Реферат: Экономико-математическая модель

Экономико-математическаямодель

Экономико-математическаямодель – это выраженная в формально-математических терминах экономическаяабстракция, логическая структура которой определяется как объективнымисвойствами предметами описания, так  и субъективным целевым факторомисследования, для которого это описание предпринимается.

Между моделью и еепрототипом не может существовать взаимооднозначного соответствия, так какмодель – это абстракция, связанная с обобщениями и потерей информации.Адекватность реальной действительности  — основное требование, предъявляемое кмодели.

Конструктивно каждаяматематическая модель представляет собой совокупность взаимосвязанныхматематических зависимостей, отражающих определенные группы реальныхэкономических зависимостей.

Классифицируютсяэкономико-математические модели по различным признакам, в том числе и поматематическому инструменту, применяемому при моделировании.

Наиболеераспространенными и эффективными математическими методами, которые нашли кактеоретическое, так и практическое приложение в экономических исследованиях,являются: дифференциальное исчисление, математическая статистика, линейнаяалгебра, математическое программирование и другие.

Порядокпостроения экономико-математической модели

 

Для построенияэкономико-математической модели определяется объект исследования: экономикагосударства в целом, отрасль, предприятие, цех и т.п.

Формулируется цельисследования.

В рассматриваемомэкономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы ивыделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов,влияющие на достижения поставленной цели.

Вводятся символическиеобозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется,какие из них будут рассматриваться как зависимые величины, а какие какнезависимые.

Формализуются взаимосвязимежду определенными параметрами модели, т.е. строится собственно экономико-математическаямодель.

Проводятся расчеты помодели и анализируются результаты полученных расчетов.

Если результатыоказываются неудовлетворительными с точки зрения неадекватности отображениямоделируемого процесса или явления, то происходит возврат к одному изпредшествующих пунктов и процесс повторяется. 

Примерэкономико-математической модели

Структуру  предприятияудобно описывать организационной моделью, которая демонстрирует составфункциональных подразделений предприятия и связи их подчинения ивзаимодействия.

При функциональнойорганизационной структуре предприятие подразделяется на элементы, каждый изкоторых имеет свои задачи и обязанности. Характеристики и особенности того илииного подразделения соответствуют наиболее важным направлениям деятельностипредприятия.

Функциональнаяорганизационная модель предприятия на примере  ОАО швейная фабрика «Березка»:

/>/>/>/>/>/>

Служба безопасности

 

Отдел кадров

 

Бухгалтерия

 

Отдел сбыта

 

Производство,

швейный цех

 

Руководство предприятия

  />                                                                                                                                                                  /> <td/>

Отдел конструкторов и дизайна

 

Такой вид организационноймодели, как правило, встречается в крупных организациях, когда необходимообеспечить слаженную  совместную работу большого числа функциональныхподразделений.

Объектом исследованиябудет являться швейная фабрика «Березка», целью исследования – оценка эффективностиработы выпуска продукции. Более подробно для разрешения поставленной цели будемрассматривать функциональный и структурный элемент объекта  — производство.

Наиболее существенные икачественные характеристики этого элемента представлены ниже в таблице 1 завременной период с мая 2005 по май 2006.

Для построенияэкономико-математической модели  применен метод математической статистики.

Расчеты по модели ианализ полученных результатов при использовании данного метода включает в себяэтапы:

1.Графическоепредставление характеристик.

2.Предварительныйстатистический анализ(анализ данных по выборкам).

3.Корреляционный анализданных.

4.Регрессионный анализданных.

сырье, м погонный

затраты на оплату труда,

тыс.руб.

материальные затраты, тыс.руб

амортизация, тыс.руб.

полная себестоимость, тыс.руб

май

230 18729 21516 4642 78164

июнь

303 7415 36225 1951 61068

июль

102 7340 12064 1697 30564

август

175 3156 18770 120 31750

сентябрь

155 31854 32548 5364 93611

октябрь

195 28224 23190 1693 77059

ноябрь

112 19939 17061 2018 53794

декабрь

185 26850 25530 2811 81330

январь

98 18589 21042 4061 57179

февраль

248 25728 35358 3718 89639

март

111 14607 22426 2537 51239

апрель

68 3920 13190 118 21689

май

28 2347 5094 104 10510

Исходныеданные ОАО швейная фабрика «Березка»

 

Таблица 1

Из исходных характеристикэкономического объекта являются  независимыми (Х1, Х2, Х3, Х4) или факторнымипризнаками: сырье, затраты на оплату труда, материальные затраты, амортизация,а зависимой или результативным признаком (У) – полная себестоимость.

