Реферат: Дискретно-аналоговое представление

/>/>Содержание

Введение

1.Дискретно-аналоговое представление регулярными выборками

2.Физическая трактовка процессов интерполяции сигналов

3.Задачи идеальной интерполяции

4.Интерполяция алгебраическими полиномами

5.Определение частоты опроса

Заключение

Списоклитературы

Введение

Впервой половине ХХ века при регистрации и обработке информации использовались,в основном, измерительные приборы и устройства аналогового типа, работающие вреальном масштабе времени, при этом даже для величин, дискретных в силу своейприроды, применялось преобразование дискретных сигналов в аналоговую форму.Положение изменилось с распространением микропроцессорной техники и ЭВМ.Цифровая регистрация и обработка информации оказалась более совершенной иточной, более универсальной, многофункциональной и гибкой. Мощь и простотацифровой обработки сигналов настолько преобладают над аналоговой, чтопреобразование аналоговых по природе сигналов в цифровую форму сталопроизводственным стандартом.

Поддискретизацией сигналов понимают преобразование функций непрерывных переменныхв функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могутбыть восстановлены с заданной точностью. Роль дискретных отсчетов выполняют,как правило, квантованные значения функций в дискретной шкале координат. Подквантованием понимают преобразование непрерывной по значениям величины ввеличину с дискретной шкалой значений из конечного множества разрешенных,которые называют уровнями квантования. Если уровни квантования нумерованы, торезультатом преобразования является число, которое может быть выражено в любойчисловой системе. Округление с определенной разрядностью мгновенных значенийнепрерывной аналоговой величины с равномерным шагом по аргументу являетсяпростейшим случаем дискретизации и квантования сигналов при их преобразовании вцифровые сигналы.

Какправило, для производственных задач обработки данных обычно требуетсязначительно меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков ввиде непрерывного аналогового сигнала. При статистических флюктуацияхизмеряемых величин и конечной погрешности средств измерений точностьрегистрируемой информация также всегда ограничена определенными значениями. Приэтом рациональное выполнение дискретизации и квантования исходных данных даетвозможность снизить затраты на хранение и обработку информации.

Крометого, использование цифровых сигналов позволяет применять методы кодированияинформации с возможностью последующего обнаружения и исправления ошибок приобращении информации, а цифровая форма сигналов облегчает унификацию операцийпреобразования информации на всех этапах ее обращения.

 

 

1.Дискретно-аналоговое представление регулярными выборками

Придискретно-аналоговом представлении сообщение на интервале времени Tописывается вектором />

/>, (1)

где/> -координаты.

Еслишкала каждой координаты непрерывная, то это представление называется дискретно-аналоговым,а если шкала квантованная, то представление дискретно-квантованное, т.е.цифровое.

Дискретно-аналоговоепредставление сообщений может быть реализовано различными способами взависимости от выбора системы координат. Наибольшее применение в РСПИ получилипредставления, у которых в качестве координат /> сообщения используется текущеезначение сигнала в фиксированные моменты времени.

/> (2)

Координаты/> называютсявыборками или отсчетами, а моменты времени /> - точками опроса.

Припредставлении регулярными выборками расстояние между соседними точками опросаодинаково и равно />.

/>, (3)

где/> — периодопроса, />-частота опроса.

Частотаопроса /> являетсяважнейшим параметром, который надо выбирать при представлении сообщениярегулярными выборками.

Процессформирования выборок в этом случае изображен на рисунке 1:

/>

Рисунок1

Выборчастоты опроса /> зависит от способа восстановленияисходного сообщения на приемном конце. Восстановление непрерывной функции по еёвыборкам называется интерполяцией.

Рассмотримслучай, когда потребителю необходимо восстановить на приёмной стороне функцию/>. Реально привосстановлении функции /> может быть получена только еёоценка />.Для доказательства этого утверждения представим интерполяционную обработку вследующем виде:

/>/>, (4)

где/> -интерполирующая (восстанавливающая, синтезирующая) функция. Функция

/>, (5)

т.е./> естьфункция с началом отсчета в точкемер выборки первичного сигнала. Суммирование ввыражении (4) ведется по всем выборкам, участвующим в обработке. Определениевида функции /> составляет сущность задачи выбораспособа интерполяционной обработки.

Наточность функции восстановления функции /> влияют следующие факторы:

— шумыинтерполяции;

— шумырадиолинии;

— погрешностисистемы.

