохраняются. Правила вывода, используемые в алгебре А включают правила вывода, принятые в программировании — см., например, [1]. Событие, получаемое применением конечного числа операций алгебры А над элементарными, называется регулярным.

Имеет место важная теорема Клини [2]: регулярные события и только они представимы в конечных автоматах.

Рассмотрим задачу построения алгоритма регуляризации во введенной паре алгебр (А,B). Алгоритм в укрупненных шагах состоит в следующем.

Шаг 1. Задается произвольное событие s=s0 s1 s2 ...sn+1, где si — событие номер i, начальное событие — s0, конечное — sn+1, остальные события — преобразователи и/или события — распознаватели.

Шаг 2. Составляется система уравнений алгебры событий А: записывается функция F события, его дерево D и дерево состояний определяющее все к путей выполнения: , где Fi — функция ветви дерева состояний. Функция ветви дерева — композиция всех функций (событий) данной ветви; программная функция F — объединение всех функций ветвей дерева.

Шаг 3. Система уравнений с помощью подстановок и операций дизъюнкции и конъюнкции представляется в виде: X=XA+B, где X — событие, представленное заключительным состоянием sn+1, .

Шаг 4. Находим решение системы. Используется теорема [3]: если характеристический граф матрицы А (орграф соединяющий ребрами вершины i и j только тогда, когда eÎaij ) не содержит ни одного цикла, то система X=XA+B имеет единственное решение X=B{A}, которое регулярно при регулярных A, B. При решении системы эффективно преобразовывать уравнения, — как и при решении линейных алгебраических уравнений, например, брать дизъюнкцию событий, изменять порядок исключения событий и др.

Шаг 5. По условиям выполнимости событий находим регулярную форму этого решения. Используются аксиомы алгебры логики В и соотношения алгебры событий А, например, следующие (AB=A&B, ab=a&b,a(A) — условие выполнимости события А, Aa — проверка условия a после события А и для этого условия верны все аксиомы алгебры В, — отрицание условия a):

Ae=eA=A,

ea=a(e)=a,

AÆ=ÆA=Æ,

2 (A+B)=Æ,

a(b(A))=b,

A(BC)=(AB)C,

b (A+B)=(a(A)+ (B)),

a(b (A+B))=(ba(A))+( (B)),

a (A+B)C=a (AC+BC),

Aa (B+C)=a (AB+AC),

a(AB)=a(A)Ba(B),

(AB)a=A(Ba),

A{B}a ={BAa }A,

a({A}b )={Ab }b,

{A}a =a (e+A{A}a ),

{a(A)}(B)={A} B,

a {A}a {A}=a {A},

{aa {A}}=a {A},

{A}a {A}a ={A}a ,

{{A}aa }={A}a ,

{a(A)}={A},

{A}a +e=a {A},

Aa {A}=a {A}A={A}a .

Пример 1. Регуляризуем микропрограмму А деления с фиксированной запятой. Для простоты считаем, что числа неотрицательны, а операция не приводит к переполнению разрядной сетки компьютера фон — Неймановского типа, операционный автомат которого состоит из регистров R1, R2 сумматора R3 и счетчика сдвигов R4. Делимое храниться на R1, делитель — на R2, частное накапливается на R3. Введем обозначения: li — микрооперация сдвига регистра Ri влево (i=1,2,3); s-1ij — микрокоманда вычитания из содержимого регистра Rj содержимого регистра Ri; ai — условие заполненности регистра Ri; gi — условие отрицательности содержимого регистра Ri; pi — микрооперация занесения единицы в младший разряд Ri; si,j — микрокоманда добавления содержимого регистра Ri к содержимому Rj .

Выпишем систему уравнений, обозначив через xi — событие соответствующее каждому из 11 пунктов алгоритма деления (см., например, [3]):

Решим эту систему. После очевидных подстановок, вводя обозначения:

x=x3 +x7 +x10 ,

B=el3 s-113 ,

A=g3 p2 l2 p4 l3 s-113 +g3 l2 p4 l3 s-113

получим уравнение X=XA+B, решение которого будет X=B{A} и после упрощений с помощью приведенных аксиом, заключительное событие S равно

s=x11 l3 s-113 {g3 (l2 p4 l3 s13 +p2 l2 p4 l3 s13-1 )}a4

2. Рассмотрим задачу нахождения оптимальных (например, в смысле операции, длины и т.д.) структурированных программ из заданного набора базовых процедур (некоторые из них — см. в [5]), а также построения грамматик для анализа структур из программных единиц. При решении этой задачи используются аксиомы алгебры А.

Пример 2. Дана программа Р, где А, В, С — процедуры, a,b — предикаты:

P=a (BA+CA)b (Ab {A}+e)=a (B+С)Ab (Ab {A}+e)=a (B+С)Ab ({A}b +e)=a (B+С)Ab {A}=a (B+C){A}b =T.

Программа Т — более оптимальна и ее правильность доказываема формально.

Доказана теорема (доказательство не приводим из-за объема).

Теорема 1. Если R,A,S Î A, a,b,gÎB, A и S — коммутативны, то:

а)AX=Aa (R+SX)ÛAX=A{S}a R, б)Ag=Aa (b+Sg)ÛAg=A{S}a b,

в)Ag=Aa (b+S )ÞAg=A{S2 }ta (b+S ),t=a+Sa,

г)Ag=A{S2 }t gÞAg=At (e+S2 )g, g=a (b+S), t=a+Sa.