1. Графический анализ

/>

 

 

Рисунок 1

2. Анализ данных повыборкам.

 

Предварительныйстатистический анализ представлен в таблице 2., в ходе которого по каждомупараметру рассчитывались следующие статистические показатели: среднее значениепоказателя, стандартная ошибка, медиана, мода, стандартное отклонение,дисперсия выборки, эксцесс, ассиметричность, минимум, максимум, интервал,сумма, коэффициент вариации. Брался уровень надежности 95%.

Таблица2 Результаты расчетов по этапу Статистический анализ:

СЫРЬЕ, М ПОГОННЫЙ 

ЗАТРАТЫ НА ОПЛАТУ ТРУДА, Т.РУБ. 

Среднее 154,6153846 Среднее 16053,69231 Стандартная ошибка 21,57531188 Стандартная ошибка 2876,404897 Медиана 155 Медиана 18589 Мода #Н/Д Мода #Н/Д Стандартное отклонение 77,79089328 Стандартное отклонение 10371,02535 Дисперсия выборки 6051,423077 Дисперсия выборки 107558166,7 Эксцесс -0,406977947 Эксцесс -1,508916139 Асимметричность 0,302343811 Асимметричность 0,016663109 Интервал 275 Интервал 29507 Минимум 28 Минимум 2347 Максимум 303 Максимум 31854 Сумма 2010 Сумма 208698 Уровень надежности 95,0% 47,00856628 Уровень надежности 95,0% 6267,147886 Коэффициент вариации V,% 50,31251804 Коэффициент вариации V,% 64,60211861

МАТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАТРАТЫ, Т.РУБ. 

АМОРТИЗАЦИЯ,

Т.РУБ. 

ПОЛНАЯ СЕБЕСТОИМОСТЬ, Т.РУБ. 

Среднее 21847,23077 Среднее 2371,846154 Среднее 56738,15385 Стандартная ошибка 2536,823476 Стандартная ошибка 477,0664476 Стандартная ошибка 7447,106319 Медиана 21516 Медиана 2018 Медиана 57179 Мода #Н/Д Мода #Н/Д Мода #Н/Д Стандартное отклонение 9146,647119 Стандартное отклонение 1720,087539 Стандартное отклонение 26850,92369 Дисперсия выборки 83661153,53 Дисперсия выборки 2958701,141 Дисперсия выборки 720972102,8 Эксцесс -0,31202086 Эксцесс -0,830489026 Эксцесс -1,088043769 Асимметричность 0,037275084 Асимметричность 0,204463241 Асимметричность -0,288180418 Интервал 31131 Интервал 5260 Интервал 83101 Минимум 5094 Минимум 104 Минимум 10510 Максимум 36225 Максимум 5364 Максимум 93611 Сумма 284014 Сумма 30834 Сумма 737596 Уровень надежности 95,0% 5527,26353 Уровень надежности 95,0% 1039,438496 Уровень надежности 95,0% 16225,85077 Коэффициент вариации V,% 41,86639129 Коэффициент вариации V,% 72,52104172 Коэффициент вариации V,% 47,32428157 /> /> /> /> /> /> /> /> />

Расчет производился воболочке «Excel», Сервис → Анализ данных →    Описательная статистика.

Выводы: стандартные отклонения выборокисходных данных по сравнению со значениями самих данных велики, т.е. разбросточек в выборках большой.

Отклонения максимальных иминимальных значений выборок от соответствующих медиан и среднего также велики.Это означает, что точки выборок расположены рассеяно.

Значения коэффициентавариации выборок позволяет судить об их неоднородности.

3. Корреляционныйанализ данных.

 

На этом этапе осуществляетсяпарное сравнение выборки результирующего показателя с выборками показателей,которые согласно теоретической модели рассматриваются как факторные, а такжепроверяется степень коррелируемости факторных показателей. Для этих целейстроят и анализируют матрицы парных линейных коэффициентов корреляции r,которые изменяются от  -1 до 1. Анализ применим лишь в случае линейной зависимостимежду признаками. Чем ближе значения коэффициента корреляции к -1 или к 1, темвыше степень коррелируемости соответствующих случайных величин. Однако, при r,близких к 1 или -1, регрессионные связи между соответствующими величинамиустанавливаться не могут, так как эта ситуация означает фактическифункциональную взаимосвязь показателей.

Значимость(существенность) линейного коэффициента корреляции проверяют на основеt-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза оравенстве коэффициента нулю, т.е. об отсутствии связи между х и у. Для этогоопределяется расчетное значение критерия:

                                />                         (1)

где  r – коэффициенткорреляции,

       n – числонаблюденеий,

       σr– среднее квадратическое отклонение кэффициента корреляции.