Вдальнейшем будем учитывать только ошибку за счет интерполяции. Т.е. выборкибудут считаться точными, а шумы отсутствующими. Тогда выражение для оценкипервичного сигнала будет иметь следующий вид:

/>. (6)

Ошибкаинтерполяционной обработки в этом случае равна:

/>. (7)

Приэтом оценка /> должнабыть получена на некотором интервале интерполяции /> с учетом выборок, расположенныхна конечном интервале обработки />. Интервал обработки /> долженпоследовательно перемещаться в пределах интервала наблюдения /> (рисунок 2).

/>

Рисунок2

Такимобразом, функция /> должна быть восстановлена длявсех значений времени, лежащих внутри интервала интерполяции />, путем использованиявыборок в моменты времени />./>Это возможно потому, чтосуществует корреляционная зависимость между значением первичного сигнала />, моментамивремени /> и />. Интерполяциябелого шума невозможна, т.к. его корреляционная функция есть дельта – функция.

Теоретическинеобходимо учитывать все отсчеты /> на интервале наблюдения />, т.е. полагать/> = />. Но при этомрезультаты интерполяции могут быть получены спустя время />, и для реализациитребуется устройство с большой памятью. С удалением точки опроса от интервалаинтерполяции /> уменьшаются корреляционные связии их учет дает малый вклад в ошибку интерполяции. Поэтому имеют смысл учитыватьтолько те отсчеты, выборки которых коррелированны с функцией /> на интервалеинтерполяции />, с коэффициентами корреляцииК(τ) = 0.05 – 0.2. Конкретные значения К(τ) определяются требованиямик точности интерполяции.

/>2.Физическая трактовка процессов интерполяции сигналов

Основноематематическое соотношение интерполяционной обработки:

/>, (8)

можнопроиллюстрировать следующим образом (рисунок 3).

Вкачестве интерполяционной функции в этом примере используется функция />. Интервалыинтерполяции/>и обработки /> должныпоследовательно сдвигаться по времени. Операцию интерполяции можно выполнить спомощью линейного фильтра с импульсной характеристикой вида:

/>. (9)

/>

Рисунок3

Длядоказательства этого утверждения обозначим сигнал на входе и выходе линейногофильтра через /> и />(рисунок 4):

/>

Рисунок4

Представимсигнал на входе линейного фильтра в виде последовательности кратковременныхимпульсов, площадь которых равна соответствующим выборкам

/>. (10)

Изсвойств линейных систем следует, что сигнал на выходе равен:

/> (11)

Выражение(11) получается с учетом фильтрующего свойства δ-функции. Если импульснаяхарактеристика линейного фильтра /> удовлетворяет выражению (9), то соотношение(11) переходит в формулу для интерполяционной обработки:

/>. (12)

Идеальноевосстановление функции на выходе линейного фильтра невозможно, т.к.:

— откликна выходе линейного фильтра не может появиться раньше соответствующей выборкина входе;

— числовыборок не равно бесконечности;

— АЧХфильтра отличается от идеальной.

/>3.Задачи идеальной интерполяции

Вобщем случае формула интерполяции имеет вид:

/>, (13)

/> — оценказначения i-ой выборки, />-восстановленный первичный сигнал,

/>.

Интерполяциявозможна в том случае, если в сигнале имеются корреляционные связи. Может бытьпоставлена задача оптимального выбора вида функции />, при которой ошибка интерполяцииминимальна.

Рассмотримзадачу идеальной интерполяции сигнала при предположении, что />, т.е. отсутствуютвнешние шумы и ошибки системы.

Пустьнепрерывный первичный сигнал описывается корреляционной

функцией/>.Требуется определить форму интерполирующей функции, обеспечивающей при заданныхзначениях коэффициента корреляции минимум СКО

/>. (14)

Можнопоказать, что в этом случае оптимальная интерполирующая функция имеет вид:

/>, (15)

где/> — весовыекоэффициенты, однозначно связанные со значениями коэффициентов корреляции вточках />, />.

Т.о.,оптимальная интерполирующая функция может быть определена как взвешенная суммафункций времени равных корреляционной функции первичного сигнала. Как следствиеэтой теории может бать доказана следующая теорема:

Еслина интервале интерполяции /> корреляционная функция />и ее взвешеннаясумма хорошо аппроксимируются полиномом, то использование этого приближенияобеспечит среднеквадратическое приближение близкое к идеальному. Т.е. требуетсяхорошая аппроксимация не всей корреляционной функции, а только ее части,приходящейся на интервал интерполяции (рисунок 5).