Рассмотрим задачу исследования разрешимости в пространствах программ.

Пусть x=<X, Y, M, S> — программа, определенная на входном алфавите Х, выходном алфавите Y и состоящая из подпрограмм (процедур) М с логической схемой (структурой) S. Структуре S поставим в соответствие орграф: Вершины — подпрограммы, ребра — в соответствии со структурой их взаимодействий. Метрика r(x,y) в этом пространстве — сумма всех весов ребер орграфов программ не совпадающих при заданной структуре S или отклоняющихся от оптимальной структуры, т.е. Аксиомы метрики проверяемы.

Отметим метризуемость пространства и по некоторым характеристикам качества программ Холстеда [6], а также с помощью понятия интеллектуальной работы программы, оцениваемой как разность энтропии до работы (статической формы программы) и после работы (динамической формы). У идеальной программы энтропия равна нулю. Отметим, что если ds/dt — общее изменение энтропии программного комплекса при отладке, ds1 /dt — изменение энтропии за счет необратимых изменений структуры, потоков внутри комплекса (рассматриваемую как открытую систему), ds2 /dt — изменение энтропии за счет усилий по отладке и тестированию, то справедливо уравнение Пригожина: ds/dt = ds1 /dt + ds2 /dt. Последовательность программ {xi }, сходится по схеме (структуре) к программе х (обозначим ), если r(xn ,x)® 0, при n®¥, т.е. дерево программы xn при n®¥ стремится к дереву программы х. Последовательность {xi } сходится функционально к программе х (обозначим ), если F(xn )® F(x) при n®¥ (программная функция xn стремится к программной функции х). Нетрудно видеть, что из сходимости по схеме следует сходимость функциональная, но обратное неверно.

Пусть M = {x1, x2, ..., xn ,...} — последовательность программ с общей функцией (эквивалентных функционально). На этом множестве рассмотрим множество операторов А преобразования (композиции, суперпозиции) программ. Последовательность {An } сходится к А функционально (по схеме, структуре), если верно: «xÎМ:

С точки зрения исследования существования, единственности оптимальной (в каком-то смысле) программы можно рассмотреть: операторы минимизации числа операндов; операторы минимизации числа типов операторов; операторы минимизации числа вызовов процедур; минимизации числа ошибок в программе; минимизации сложности (разных способов определения) и др. При исследовании программных систем важно рассматривать пространства векторов х=(х1 ,x2 ,...,xn ), где xi — характеристика ошибок в программе или структурной связностипроцедур, ui — количество ошибок в i-ом модуле программного комплекса P(u)=P(u1 ,u2 ,...,un ).

Пусть u(x,t) — количество ошибок, обнаруженных в программе (системе) в момент времени t, а х — характеристика уровня ошибок. Рассмотрим модель обнаружения ошибок при отладке, представимая уравнением (см. также [7]): Lu+Tu=f, где T — оператор, определяющий первоначальный уровень ошибок в программе или их некоторую характеристику, L — некоторый линейный ограниченный оператор отладки, L:U®V, U,V — линейные нормированные пространства D(L) ÍU, R(L)ÍV.

Теорема 2. Если R(L)=V и для каждого uÎD(L) существует постоянная c такая, что , то Lu+Tu=f имеет единственное решение uÎU.

Доказательство. Условия теоремы гарантируют существование непрерывного обратного оператора L-1, причем . Тогда u=L-1 (f-Tu). Для однородного уравнения: . Отсюда следует, что , т.е. u=0. Следовательно, неоднородное уравнение имеет единственное решение.

Пример 3. Пусть umax — максимальный уровень синтаксических ошибок в программе Р, u(t) — их оставшееся количество к моменту времени t. Исходя из модели du/dt+lumax =0, u(t0)=u0можно заключить, что уровень ошибок убывает при l(c-t0) ¹ -1 (t0<c<T) по закону: u(t) = u0(1+ l(c-t))/(1+l(c-t0)).

Если задать дополнительно u(t* )=u*, (umax — неизвестная величина), то закон изменения уровня ошибок находится однозначно, так как: с=(u* t0-u0t* )/(lu* -lu0)-1/l.

Вопросы разрешимости некоторых уравнений Lx=y, где х — неизвестная программа, y — заданная программа, L — оператор, например, оптимизации, будут изложены в другой работе.

Список литературы

1. Алагич С., Арбиб М. Проектирование корректных структурированных программ. — М., Радио и связь, 1984.

2. Клини С.К. Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах. — Автоматы, ИЛ, М., 1956.

3. Бондарчук В.Г. Системы уравнений в алгебре событий. — Журнал вычислительной математики и математической физики, N6, т.3, 1963.

4. Глушков В.М. О применении абстрактной теории автоматов для минимизации микропрограмм. — Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, N1, 1964.

5. Казиев В.М. Дидактические алгоритмические единицы. — Информатика и образование, N5, 1991.

6. Холстед М. Начала науки о программах. — М., Финансы и статистика, 1981.

7. Казиев В.М. Один класс математических моделей переработки информации и некоторые его приложения. — Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах, Киев, 1991.