Реферат: Чисельне розв’язання задач оптимального керування

ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧоптимального керування
1 Дискретизація задачі із закріпленим лівим і вільнимправим кінцем. Необхідні умови оптимальності

Розглянемо неперервну задачу оптимального керування

/>,(1)

/>,(2)

/>, />, />. (3)

Виконаємо дискретнуапроксимацію даної задачі. Для цього розіб’ємо відрізок /> точками />, /> і будемо обчислюватизначення цільового функціонала і закону руху тільки в точках розбиття: />, />, />. Закон руху вцьому випадку можна записати у вигляді:

/>.

Тепер дискретназадача оптимального керування, що апроксимує неперервнузадачу (1) – (3), матиме вигляд:

/>, />,       (4)

/> , (5)

/> (6)

/>, />. (7)

Для пошукуоптимального розв’язку отриманої дискретної задачі може бути застосований методмножників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд:

/>,

/>,(8)

де />.

Обмеження накерування введемо далі, під час реалізації чисельного методу. Відзначимо, щоперед першим доданком стоїть знак «–», оскільки /> і якщо не додавати «–», тохарактер екстремуму початкової функції зміниться.

Якщо /> – локально-оптимальнийпроцес для задачі (4) – (7), то існують такі нерівні одночасно нулю множникиЛагранжа />,/>, />, />, що матимутьмісце наступні умови:

1. /> або

/>,

/>,

/>.        (10)

2. /> або

/>,

/>. (11)

Із (9) одержимоітераційні співвідношення для спряжених змінних />, а з (10) – співвідношення для />:

/>

/>, (12)

/> .                                         (13)

Перепишемоспіввідношення (12) у вигляді:

/>.

Очевидно, що останнєспіввідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування.Дійсно,

/>.

Якщо />, то з останньогоспіввідношення одержимо

/>.

Зі співвідношення(13) випливає, що />.

Сформулюємо критерійоптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції />, /> неперервно-диференційованіза змінними /> іопуклі за />.Тоді для локально-оптимального процесу /> існують такі множники Лагранжа />, />, />, />, не всі рівнінулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:

1) умовистаціонарності в точці />:

/>;

2) />. (14)

Розпишемо (14),використовуючи вираз для функції Лагранжа:

/>

Перетворимо вираз підзнаком мінімуму, переходячи до довільного />:

/>

Або

/>

Якщо />, то з останньогоспіввідношення одержимо

/>

2 Ітераційний метод розв’язання дискретноїзадачі оптимального керування з двійним перерахуванням

Розглянемоітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методуполягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори: /> і />. Перший із них містить />-е наближеннядля керувань у моменти часу /> для системи (14), при />, а другий – />-е наближеннядля фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації миодержуємо процес />, що є />-м наближенням до шуканого оптимальногопроцесу.

Контроль уметоді подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатівзадачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. Увипадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.

Розглянемо алгоритмметоду.

1. Задаємо крокрозбиття /> таточність обчислень />.

2. Задаємо початковенаближення – припустимий набір керувань на кожному кроці – початкову стратегіюкерування:

/>, />, />,

де /> – наближення керуванняв момент /> наітерації />.

3. За визначеною в п.2 стратегією керування /> будуємо фазову траєкторію процесу

/>, />, />

на початкової ітерації/>,використовуючи початкові умови і різницеві співвідношення, що апроксимуютьрівняння руху:

/>

/>, />.

4. Визначаємопочаткове наближення /> відповідно до (5).

5. Знаходимоспряжені змінні за формулами (12) – (13).

Визначаємо наступнінаближення до оптимального керування />,

/>

в момент /> як розв’язкизадачі (15) або (16):

/>, />.

7. Обчислюємовідповідну стратегії /> траєкторію

/>

за формулами (4),(6):

/>, />, />.

8. Знаходимо наступненаближення цільового функціонала

/> за формулою (5).

9. Якщо />, то переходимодо п. 10, інакше вважаємо, що

/>, />, /> і переходимо до п. 13.

10. Перевіряємо, чивиконується задана точність обчислень. Якщо

/> і />,

то переходимо до п. 13,інакше – до п. 11.

11. Позначаємо

/>, />, />.

12. Виконуємонаступний крок ітераційного методу – п. 5.

13. Позначаємо

/>, />, /> – розв’язок, отриманийіз кроком розбиття />.

1 Якщо крок /> не ділився, топереходимо до п. 15, інакше – до п. 1

15. Ділимо крок

/>. Тоді /> і переходимо до п. 2при />.

1 Перевіряємо задануточність. Якщо

/> і />,

то переходимо до п. 18,інакше переходимо до п. 17.