и сопоставляется с tтабличноес заданными параметрами (уровнем значимости α, принимается обычно за 0,05,и числом степеней свободы          υ = n – 2, где n – число наблюдений).

Если tрасчетное ›tтабличное, то нулевая гипотеза отвергается и линейный коэффициентсчитается значимым, а связь между х и у – существенной, если же неравенствообратное, то связь между х и у отсутствует.

Вообще говоря, отсутствиекорреляционной связи между факторным признаками и наличие тесной связи(значение парных коэффициентов корреляции  />)междурезультативным и факторными признаками – условие включения этих факторныхпризнаков в регрессионную модель.

Кроме того, припостроении модели регрессии необходимо учитывать проблему мультиколлениарности(тесной зависимости между факторными признаками), которая существенно искажаетрезультаты исследования.

Одним из индикаторовопределения наличия мультиколлинеарности между факторными признакамиявляется превышение величины парного коэффициента корреляции 0,8 (r ≤0,8).

 

сырье, м погонный

затраты на заработную плату, т.руб.

материальные затраты,

тыс.руб

амортизация,

тыс.руб.

полная себесто-

имость,

тыс.руб

сырье, м погонный

1

затраты на заработную плату, т.руб.

0,349630305 1

материальные затраты,

тыс.руб

0,830118488 0,587647564 1

амортизация,

тыс.руб.

0,377214053 0,759164207 0,612169366 1

полная себестоимость,

тыс.руб

0,678604269 0,909886866 0,825715323 0,8247215 1

Таблица 3

Для определения наличиямультиколлениарности и устранения мультиколлениарных признаков была построена ипроанализирована матрица парных коэффициентов корреляции, см. таблица 3.

Матрицапарных коэффициентов корреляции

Расчет производился в оболочке «Excel», Сервис → Анализ данных →   Корреляция.

Из таблицы 3 видно, чтомежду факторными признаками Сырье и Материальные затраты коэффициент корреляциибольше 0,8. Для устранения мультиколлинеарности необходимо исключить изкорреляционной модели один из этих признаков, расчеты приведены в таблицах 4 и5.

Матрица парных коэффициентов корреляции  для модели без«Материальных затрат»

 

 

сырье, м погонный

затраты на оплату труда,

тыс.руб.

амортизация,

тыс.руб.

полная себестоимость,

тыс.руб

сырье, м погонный

1

затраты на оплату труда, тыс.руб.

0,349630305 1

амортизация, тыс.руб.

0,377214053 0,759164207 1

полная себестоимость, тыс.руб

0,678604269 0,909886866 0,824721504 1

Таблица 4

 

Матрица парных коэффициентов корреляции для модели без «Сырья»

 

 

затраты на оплату труда,

тыс.руб.

материальные затраты,

тыс.руб

амортизация,

тыс.руб.

полная себестоимость,

тыс.руб

затраты на оплату труда, тыс.руб.

1

материальные затраты, тыс.руб

0,587647564 1

амортизация,

тыс.руб.

0,759164207 0,612169366 1

полная себестоимость,

тыс.руб

0,909886866 0,825715323 0,824721504 1

Таблица 5

Вобеих моделях теперь отсутствует проблема мультиколлениарности, т.к. все парныекоэффициенты между факторными признаками < 0,8.

Так как коэффициенткорреляции r между результативным и факторными признаками больше  > 0,3, товсе признаки дальше участвуют в анализе.

Какую из этих двух модельнеобходимо выбрать покажет дальнейший анализ.

Для определения признаковрассчитали tрасчетное и  взяли  tтабличное,<sub/>см.таблицы 6 и 7.

Матрицарасчетных значений t – критерия Стьюдента

для моделибез «Материальных затрат»

 

 

сырье, м погонный

затраты на оплату труда, тыс.руб.

амортизация, тыс.руб.

полная себестоимость, тыс.руб

сырье, м погонный

Затраты

 на оплату труда,

 тыс.руб.

1,237707018

амортизация,

 тыс.руб.

1,350871631 3,868284073

полная себестоимость, тыс.руб

3,064211348 7,274210595 4,836609752

tтабличное

2,200985159

Таблица 6

Матрицарасчетных значений t – критерия Стьюдента

для моделибез «Сырья»

 

 

затраты на оплату труда, тыс.руб.

материальные затраты, тыс.руб

амортизация, тыс.руб.

полная себестоимость

, тыс.руб

затраты на оплату труда тыс.руб.

материальные затраты, тыс.руб

2,408806699

амортизация,

тыс.руб.