/>

Рисунок5

Чемменьше />,тем точнее возможна аппроксимация в виде многочлена и тем проще могут бытьаппроксимирующие полиномы. Проиллюстрируем эту теорему для сигнала спрямоугольным спектром (рисунок 6):

/>

Рисунок6

Известно,что в этом случае в соответствии с теоремой

В.А.Котельникова возможно разложение первичного сигнала в ряд:

/>, (16)

где/> — частотаопроса. В точках />/> интерполирующая функция равна:

/>. (17)

Сопоставимэтот результат с выражением для идеальной интерполирующей функции:

/>. (18)

Чтобыэти формулы совпали, необходимо чтобы при />, а в случае />/>/>, т. е. чтобы корреляционнаяфункция имела вид:

/>. (19)

Такойфункцией корреляции обладает сигнал с прямоугольным спектром, а условие /> при /> приводит ктребованию, чтобы частота опроса />.

Этосоотношение не может быть использовано на практике по следующим причинам:/>

1.  Сигналас идеальным прямоугольным спектром не существует.

2.  Числовыборок />.

Напрактике при представлении регулярными выборками частота опроса выбираетсяисходя из соотношения

/>æ/>, (20)

где/>определяетсяформой спектра сигнала, а æ – коэффициент запаса, зависящий от видаинтерполирующих полиномов и требуемых значений показателя верности.

/>4.Интерполяция алгебраическими полиномами

цифровой кодирование алгебраический полином

Какбыло показано выше, для первичных сигналов с разными корреляционными функцияминеобходимо использовать разные интерполирующие функции. Такой подход неприемлем для практики, т.к. требует выполнения большого объема предварительныхработ для определения вида интерполирующих функций. Для преодоления этихзатруднений возможны два пути:

1.  Использованиедля группы сигналов с близкими корреляционными функциями интерполирующейфункции одного вида.

2.  Применениев качестве интерполирующих функций хорошо программируемых функций с выборомчастоты опроса, обеспечивающих во всех случаях требуемую верность.

Второйпуть наиболее прост, но приводит к завышенным частотам опроса и, следовательно,к увеличению загрузки радиолинии. Наиболее рациональным являетсякомбинированное использование обоих путей.

Вомногих случаях в качестве интерполирующих путей используются алгебраическиеполиномы низких степеней, в частности полиномы Лагранжа. Интерполирующаяфункция по Лагранжу записывается в следующем виде:/>

/> (21)

где/> — символпроизведения, в котором отсутствуют сомножители при />. Нетрудно убедиться, что /> при /> и /> при />.

Приинтерполяции по Лагранжу требуется определенным образом выбрать интервалобработки />.

1)  Числоточек опроса n четное (рисунок 7).

/>

Рисунок7

2)  Числоточек опроса n нечетное (рисунок 8).

/>

Рисунок8

Запишеммомент времени, в котором ищется интерполяционная оценка в виде

/>, (22)

где/> — точкаотсчета, />-период опроса, /> — безразмерное время, котороеможет непрерывно изменяться в пределах

/>, при /> (23)

/>, при />, /> (24)

Напрактике интерполяция по Лагранжу используется при n= 1, 2, 3:

1.  Ступенчатаяинтерполяция (полиномы нулевой степени<sup/>) (рисунок 9).

Вэтом случае n = 1 и для интерполяциииспользуется лишь одна выборка

/>, />, /> и />.

/>

Рисунок9

2.  Линейнаяинтерполяция (полиномы первой степени) (рисунок 10).

Приэтом />, />, /> иинтерполирующие функции имеют вид

/>, />./>

/>

Рисунок10

/> /> />

3.  Квадратичнаяинтерполяция (квадратичная интерполяция) (рисунок 11).

Приэтом />, />, /> иинтерполирующие функции имеют вид

/>, />, />.

/>

Рисунок11

Можнопоказать, что верхние оценки относительных ошибок в этом случае равны

/>, />, />,

где/> -граничная частота спектра сигнала, /> — частота опроса.

При/> и /> частота опроса

/>, />, />.

Привосстановлении функции по отсчетам обычно получается плавная кривая, поэтому,можно для практических расчетов выбрать частоту опроса по формуле />.

