Реферат: Численные методы расчетов в Exel

Федеральноеагентство по образованию

Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Северо-Западныйгосударственный заочный

техническийуниверситет

Институтуправления производственными и

инновационнымипрограммами

Кафедра информатики

Контрольная работа по дисциплине

«Математика.Часть 2.»

Тема: “Численные методы и расчеты в EXCEL.”

Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ ипрогнозирование в EXCEL.

Задача 2. Решениесистем уравнений в EXCEL.

Задача 3. Комплексные числа.

Выполнила студентка: Шестакова МарияДмитриевна

ИУПиИП

Курс: II

Специальность: 80502.65

Шифр: 578030493

Преподаватель: Ходоровская ВалентинаСергеевна

Подпись преподавателя:

Санкт-Петербург

2007

Тема .

Численные методы и расчеты в EXCEL.

Задача 1.

Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.

Анализ и прогнозирование в EXCEL.

I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона.

II.Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках

x1 ; x2 ; x3 ; x4 :

1) при помощи полиномаНьютона для реализации ее в EXCEL ;

2) при помощи функций,осуществляющих прогноз вычислений

(ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами:

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

0.860

0.819

0.779

0.741

0.705

0.670

0.638

0.606

0.577

0.549

Значения

x1 = 0.149

x2 = 0.240

x3 = 0.430

x4 = 0.560

Основные понятия.

Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучениережимов экстраполяции данных в EXCEL.

Задачаинтерполяциисводится к требованию точного совпадения в узловых

точкахфункции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующейзависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится кпостроению интерполяционных многочленов (полиномов).

Поопределению интерполяция — это отыскание промежуточных значенийвеличины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяцияпроисходит от латинского “interpolation”, что в переводезначит “изменение, переделка”.

Экстраполяция — это процедура аналогичная интерполяции, но приусловии, что x лежит вне интервала (x0, xn). Происходит от “экстра…” илатинского “polio”, что значит “приглаживаю, изменяю”.

Аппроксимация — это замена одних математических объектов (например, чисел или

функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими кисходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского“approximo”, что значит “приближаюсь”.

Графическизадача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующуюфункцию, которая бы проходила через все узлы интерполяции.Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x)используются многочлены Pn (x). Задачасостоит в том, чтобы подобрать многочлен Pn (x), обеспечивающийтребуемую интерполяцию е.

Наиболееуспешно для интерполяции используется полином Ньютона,для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящимиузлами используются конечные разности.

Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” — часть сложных слов,указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо(от греческого “polys” – многий, многочисленный, обширный) илатинского “nomen”, т.е. имя.

Конечнойразностью первогопорядка называется разность:

Дyi = yi + 1 - yi , i = 0,1,…, n –1

Аналогично определяются конечные разности второгои более высоких порядков.

Интерполяционный полином Ньютона.

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:

Pn(x) = y0 + (x-x0) · Дy0 /1!h + (x-x0)(x-x1)· ДІy0/2!hІ+....+ (x-x)(x-x1)…..(x-xn-1) · Дny/ n!hn

Решение.

Выполнениезадания I.

Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютонадля экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечныеразности указаны в “Приложение 2”. Из таблицы видно, чтозначения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастаютравномерно с шагом h = 0,05. Степень полиномаопределяется числом (порядком) конечных разностей ( вданном случае их девять ).

Pn(x) = P9(x)= y0 + (x-x0) Дy0 / 1!h + (x-x0) (x-x1)ДІy0 /2!h2+..

..+ (x-x0)(x-x1) (x-x2)(x-x3) (x-x4) (x-x5) (x-x6) (x-x7)(x-x8) (x-x9) Д9y0 / 9!h9 =

0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x-0,20) · 0,001 / 2! · 0,052 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3! · 0,053 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) · (-0,001) /4! · 0,054 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) · 0 / 5! · 0,055 +

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40)· 0,004 / 6! · 0,056+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40)(x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05+

(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x-0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8! · 0,058 +

(x— 0,15) (x— 0,20) (x— 0,25) (x— 0,30) (x— 0,35) (x— 0,40) (x— 0,45) (x— 0,50) (x— 0,55) · (-0,119) / 9! · 0,059.