17. Позначаємо

/>, />, />, />, і переходимо до п. 15– наступного кроку подвійного перерахування.

18. />, />, /> – розв’язок задачі.

Кінець алгоритму.

3. Оптимальне стохастичне керування: формулюванняіз зовнішнім інтегралом

Розглянемовідображення />, що задане формулою

/>,                       (17)

за таких припущень:

 параметр /> приймає значення звимірного простору />. Для будь-якої фіксованої пари /> заданаймовірнісна міра /> на просторі />, а символ /> у формулі (12)означає зовнішній інтеграл відносно цієї міри. Отже,

/>;

 функції /> і /> відображують множину /> відповідно вмножини /> і/>, тобто />, />;

 скаляр /> додатний.

Формули (1), (6) єокремими випадками відображення /> з (12). Очевидно, що відображення(1) для детермінованої задачі випливає з (12), якщо множина /> складається з єдиногоелемента, а відображення (6) (для стохастичної задачі зі зліченним просторомзбурень) відповідає випадку, коли множина /> зліченна, а /> є />-алгеброю, складеною ізвсіх підмножин />.

Очевидно, щовідображення /> з (12) задовольняє припущенню монотонності.Якщо на множини />, /> і функції />, /> і /> накласти вимоги вимірності,то витрати за /> кроків /> можна визначити в термінахзвичайного інтегрування для будь-якої стратегії />, для якої функції />, /> вимірні.

Для початкового стану/> істратегії /> ймовірнісніміри

/>, ..., />

у сукупності ізсистемою рівнянь

/>, />                           (18)

визначають єдину міру/> на />-кратномупрямому добутку /> копій простору />. У випадку, якщо />, />, і виконується одна з умов

/> або

/>,

то функція витрат за /> кроків, щовідповідає вимірній стратегії />, приводиться до звичайноговигляду
/>,

де стани />, /> виражено якфункції змінних />, ..., /> за допомогою рівнянь (13) тапочаткового стану />.

Рекурентнеспіввідношення методу динамічного програмування для розв’язання багатоетапнихзадач оптимального стохастичного керування зі скінченним горизонтом можназаписати так:

/>, />,

/>

де /> –щільність розподілу величини />.

4 Оптимальне стохастичне керування: мультиплікативний функціонал витрат

Розглянемо відображення />, що задане формулою

/>,                                     (19)

за припущення, щопараметр /> приймаєзначення зі зліченної множини /> відповідно до заданого розподілу ймовірностей,що залежать від стану /> і керування />. Вважатимемо також, що />, />, />, />. Тодівідображення /> з формули (14) задовольняєприпущенню монотонності.

Якщо />, />, то задача оптимальногокерування з мультиплікативним функціоналом витрат і скінченним горизонтом /> матиме такий вигляд:

/>,      (20)

/>.   (21)

а відповідна задача знескінченним горизонтом:

/>,        (22)

/>.                (23)

Границя в (23) існує,якщо />: /> або />.

Самостійний інтересстановить задача з експоненціальною функцією витрат

/>,

/>,

де />.

Для розв’язаннябагатоетапних задач оптимального стохастичного керування з мультиплікативнимфункціоналом витрат використовується таке рекурентне співвідношення алгоритмудинамічного програмування:

/>, />,

/>

де /> – щільність розподілувеличини />.

5. Мінімаксне керування

Розглянемо задачукерування системою, у якій некерованими впливами є стратегії супротивника (абоявища природи) />, />, що обираються залежно відпоточного стану /> і керування />. Вважатимемо, що припустимістратегії супротивника приймають значення із множини />, />. Будемо обчислювати стратегіюкерування />,орієнтуючись на найгіршу поведінку супротивника. Розглянемо відображення />, задане формулою

/>,

за таких припущень:

 параметр /> приймає значення здеякої множини />, а /> – непуста підмножина /> при будь-яких />, />;

 функції /> і /> відображують множину /> в множини /> та /> відповідно,тобто />, />;

 скаляр /> додатний.

За таких умовприпущення про монотонність для відображення /> має місце. Якщо при цьому />, /> і /> для всіх />, />, />, то відповідну/>-кроковузадачу мінімаксного керування можна сформулювати так:

/>, (17)

/>. (18)

Задача з нескінченнимгоризонтом формулюється аналогічно:

/>, (24)

/>.          (25)

Границя успіввідношенні (25) існує при виконанні будь-якої з умов:

·  />,/>, />, />;

·  />,/>, />, />;

·  />, />, />, />, /> і деякого />.

Для розв’язаннябагатокрокових мінімаксних задач оптимального стохастичного керуваннярекурентне співвідношення алгоритму динамічного програмування використовуєтьсяу такому вигляді:

/>, />,

/>,

/>.