3,868284073 2,567683844

полная себестоимость,

тыс.руб

7,274210595 4,854902951 4,836609752

tтабличное

2,200985159

Таблица 7

 

 Расчет производился воболочке «Excel» вручную по формуле (1), tтабличноерассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из той же формулы.

Выводы: в  результате сравнения tрасчетноеи  tтабличное выяснилось, что с вероятностью 0,95 можноутверждать, что связь между результативным и факторными признаками являетсясущественной (tрасчетное › tтабличное), неслучайной. Какуюиз этих двух модель лучше выбрать покажет дальнейший анализ.

4. Регрессионныйанализ данных.

 

На этом этапе, используяметод наименьших квадратов, строится многофакторная регрессионнаязависимость(уравнение регрессии) результирующего показателя от оставшейся послепредшествующих шагов анализа факторных показателей.

Линейная модель, содержащая независимые переменные только в первой степени, имеет вид:

/>                   (2)

где  а0–свободный член,

        а1…аn – параметры уравнения (коэффициентырегрессии),

         х1….хn – значения факторных признаков.

Параметры уравнениярегрессии рассчитываются методом наименьших квадратов, при этом решаетсясистема нормальных уравнений с к+1 неизвестными.

Для измерения степенисовокупности влияния отобранных факторов на результативный признак рассчитываютсовокупный коэффициент детерминации R2 и совокупный коэффициентмножественной корреляции R – общие показатели тесноты связи признаков. Пределыизменения: 0 ≤ R ≥ 1. Чем ближе R к 1, тем точнее уравнениемножественной линейной регрессии отражает реальную связь.

Проверка значимостимоделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверкизначимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессииосуществляется с помощью  t – критерия Стьюдента ( отношение коэффициентарегрессии к его средней ошибке):

                   />                                   (3)

Коэффициент регрессиисчитается статистически значимым, если tрасчетное › tтабличноес заданными параметрами (уровнем значимости α, = 0,05, и числом степенейсвободы  υ = n — к -1, где n – число наблюдений, к – число факторныхпризнаков).

Проверка адекватностимодели осуществляется с помощью F – критерия Фишера и величины средней ошибкиаппроксимации, которая не должна превышать 12 – 15% .  Если величина Fрасчетное> Fтабличное, то связь признается существенной. Fтабличноенаходиться при заданном уровне значимости α = 0,05 и числе степенейсвободы v1 =k и v2 = n-k-1.         (4)     

Модель безучета «Материальных затрат»

 

В таблице 8 сгенерированырезультаты по регрессионной статистике.

Регрессионная статистика

Множественный R 0,997434896 R-квадрат 0,994876372 Нормированный R-квадрат 0,993168496 Стандартная ошибка 2219,306976 Наблюдения 13

Таблица 8

Эти результаты соответствуютследующим статистическим показателям:

Множественный R –коэффициент корреляции R,

              R-квадрат –коэффициент детерминации R2;

F табличное

3,862548358

 В таблице 9сгенерированы результаты дисперсионного анализа, которые используются дляпроверки значимости коэффициента детерминации R2.

Таблица 9

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия 3 8607337323 2869112441 582,5226438 1,2734E-10 Остаток 9 44327911,1 4925323,455 Итого 12 8651665234

Df – число степенейсвободы, SS – сумма квадратов отклонений,

MS — дисперсия MS, F –расчетное значение F-критерия Фишера,

 Значимость F – значениеуровня значимости, соответствующее вычисленному F;

 

Коэффи

циенты

Стандарт

ная

 ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние 95%

Верхние 95%

полная

 себесто-

имость,

тыс.руб

2857,593011 1130,014906 2,528810014 0,094646561 603,5411613 6318,727183

сырье,

м погонный

132,3000047 8,941959918 14,79541464 1,27093E-07 112,071886 152,5281233

затраты

 на оплату

 труда,

тыс.руб.

1,586039072 0,095432478 16,61948958 4,61669E-08 1,370155809 1,801922334

амортизация,

тыс.руб.

3,357368468 0,582082818 5,76785358 0,000270158 2,040605653 4,674131282

 В таблице 10сгенерированы значения коэффициентов регрессии и их

статистические оценки.

t табличное

2,306004133

 Таблица 10

Коэффициенты – значениякоэффициентов регрессии,

Стандартная ошибка –стандартные ошибки коэффициентов регрессии,

t – статистика –расчетные значения t – критерия Стьюдента, вычисляемые по формуле 2,

Р-значения – значенияуровней значимости, соответствующие вычисленным значениям t,

Нижние 95%  и Верхние 95%- соответствующие границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

В таблице 11сгенерированы предсказанные значения результирующего фактора Y и значенияостатков. Последние вычисляются как разность между предсказанным и исходнымзначениям Y.