Выполнениезадания II.

1)Составление программы для вычисления значений функции взаданных точках при помощи полинома Ньютона.

Шагпервый:

Подготовкаисходных данных электронной таблицы в EXCEL:

а) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:N4).

б) Введем номера по порядку в ячейки A5: A14.

в) Введем исходные данные в ячейки B5: C14.

Такимобразом подготовлена таблица для выполнения работы.

Шагвторой:

Вводформул:

а) Ввод формул для вычисления конечных разностейпервого порядка:

а.1)в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy0 = y1– y0, которая примет вид: =C6–C5;

a.2) копируем эту формулу в ячейки D6: D13. В результате в ячейке D6

получаем формулу =C7-C6 (т.е.Дy1 =y2 - y1= 0,779 – 0,819 = -0,040), в ячейке D7

получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy2 = y3 – y2= 0,741 – 0,779= -0,038) и т.д. до ячейки D13, где

получаем формулу

=C14-C13(т.е. Дy8 = y9 – y8 = 0,549 – 0,577=-0,028)

б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка:

б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула

=D6-D5(т.е. ДІy0 = Дy1 - Дy0= -0,040 — (-0,041) = 0,001). Копируем эту формулу в ячейки E6: E12.

Вячейке E12 получаем формулу =D13 — D1 (т.е. ДІy7 = Дy8 - Дy7= — 0,028 — ( -0,029) = 0,001).

в) Ввод формул для вычисления конечныхразностей вплоть до девятого порядка:

длявычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все

остальныебудут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, изF5 в G5 и т.д.

Отображениев режиме формул см. в “Приложении 1”.

Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2”.

Шаг третий:

Вводформул:

а) Ввод формул для вычисления промежуточныхкоэффициентов:

а.1) длявычисления первого промежуточного коэффициента (x-x0/1!h)в ячейку M5 введем формулу

=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2. В ячейке N2 находится текущее значение x. Прикопировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используемабсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции, адресэтой ячейки тоже абсолютный (значок $).

а.2) длявычисления второго промежуточного коэффициента

(x-x0) (x- x1)/2!hІ= (x-x0)/1·h · (x-x1)/ 2·h = a · b,

где a коэффициент в ячейке M5, a = (x-x0)/1h,

bкоэффициент, на которыйнужно умножить M5, b = (x-x1) / 2h,

вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 – B6) / (A6 + 1) / $F$2.

а.3) после ввода данных в M5 и M6, длявычисления остальных промежуточных коэффициентов

копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:

=M6*($N$2– B7) / (A7 + 1) / $F$2, в ячейке M8 мы увидим формулу: =M7*($N$2 – B8) / (A8 + 1)/ $F$2 и

т.д.

Шаг четвертый:

Ввод формул:

а) Ввод формул для вычисления полиномаНьютона:

а.1) для вычисления первого полинома Ньютона, который равен (x-x0)· Дy0/ 1!h = (x-x0) / 1h ·Дy0, содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка. Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5.Знак $ перед номером строки необходим, т.к. в полиноме Ньютонанаходятся только конечные разности с индексом ноль, т.е. все конечныеразности берутся только из строки с номером 5;

а.2) для ввода остальныхчленов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящихячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5, в N7 формулу =M7*F$5, в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. доячейки N13.

Шаг пятый:

Вводформул:

а) Ввод формул длявычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:

а.1) объединимячейки A16: M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий

«Суммакоэффициентов полинома”;

а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13). Теперь в N16 будет сумма всехчленов полинома Ньютона, кроме y0. При x =0,149 в ячейке N16 получается число 0,001.

Шагшестой:

Вводформул:

а) Ввод формул для вычисления значенияполинома:

а.1) объединимячейки A18: M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий »Значение полинома";

а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5. В ячейке N18 появится число 0,861, которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149

Шагседьмой:

Вычислениесумм коэффициентов полинома изначений полинома

при x= 0,240; x = 0,430; x = 0,560.

а) в ячейку N2 вводим 0,240. Результат:

вячейке N16 — (-0,073); в ячейке N18 — (0.787);

б) в ячейку N2 вводим 0,430. Результат:

вячейке N16 — (-0,209); в ячейке N18— (0,651);

в) в ячейку N2 вводим 0.560. Результат:

вячейке N16 — (-0,287); в ячейке N18 — (0,573).

