Реферат: Управление сложными системами

Лекция №1. 11.02.2003

Раздел 1. Основные понятия теории сложности

1.1. Сложность

Сложность — свойство современных систем управления.

Различают следующиепонятия сложности:

1) Математическое

2) Информационное

3) Структурное

4) Обобщенное

5) Алгоритмическое

6) и др.

Математическое понятие относится к теории конечныхавтоматов. 50-е гг XX века. Основнаяхарактеристика сложности системы — число элементарных блоков, образующихсистему.

Информационное понятие введено Колмогоровым иотносится к теории информации. Сложность здесь связана со случайностью.Основная характеристика сложности системы — спектр частот. Вроде бы такогопонятия достаточно для оценок свойств системы, но все же есть недостаток: не учитываютсякомбинации подсистем в системе.

В структурномпонятии учитываются взаимосвязи между подсистемами в системе. Систему формируюттаким образом, чтобы она обладала определенными статическими и динамическимихарактеристиками. Основная характеристика сложности системы — статические(установившееся состояние системы) и динамические (переходные режимы системы)свойства системы.

При реализации системы стремятся использовать наиболеепростые технические средства. Таким образом, косвенно учитываются требованиянадежности и стоимости. Учет надежности и экономичности на этапе проектированияделает эту задачу более корректной. Кроме того, любая задача должна бытьматематически корректной (математическая корректность — сходимость алгоритмовуправления). Неустойчивость алгоритмов обусловлена 1) неточностью исходныхданных, 2) неточностью их реализации в компьютере на этапе проектирования или вВК (вычислительном Комплексе) при работе с системой.

В обобщенномпонятии основная характеристика сложности системы — шкала сложности. Основныепризнаки построения шкалы сложности:

— порядокдифференциального оператора

— спектр частот

— основныехарактеристики ВК

— надёжность

— стоимость

— алгоритмическаясложность

— и др.

1.2 Иерархия

Когда проблемой являетсяопределение свойств системы по характеристикам отдельных подсистем,используется иерархический подход, позволяющий решить эту проблему.

Основные признакииерархии:

1. Сложныеиерархические структуры являются многоуровневыми, на определенных уровняхкоторых принимаются решения;

2. Общая(глобальная) и местная (локальная) цели функционирования должныкоординироваться;

3. Между уровнямисистемы происходит обмен информацией, при этом приоритетом обладает информация,поступающая с верхнего уровня. Для нижнего уровня она является командной и подлежитвыполнению, если это возможно;

4. Процесс обменаинформацией снизу вверх в структуре замедляется.

1.3 Типовая структура сложной системы

Обобщенную структурусложной системы можно представить в виде треугольной структуры (смотри рисунок№1).

Уровни: О, 1, 2, 3, 4.

О — объект управления,который тоже является сложным, например, состоящим из восьми подсистем О.1 –О.8.

На рисунке №1:

Х1 – Х8— регулируемые переменные.

r1 – r8— регулирующеевоздействие.

И — информация. У —уставка, управления.

1 — уровень локальногорегулирования.

Используются аналоговыеили цифровые (например, микропроцессорные системы из следующего семестра)Системы Автоматического Регулирования (САР), которые осуществляютнепосредственное регулирование объектами О.1 – О.8.

2 — уровень локальнойоптимизации.

Рисунок №2

Здесь оптимизаторыСистемы Автоматического Управления (в них уставка вырабатывается ВК) илиАвтоматизированные Системы Управления (в них уставка определяется человекомсовместно с ВК, который нужен для усиления интеллекта человека) осуществляютоптимальное управление локальными регуляторами первого уровня в соответствии счастными критериями.

3 — уровень координации.

Здесь реализуется второйпризнак иерархии.

4 — уровень оперативногоуправления

ЛПР — лицо, принимающеерешение.

Общая цель работы системытрансформируется в конкретные уставки нижним уровням, распределяются ресурсы,принимаются решения в нештатных ситуациях и др.