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1 78576,42428 -412,4242814 2 61255,20002 -187,2000206 3 33691,17456 -3127,174561 4 31418,51735 331,4826465 5 91894,70678 1716,293221 6 79104,48549 -2045,485491 7 56074,39615 -2280,396148 8 79355,80571 1974,194293 9 58940,14712 -1761,147116 10 88956,30336 682,6966372 11 49227,81005 2011,189951 12 18467,43597 3221,564032 13 10633,59316 -123,5931632

                              Таблица 11

Расчет производился воболочке «Excel», Сервис → Анализ данных → Регрессия.

 tтабличноерассчитывалось с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР исходя из формулы (3).

Fтабличное рассчитывалосьс помощью функции FРАСПОБР исходя из формулы (4).

Модель безучета «Сырья»

 

Регрессионная статистика

Множественный R 0,983232832 R-квадрат 0,966746802 Нормированный R-квадрат 0,955662403 Стандартная ошибка 5653,863353 Наблюдения 13

                                         Таблица 12

 

df

SS

MS

F

Значимость F

Регрессия 3 8363969696 2787989899 87,21688674 5,68904E-07 Остаток 9 287695537,3 31966170,81 Итого 12 8651665234

Таблица 13

 

Коэффи

циенты

Станда

ртная

 ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние

 95%

Верхние 95%

полная

 себесто

имость,

тыс.руб

1992,888488 4236,311712 0,470430087 0,649239402 -7590,314376 11576,09135

затраты

на оплату

труда, тыс.руб.

1,430363491 0,248983274 5,744817576 0,000278107 0,867124195 1,993602788

матери

альные

 затраты,

тыс.руб

1,187585684 0,232389908 5,11031521 0,000636233 0,661883189 1,713288179

аморти

зация,

тыс.руб.

2,461032929 1,536123969 1,602105675 0,143596048 -1,013920904 5,935986761

t табличное

2,306004133

Таблица 14

 

Наблюдение

Предсказанное Y

Остатки

1 65758,37475 12405,62525 2 60420,80042 647,1995839 3 30995,16308 -431,1630845 4 29093,4229 2656,577097 5 99410,20661 -5799,206609 6 74070,10843 2988,891574 7 55740,66995 -1946,669945 8 77635,1743 3694,825697 9 63565,34811 -6386,348112 10 89934,05543 -295,0554319 11 55762,64509 -4523,645092 12 23554,57043 -1865,57043 13 11655,4605 -1145,460501

                         Таблица 15

Все пояснения к таблицам, а также способ расчета, указаны в модели без учета «Материальных затрат» .

Перейдем к анализусгенерированных таблиц обеих моделей.

Значение множественногокоэффициента регрессии R в модели без учета «Материальных затрат» равно 0, 997,а в модели без учета «Сырья»  равно  0,983. Это позволяет сделать вывод, что первая модель точнее отражает реальную связь.

 При оценке значимостикоэффициентов регрессии с помощью сравнения расчетного и табличного значений t– критерия Стьюдента стало очевидно, что следует выбрать  модель«Материальных затрат». В данной модели  tрасчетное  найденныхкоэффициентов  превышает  tтабличное (см. таблицу 10) t – критерияСтьюдента, что позволяет сделать вывод, что коэффициенты регрессии в уравненииявляются значимыми.

 Тогда как в модели безучета «Сырья» два коэффициента регрессии ниже tтабличное ( см.таблицу 14), что говорит об отсутствии  их значимости.

Проверку адекватностимодели осуществляем уже только  с моделью без учета «Материальных затрат».

Значение средней ошибкиаппроксимации не превышает 12-15 %, что хорошо видно на рисунке 2, так какразница между предсказанным и исходным результирующим фактором  Y оченьнебольшая.

Рассчитанный уровеньзначимости (см. таблицу 9) равен 1,2734E-10 < 0,05, это подтверждаетзначимость R2. Значение  Fрасчетное – критерия Фишерабольше Fтабличное, значит связь между признаками признаетсясущественной.

/>

Рисунок 2

Таким образом, получаемискомое уравнение регрессии:

/>

Выводы: Выполнив данную работу по этапам,была построена экономико-математическая модель методом математическойстатистики на примере ОАО швейной фабрики «Березка». Модель имеет вид:

/>.

Выбранные факторы Х1, Х2и Х3 существенно влияют на У, что подтверждает правильность ихвключения в построенную модель.

Так как коэффициентдетерминации R2  значим,то это свидетельствует о существенности связи между рассматриваемымипризнаками.

Отсюда следует, чтопостроенная модель эффективна.