Шаг восьмой:

Дляудобства полученные данные занесем в нашу таблицу.

Таблицыприлагаются. Режим формул — “Приложение 1”. Режим значений — “Приложение 2.

2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точкахпри помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).

Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функцииаппроксимации кривой.

Табличныйпроцессор EXCEL предоставляет возможность аппроксимации сиспользованием“функций аппроксимации кривой”

Пустьв узлах x0, x1, …, xn известны значения f(x0), f(x1), … ,f(xn).Необходимо осуществить экстраполяцию (прогнозирование), т.е.вычислить значения f(xn+1), f(xn+2),… .

Вкатегории Статистические функции EXCEL для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ, осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов

x(x0, x1, …, xn) и y (y0,y1, …, yn) методом наименьших квадратов.

Функция ТЕНДЕНЦИЯ имеет структуру:

ТЕНДЕНЦИЯ (y массив, x массив, x список)

yмассив, xмассив — даны изусловия.

xсписок — это те значения x, для которых требуется сосчитать значения функции f(x).

Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ имеет структуру:

ПРЕДСКАЗАНИЕ( x; y массив; x массив)

Послеаппроксимации эта функция возвращает только одно прогнозируемоезначение y (для одного из заданных значений аргументов.

Работа с функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

Шаг первый:

Создадимэлектронную таблицу в EXCEL, используя исходные данные.

Шаг второй:

Длятого, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим этиячейки.

Шаг третий:

Далеенеобходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций.

Шагчетвертый:

а) В первом окне выберем категорию Статистические, функцию ТЕНДЕНЦИЯ,

затем щелкнем по OK.

б)В окне “Известные значения y” введем адрес блока ячеек C3:L3.

в)В окне “Известные значения x” введемадрес блока ячеек C2:L2.

г) В окне “Новые значенияx” укажем адрес блокаячеек C5:F5.

Шаг пятый:

Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.

Врежиме формул: в ячейке C6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)

вячейке D6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)

вячейке E6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)

вячейке F6 — =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)

Врежиме значений: в ячейке C6 — 0,8610

в ячейке D6 — 0,7951

в ячейке E6 — 0,6576

в ячейке F6 — 0,5635

Таблицы прилагаются.

Режим формул — “Приложение3”. Режим значений “Приложение 4”.

Работас функцией ПРЕДСКАЗАНИЕ.

Шаг первый:

Создадим электронную таблицу в EXCEL, используя исходные данные.

Шаг второй:

Дляразмещения результата активизируем ячейку С6.

Шаг третий:

а)При помощи Мастера функций вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,

категория Статистические.

б) В окне “x” укажем адресячейки C6.

в) В окне “Известные значения y” укажем адрес блока ячеек C3:L3.

г) В окне “Известныезначения x” укажем адрес блока ячеек C2:L2.

Шаг четвертый:

Дляподтверждения этой функции щелкнем по OK. В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то жесамое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.

Врезультате мы увидим:

В режиме формул:

вячейке C6 — =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)

вячейке D6 — =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)

вячейке E6 — =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)

вячейке F6 — =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)

В режиме значений: в ячейке C6 — 0,8506

в ячейке D6 — 0,7877

в ячейке E6 — 0,6564

в ячейке F6 — 0,5665

Таблицыприлагаются. Режим формул — “Приложение 5”. Режимзначений — “Приложение 6”.

Итоговая сравнительная таблица.

Длясравнения значений функции в точках:

x 1 =0,149;

x 2=0,240;

x 3=0,430;

x 4 =0,560;

полученных при помощи трех разных способов:

1 полиномаНьютона,

2 функции ТЕНДЕНЦИЯ,

3 функцииПРЕДСКАЗАНИЕ;

создадимсравнительную таблицу,

Значение полинома

Ньютона

Прогнозирование значения функции при помощи функций:

ТЕНДЕНЦИЯ

ПРЕДСКАЗАНИЕ

0,149

0,861

0,86*

0,861

0,86*

0,8506

0,85*

0,240

0,787

0,79*

0,795

0,80*

0,7877

0,79*

0,430

0,651

0,65*

0,658

0,66*

0,6564

0,66*

0,560

0,573

0,57*

0,564

0,56*

0,5665

0,57*

/> /> /> /> /> /> /> /> />

*Результаты вычислений округлены додвух знаков после запятой.