Основой для решенияявляются мощные ВК и «быстрые» математические модели.

1.4 Эквивалентнаяструктура сложной системы (Даймонд–структура)

Структуру треугольноготипа можно представить в виде структуры ромбовидного типа (смотри рисунок №2).

В данной структуреразделены информационная и управляющая (уровни принятия решения) функции.

1. Такоепреобразование обеспечивает наглядность, так как разделены информационная иуправляющая функции.

2. Возможностьвыполнять вертикальный разрез системы и проводить анализ и синтез динамическихструктур САУ или АСУ.

3. Выполнятьгоризонтальное сечение и решать задачи статического расчета на заданном уровне(информационном или управляющем).

4. Формализоватьпроцессы информационные и управляющие, что облегчает работу математическоймодели системы.

На рисунке №2:

~ ~

1.1 – 1.8 — датчики (измерительные устройствалокальных регуляторов).

~ ~ ~ ~ ~

2.1 – 2.4; 3.1 – 3.2; 4.1 — информационные системысоответствующих уровней.

/\ /\

1.1 – 1.8 — собственно локальные регуляторы САР бездатчиков.

/\ /\ /\ /\ /\

2.1 – 2.4; 3.1 – 3.2; 4.1 — соответствующие подсистемыбез информационных подсистем.

АСУ — характерный пример сложной системы (СС). Вчастности АСУТП.

Раздел 2. АСУТП.

АСУТП — человеко-машинная система, обеспечивающая сбори обработку информации для оптимизации управления технологическим (техническим)процессом (объектом) в соответствии с принятым критерием.

Лекция №2. 12.02.2003

2.1Фнукции АСУТП

1) Информационные (обеспечивают сбор, обработку ипредставление информации персоналу);

2) Управляющие (на основе полученной информациивыработка оптимальных управляющих воздействий и их реализация);

3) Вспомогательные (внутрисистемные задачи пофункционированию технических и программных средств).

2.2 Структура АСУТП

Структуру системы образуют:

1. Оперативный персонал.

2. Техническое обеспечение.

3. Информационное обеспечение.

4. Организационное обеспечение.

5. Математическое обеспечение.

6. Программное обеспечение.

7. Лингвистическое обеспечение.

8. и др.

1) Оперативный персонал — группа операторов(диспетчеров), которые осуществляют контроль и управление объектом (илипроцессом), а также эксплуатационный персонал, обеспечивающий работупрограммных и технических средств.

2) Техническое обеспечение — комплекс техническихсредств АСУТП, в том числе и ВК.

3) Информационное обеспечение — совокупность реализованныхрешений по объемам, размещению и формам организации информации, циркулирующей всистеме. Оно определяет формы и способы представления информации по состояниюсистемы (в виде баз данных, файлов ВК, других документов и сигналов дляпредставления персоналу).

4) Организационное обеспечение — совокупностьдокументов, регламентирующих деятельность персонала в АСУТП.

5) Математическое обеспечение — совокупностьматематических методов, моделей и алгоритмов, используемых при проектировании иработе системы.

На этапе анализа информации и принятия решениянеобходимо формулировать задачи управления математически. Для этого необходимы:

— Математическая Модель (ММ);

— Критерий управления;

— Учет ограничений.

ММ —совокупность математических отношений, описывающих поведение объекта и условияего работы.

Для составления ММ необходимо знать физическую природуявления, структуру и особенности объекта. Любая ММ неадекватна и трудоёмка.

Неадекватность (приближенность):

— неточность основных законов;

— определяется техническим средством— ВК.

При “закладке” ММ в компьютер приходится прибегать купрощениям. Разработка ММ может занимать до 60 – 80 % общего временипроектирования системы.

Алгоритм —инструкция решения данной задачи, выраженная на языке математических формул илогических условий.