/>5.Определение частоты опроса

Определимчастоту опроса первичного сигнала при среднем квадратическом приближении алгебраическимиполиномами. Используем показатель верности оценки /> в форме интегральной среднейквадратической ошибки

/>. (26)

Болееудобно использовать приведенный показатель верности:

/>. (27)

Применимэту формулу для определения частоты опроса четырех моделей первичного сигнала:

Модель1. Сигнал с ограниченным равномерным спектром (рисунок 12).

/>

Рисунок12

Применяякосинус преобразование Фурье от />, получим функцию корреляции этогосигнала:

/>. (28)

Модель2. Сигнал с треугольным спектром (рисунок 13).

/>, />.

/>

Рисунок13

Эффективнаяширина спектра в этом случае имеет вид

/>,

афункция корреляции равна

/>. (29)

Модель3. Сигнал марковского типа (рисунок 14).

Энергетическийспектр этого сигнала описывается соотношением

/>,

афункция корреляции равна

/>. ( 30)

/>

Рисунок14

Модель4. Сигнал с колокольным спектром (рисунок 15).

Энергетическийспектр этого сигнала описывается соотношением

/>,

где

/>,

афункция корреляции равна

/>. (31)

/>

Рисунок15

Этимодели охватывают значительную часть практически используемых сигналов иявляются стационарными случайными процессами. Применяя для этих моделейинтерполяцию по Лагранжу при /> получим следующие формулы(таблица 1) для расчета величины æ = />.

Вслучае модели 1 и идеальной интерполяции, т.е. при опросе по В.А. Котельникову,æ = 1. Формулы, приведенные в таблице используются для определениячастоты опроса /> = æ/>.

Таблица 1

Модель

æ = />/>

1 n = 1 n = 2 n = 3

/>

/>

/>

2

/>/>

/>

/>

3

/>

/>

/>

4

/>

/>

/>

Построимграфики зависимости æ от показателя верности /> для различных моделей сигналов(рисунки 16, 17).

/>

Рисунок16

/>/>

Рисунок17

Заключение

 

Длявсех моделей, за исключением третьей, интерполяция полиномами более высокогопорядка позволяет уменьшить частоту опроса при той же верности.

1.  Припереходе от линейной интерполяции к квадратичной, уменьшение частоты опроса /> не стользначительно, как при переходе от ступенчатой интерполяции к линейной.

2.  Увеличиватьстепень полинома целесообразно только при увеличении требований к точностиинтерполяции.

3.  Длятретьей модели переход от линейной модуляции к квадратичной нецелесообразен,что объясняется свойствами марковских сигналов.

4.  Приинтерполяции алгебраическими полиномами первичного сигнала коэффициенткорреляции между соседними выборками равен 0,85 – 0,995. Это приводит кнеэффективному использованию пропускной способности канала передачи информации.

5.  Дляопределения частоты опроса необходимо располагать:

— спектральнымихарактеристиками первичного сигнала, т.е. полосой /> по уровню 0,99 энергии сигнала;

— точностнымихарактеристиками, т.е. показателем верности />%;

— задатьалгоритм обработки, т.е. тип интерполирующего полинома.

 

Списоклитературы:

1.  Радиотехническиеметоды передачи информации: Учебное пособие для вузов / В.А. Борисов, В.В. Калмыков,Я.М. Ковальчук и др.; Под ред. В.В. Калмыкова. М.: Радио и связь. 1990. 304с.

2.  Системырадиосвязи: Учебник для вузов / Н.И. Калашников, Э.И. Крупицкий, И.Л. Дороднов,В.И. Носов; Под ред. Н.И. Калашникова. М.: Радио и связь. 1988. 352с.

3.  ТепляковИ.М., Рощин Б.В., Фомин А.И., Вейцель В.А. Радиосистемы передачи информации:Учебное пособие для вузов / М.: Радио и связь. 1982. 264с.

4.  КирилловС.Н., Стукалов Д.Н. Цифровые системы обработки речевых сигналов. Учебноепособие. Рязань. РГРТА, 1995. 80с.

5.  КирилловС.Н., Бакке А.В. Оптимизация сигналов в радиотехнических системах. Учебноепособие. Рязань. РГРТА, 1997. 80с.

6.  КирилловС.Н., Шелудяков А.С. Методы спектральной обработки речевых сигналов. Учебноепособие. Рязань. РГРТА, 1997. 80с.