Вывод:значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами.Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительнуютаблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако вцелом, отклонения в значениях в пределах 0,01, что вполне допустимо для нашихданных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определеннойточке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широкимспектром узлов.

Задача 2.

Решение систем уравнений в EXCEL.

Решитьзаданную систему уравнений:

1) методом обратной матрицы;

2) методом простых итераций.

0,1 x1 + 4,6 x2 + 7,8 x3= 9,8

2,8 x1 + 6,1 x2 + 2,8 x3= 6,7

4,5 x1 + 5,7 x2 + 1,2 x3= 5,8

Цельработы:научиться решать в EXCELсистемы конечныхуравнений методом обратной матрицы и простых итераций.

Основные понятия.

Уравнение — это математическая запись задачи о разысканиизначений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, откоторых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, прикоторых значения функций равны, называются решениями (корнями).

Матрица — это прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется квадратной.

Детерминант (определитель) — это число detA, которое можно сопоставитьквадратной матрице А.

Минором некоторого элемента аij определителя n-го порядканазывается определитель n первого порядка, полученный из исходного путемвычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранныйэлемент.

Алгебраическим дополнением элемента аij определителяназывается его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, исо знаком “-“, если эта сумма нечетная.

Итерация — это повторное применение каких-либо математическихопераций. Происходитот латинского “iteratio” , что в переводе значит “повторение”.

Решение.

1).Математический расчетрешения системы уравненийметодом обратной матрицы.

Данасистема трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

а). Рассмотрим матрицы:

— матрицасистемы (составлена из коэффициентов при неизвестных):

0,1 4,6 7,8

А = 2,8 6,1 2,8

4,5 5,7 1,2

— матрицанеизвестных:

X = x2

—матрица свободных членов:

9,8

B = 6,7

5,8

б). Найдем детерминант (определитель)матрицы А.

По определению: det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 ,

где a11, a12, a13 — элементыпервой строки матрицы A,

A11, A12, A13 — их алгебраическиедополнения.

- если detA = 0, то обратной матрицы не существует;

- если detA ≠ 0, то обратная матрица существует.

Длятого, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраическиедополнения.

Поопределению: Aik = (-1)i+k · Mik ,

где i - номер строки матрицы,

k - номер столбца матрицы,

M - минор.

- если сумма i+k четная, то Aik = 1 · Mik

A11= 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = — 8,64

A12= 2,8 ·1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24

A13= 2,8 · 5,7 — 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49

Теперьмы можем сосчитать детерминант.

detA= 0,1 · (-8,64)+ 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = — 47,982

detA ≠ 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.

в). Найдем обратнуюматрицу А-1.

По определению:

A11 A21 A31

A-1 = A12 A22 A32 · 1/ detA ,

A13 A23 A33

где А11, …, А33 - алгебраическиедополнения матрицы А.

Длянахождения обратной матрицы А-1, сначала сосчитаемвсе алгебраические дополнения матрицы А:

A21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94

5,7 1,2

A22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = — 34,98

4,5 1,2

A23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13

4,5 5,7

A31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = — 34,7

6,1 2,8

A32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 — 21,84 = + 21,56

2,8 2,8

A33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = — 12,24

2,8 6,1

Теперьмы можем сосчитать обратную матрицу А-1, подставив вформулу полученные данные:

1/detA = 1 / — 47,982 = — 0,0208411

— 8,64 38,94 — 34,7 0,1800675 — 0,8115543 0,72318786 A-1 = — 0,0208411 · 9,24 — 34,98 21,56 = — 0,1925722 0,7290234 0,44933516

— 11,49 20,13 — 12,27 0,2394647 — 0,4195323 0,25572089

Чтобыузнать правильно ли мы нашли обратную матрицу, необходимо сделатьпроверку. Если выполняется равенство:

A-1· A = E, где E - единичная матрица, то обратная матрицанайдена верно.