Алгоритм управления — инструкция для получения целесообразных управляющих воздействий, вкоторой говорится о том, как надо обрабатывать информацию об объекте.

6) Программное обеспечение делится на общее(сопровождают данные ВК) и специальное (разрабатывается для конкретной системыи для реализации основных функций этой системы).

7) Лингвистическое обеспечение — совокупность языковыхсредств формализации естественного языка обеспечения персонала ВК.

Основное требование: язык должен быть лаконичен,быстро и однозначно воспринимаем.

2.3 Типовая функциональная схема и примеры АСУТП

Множество АСУТП можно классифицировать по различнымпризнакам, в том числе по роли человека–оператора и ВК. Распределение функциймежду ними осуществляется на этапе предварительного проектирования. Болеесовершенна та система, где максимум функций выполняет ВК.

1 — Человек оператор

2 — ВК

3 — Объект управления

4 — Система отображения информации

5 — Пульт или пост управления

6 — Устройство логического управления

7 — Локальные регуляторы

8 — Исполнительные устройства

9 — Измерительные устройства

10 — АСУТП более высокого уровня

11 — Система сигнализации

12 — Система аварийной защиты

13, 14 — Функциональные связи

2.3.1 АСУТП с информационным типом функционирования

В данном случае нет связей 13 и 14.

ВК, получая информацию, обрабатывает её и с помощьюСОИ (Систем Отображения Информации) представляет человеку–оператору. Операторанализирует информацию и принимает решение, воздействует на объект при помощитехнических средств №№ 5, 6, 7, 8.

ВК выполняет следующие функции:

1. Сбор информации для уточнения ММ.

2. Рассчитывание технических итехнико-экономических показателей.

3. Контроль работы системы.

4. Связь с АСУТП более высокогоуровня.

Следовательно, система существенно зависит отчеловека–оператора.

2.3.2 АСУТП с функционированием в режиме “советчика”

В данном случае нет связей 13 и 14.

ВК рассчитывает возможные варианты решения (уставки),которые предлагаются оператору. Оператор анализирует их и выбирает болеерациональную уставку.

В такой системе влияние оказывает субъективный факторчеловека–оператора.

2.3.3 АСУТП с супервизорным управлением

В данном случае используется функциональная связь 13,а 14 отсутствует.

ВК рассчитывает уставки локальным регулятором (7).Человек–оператор, находясь вне основного контура, контролирует работу системы ивмешивается в процесс по мере необходимости.

2.3.4 АСУТП с непосредственным цифровым управлением

В данном случае используется функциональная связь 14,а 13 отсутствует.

ВК рассчитывает не уставки, а необходимые управляющиевоздействия на объект, которые реализуются исполнительными устройствами (8).При этом локальные регуляторы, выносящиеся за пределы контура, являютсядополнительными.

2.35 Комбинированные АСУТП

Пример — смотри ДЗ.

Раздел 3. Локальные оптимизаторы и регуляторы

3.1 Обобщенная структура локального оптимизатора САУ.Проблемы управления

1 — управляемая система; 2 — управляющая система.

Пусть известны:

1. Цель управления (Е) в видепоказателя — функционала. /> (1)

2. Математическая модель в видесистемы дифференциальных уравнений /> (2)

3. Ограничения: /> (3)

Изменение векторов состояния />, управления /> ограничено замкнутымиобластями А и В, которые в свою очередь являются составляющими соответственнопространств состояний Х и управления Y.

Тогда: Проблема управления состоит вопределении такого вектора управления />,который обеспечивал бы экстремум функционала (1) при известных ММ (2) иограничениях (3).

/> — многомерные векторные функции соответствия

/> — состояния; /> — управления; /> — наблюдения; /> — возмущения.

То есть />, — переменныесостояния.

/> — наблюдаемые переменные, то есть переменные состояния, информация обизменении которых поступает в управляющую систему.

Лекция №3. 18.02.2003

/> — управляющие воздействия (уставки).

/> — возмущающие воздействия.

3.2 Обобщенная структура локального регулятора САР.Проблемы управления.

1 — объект регулирования;

2 — регулятор (контроллер);

3 — устройство сравнения.

/> — вектор регулирования;

/> — регулирующее воздействие.

/> — вектор ошибки.

В данном случае:

1. /> —известен.

2. />

3. Показатель точности />

Тогда: Проблема регулирования состоит вопределении такого вектора регулирования />(алгоритма), который обеспечивал бы минимум nчастных показателей эффективности />,каждый из которых зависит от одной из составляющих вектора ошибки, приизменяющихся связях (2) и ограничениях (3).

Задача регулирования — это частный случай проблемыуправления, а локальный регулятор является объектом локального оптимизатора(смотри Рисунки №№1, 2).

3.2.1 Типовая функциональная схема локальногорегулятора. Состав элементов

/> — источники энергии.

1 — преобразующее устройство;

2 — последовательное корректирующее устройство (аналоговоеили цифровое (микропроцессор)) (придаёт системе требуемые свойства);

3 — усилительное устройство;

4 — исполнительное устройство;

5 — параллельное корректирующее устройство (включаетсявстречно-параллельно и охватывает звенья подсистемы с наиболее неблагоприятнымисвойствами);

6 — объект регулирования;

7 — элемент (устройство) главной обратной связи;

8 — местная обратная связь;

9 — главная обратная связь.

Локальные регуляторы содержат в своей структуреизмерительные, усилительные, исполнительные и корректирующие устройства. Примерсистемы: смотри ДЗ.

Следовательно, САР — замкнутая динамическаясистема использования получающихся сигналов для управления источниками энергии,стремящаяся сохранить в допустимых пределах ошибки между требуемыми и действительнымизначениями регулируемых переменных путем их сравнения.

3.2.2 Основные типы локальных регуляторов

Множество локальных регуляторов можно упорядочить поразличным признакам:

Во-первых, взависимости от характера информации, используемой в регуляторе:

1.) С регулированием по разомкнутому циклу (повозмущениям).

Проблема состояла в определении регулирующеговоздействия.

Здесь регулятор настраивается в зависимости отосновного возмущения />.

“+”: высокое быстродействие, так как регуляторнастраивается сразу по возмущению, а не так, как в случае регулирования позамкнутому циклу.

“–”: трудность программирования регулятора навозможные возмущения, следовательно, невысокая точность.

2.) С регулированием по замкнутому циклу (поотклонениям).

“+”: в независимости от причин появления ошибки />, система работает попринципу её (ошибки) компенсации.

“–”: быстродействие ниже, чем в случае срегулированием по разомкнутому циклу.

3.) С регулированием по комбинированию.

Объединение случаев регулирования по разомкнутомуциклу и по замкнутому циклу.

Во-вторых, взависимости от уставки />:

1.) Системы стабилизации />.

2.) Программные системы />, причём /> — известно.

3.) Следящие системы />,причём /> — заранее неизвестнаяфункция.

В-третьих, взависимости от размерности n вектора состояния />:

1.) Одномерные n =1.

2.) Двумерные n = 2.

3.) Многомерные n =3.

В-четвёртых,в зависимости от количества контуров в системе:

1.) Одноконтурные (используется толькоглавная обратная связь, нет местных связей).

2.) Двухконтурные (используются однаглавная и одна местная обратные связи).

3.) Многоконтурные (используются однаглавная и много местных обратных связей).

В-пятых, взависимости от установившегося значения ошибки:

1.) Статические />.

2.) Астатические />.

Систему называют астатической по управляющему(или возмущающему) воздействию, если при подаче на вход постоянногоуправляющего (или возмущающего) воздействия ошибка в установившемся состоянии независит от величины этого воздействия и равна нулю.

Сравнить рисунки 24 и 26 методических указаний.

В-шестых, взависимости от характеров сигналов, циркулирующих в системе:

1.) Непрерывные.