0,1800675 — 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8

A-1· A = - 0,1925722 0,7290234 — 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8

0,2394647 — 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2

Произведемпромежуточные вычисления:

С11= 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1

C12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) ·6,1 + 0,7231879 · 5,7 =

C13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) ·2,8 + 0,7231879 · 1,2 =

C21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 ·2,8 + (-0,4493352) · 4,5 =

C22= (-0,1925722) ·4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1

C23= (-0,1925722) ·7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 =

C31= 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 =

C32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) ·6,1 + 0,2557209 · 5,7 =

С33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) ·2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1

1 0 0

A-1· A = 0 1 0 = E

0 0 1

Обратнуюматрицу нашли верно.

г). Найдем матрицуX (матрицу неизвестных).

Поопределению: X = A-1 · B ,

где B— исходная матрица B (матрица свободных членов).

0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737

X = -0,1925722 0,7290234 — 0,4493352 · 6,7 = 0,391105

0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069

МатрицуX нашли,соответственно корни уравнений:

x1 = 0,521737

x2 = 0,391105

x3 = 1,019069

д).Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:

0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 +7,9487382 = 9,7999949 = 9,8

2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 +2,8533932 = 6,6999742 = 6,7

4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 +1,2229152 = 5,8000252 = 5,8

Системауравнений методом обратнойматрицы решена верно.

1.1).Составлениепрограммы для решения системы уравнений методом обратной матрицыв EXCEL.

Шаг первый:

Длярешения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходнымиданными:

а). Введем текстовыеи числовые константы (ячейки A1:E10).

Шаг второй:

Необходимообратить матрицу А. Применяемая для обращения матрицыфункция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целыйстолбец ячеек.

а).Выделим ячейки А11: С13, куда будет помещена обратнаяматрица.

б). При помощи Мастера функцийвызовем функцию МОБР, категория Математические.

в). В окне “Массив” укажемадрес массива исходной матрицы A6:C8.

г). Для того, чтобы вставить формулу вовсе выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

Вячейках A11:C13 появится:

— врежиме формул — =МОБР(А6:C8);

— врежиме значений — массив обратной матрицы.

Шаг третий:

Дляумножения обратной матрицы на столбец свободных членов:

а). Выделим ячейки E11:E13.

б). При помощи Мастера функцийвыберем функцию МУМНОЖ, категория Математические.

в). В окно “Массив 1” введемадрес массива обратной матрицы A11:C13.

г). В окно “Массив 2”введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.

д). Для вставки Формулы во всевыделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.

Вячейках E11:E13 появится:

— врежиме формул — =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8) ;

— врежиме значений — компоненты векторов решения x1, x2, x3 .

Таблицыприлагаются. Режим формул — “Приложение 7”. Режим значений — “Приложение 8”.

1.2).Проверка — сравнение результатов, полученных разными способами.

Длянаглядности создадим сравнительную таблицу:

Математический расчет методом обратной матрицы

Обращение матрицы в EXCEL

0,521737

0,521737318

0,391105

0,391104998

1,019069

1,019069651

1.3).Вывод.

Сначалапредложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы. Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решитьсистему уравнений путем обращения матрицы.

Длянаглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.

Изтаблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения взначениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми длянашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполненииматематических расчетов значения округлялись.

Такимобразом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются болееточные.

2)Решение заданнойсистемы уравнений методом простых итераций.

Длятого, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простыхитераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x1 , x2 , x3 былимаксимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимостиитерационного процесса.

Заданнаянам система имеет вид:

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

a) Достаточно хорошо видно, что дляпреобразования нам достаточно только поменять местами первое и третьеуравнения. Получится система вида:

4,5x1 + 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

0,1x1 + 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

б) Для решения системыуравнений методом простых итераций необходимо представить полученную системууравнений в итерационной форме, записав каждое из трех уравненийв виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеетнаибольший по модулю коэффициент.

4,5x1+ 5,7x2 + 1,2x3 = 5,8

x1 = - 5,7x2 /4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

2,8x1 + 6,1x2 + 2,8x3 = 6,7

x2 = - 2,8x1/ 6,1 - 2,8x3/ 6,1 + 6,7 / 6,1

0,1x1+ 4,6x2 + 7,8x3 = 9,8

x3 = - 0,1x1/7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

В итерационнойформе получили систему:

x1 = - 5,7x2/ 4,5 - 1,2x3/ 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1/ 6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1 /7,8 - 4,6x2 / 7,8 + 9,8 / 9,7

в) Проверка выполнения первогоусловия сходимости метода для данной системы.

Прииспользовании итерационного метода решения необходимо обязательнопроверить два условия сходимости метода для данной системы. Первоеусловие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x1, x2 , x3 в полученной системе являются максимальными по модулю).

г) Проверка выполнения второгоусловия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).

Теперьнеобходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ║C║),т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы,которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесссходится только в том случае, если норма матрицы [ С ] меньшеединицы, т.е.

║C║=√Σaaj2 <1

Витерационной форме имеем систему:

x1 = - 5,7x2/4,5 - 1,2x3 / 4,5 + 5,8 / 4,5

x2 = - 2,8x1 /6,1 - 2,8x3 / 6,1 + 6,7 / 6,1

x3 = - 0,1x1/ 7,8 - 4,6x2/ 7,8 + 9,8 / 7,8

или

x1 = 0 - 5,7x2/ 4,5 - 1,2x3/ 4,5 + 1,288889

x2 = 2,8x1/ 7,8 - 0 - 2,8x3 / 6,1 + 1,0983607

x3 = 0,1x1/ 7,8 - 4,6x2 / 7,8 - 0 + 1,2564103

Проверкавыполнения второго условия “НОРМА” :

0 — 5,7 / 4,5 — 1,2 / 4,5

[C]= — 2,8 / 6,1 0 — 2,8 / 6,1

- 0,1 / 7,8 — 4,6 / 7,8 0

║C║= √ У aij2 < 1

║C║= √ (-5,7 / 4,5)2 + (-1,2 / 4,5)2 + (-2,8 / 6,1 )2+ (-2,8 / 6,1)2 + (-0,1 / 7,8)2 + (-4,6 / 7,8)2

║C║=√ (-1,2666667)2 +(-0,2666667)2 +(-0,4590164)2+(-0,4590164)2 +(-0,0128205)2 +(-0,5897436)2

║C║=√ (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) +(0,3477975)

║C║=√ 2,4449144

║C║= 1,5636222 > 1

Такимобразом, условие “НОРМА” не выполнено.

Вывод: так каквторое условиесходимости итерационного процесса не выполнено, то решение даннойсистемы уравнений не может быть получено методом простых итераций.

Задача 3.

Комплексные числа.

Даныдва комплексных числа, записанные в показательной форме.

z1= 3e -(р/4) i

z2= е (р/4) i

1).Записать эти числа в тригонометрической форме;

2).Найти сумму z1 + z2 и произведение z1 · z2 , переведя их в алгебраическуюформу записи;

3).Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты.

Основные понятия.

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy , где

“x” и “y” — действительные числа,

“i” — символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i2 = -1.

Операнд — величина, представляющая собой объект операции, реализуемойЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.

Решение.

1). Тригонометрическая формазаписи.

Положениеточки z на комплексной плоскости однозначно определяется нетолько декартовыми координатами x , y , но иполярными координатами r, ц. Воспользовавшисьсвязью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записикомплексного числа

z = r cos ц+ i r sin ц= r ( cos ц + i sin ц ),

где cos ц + sin ц = eiц=> ц = р/4

Приэтом r называют модулем, а ц - аргументомкомплексного числа.

1.1) z1 = 3 · (cos р/4 isin р/4) = 3√2/2 i 3√2/2

1.2) z2 = r · eiц = r (cos р/4 + i sin р/4) = √2/2 + i √2/2

2). Алгебраическая форма записи:

2.1) Сумма.

Если z1 = x1 + iy1 , а z2= x2 + iy2 , то

z1 + z2= (x1 + iy1) + (x2 + iy2) =(x1 +x2) + i (y1 + y2)

z1 + z2 = (3√2/2 +√2/2) + i (3√2/2 + √2/2) = 4√2/2 i2√2/2= = 2√2 — i√2

2.2) Произведение.

Если z1 = x1 + iy1 , а z2 =x2 + iy2 , то