2.) Импульсные.

3.) Релейные.

4.) Релейно-импульсные(кодово-импульсные).

5.) На переменном токе (сгармонической модуляцией).

1.) В непрерывных системах сигналы могут быть описанынепрерывными во времени функциями.

3.2.2.1 Импульсные системы

Эти системы содержат импульсные устройства (2),осуществляющие квантование сигналов по времени (АИМ).

Типовая структура импульсных систем:

1 — непрерывная часть системы.

Импульсное устройство (ключ), замыкаясь в дискретныеравноотстоящие моменты времени (t = i∙T, i= 0, 1, 2, …, где i — период повторения, а T — периоддискретности), преобразует непрерывный входной сигнал /> в дискретный />.

Реальный ключ (2) удобно условно представить вследующем виде:

3 — идеальный ключ; 4 — формирователь.

Лекция №4. 19.02.2003

Идеальный ключ (3) преобразует непрерывный сигнал /> (рисунок а)) впоследовательность идеальных импульсов типа δ-функций (рисунок б)), далееэта последовательность поступает на формирователь (4).

Формирователь (4) преобразует эту последовательность вреальные импульсы определённой формы, длительности (γT,0<γ≤1) и амплитуды (рисунок в)).

При запоминании на интервале дискретности T приγ = 1 формирователь (4) называют Экстраполятором Нулевого Порядка(Э0П).

Математическая модель Э0П непрерывна и может бытьотнесена к непрерывной части системы. В результате типовая структура импульснойсистемы примет вид:

Рисунок № !

5 — приведенная непрерывная часть;

6 — импульсный фильтр

3.2.2.2 Релейные системы

Релейные системы содержат в своей структуре устройства(реле), осуществляющие квантование сигнала по уровню. В результате, на выходереле сигнал будет непрерывным, но ступенчатым

3.2.2.3 Релейно-импульсные системы

В них происходит квантование сигналов по времени и поуровню.

К этому типу относятся цифровые системы управления, вчастности АСУТП с используемым ВК.

При большом количестве разрядов АЦП и ЦАП квантованиемможно пренебречь, и отнести такие системы к импульсным.

3.2.2.4 Системы на переменном токе

В них содержится модулятор, осуществляющий один извидов гармонической модуляции (всего их три: АМ, ЧМ, ФМ).

В-седьмых, взависимости от вида используемой энергии:

1.) Механические.

2.) Электрические.

3.) Пневматические.

4.) На горячем газе.

5.) Гидравлические.

6.) Комбинированные.

В-восьмых, взависимости от степени идеализации математической модели:

Смотри Раздел №4.

В-девятых, ит.д.

3.3 Требования, предъявляемые к системам

Помимо подхода, рассмотренного выше, припроектировании систем управления можно использовать ряд требований, которыеопределяют допустимые условия работы, а именно:

1.) к устойчивости;

2.) к качеству регулирования;

3.) к динамической точности;

4.) к управляемости;

5.) к наблюдаемости;

6.) к условиям эксплуатации;

7.) к стоимости;

8.) к др.

3.3.1 Устойчивость

В системах управления часть энергии с выхода системыподаётся на вход (обратная связь), энергия не может изменяться мгновенно, крометого существуют запаздывания, а системы по своей природе являютсяколебательными. Поэтому, при определённых условиях система вместо подавленияколебаний может стать их генератором, то есть неустойчивой.

3.3.2 Качество регулирования

Устойчивость определяет свободное движение системы,когда внешнее воздействие отсутствует. Важно определить поведение системы приналичии таковых. Поэтому анализируют качество регулирования при наиболеенеблагоприятных или типовых воздействиях:

3.3.2.1 Единичное ступенчатое воздействие

1.) Несмещенное />,т.е. />.

2.) Смещенное />,т.е. />.

Ступенчатое воздействие может быть и неединичным: />, />

Переходная функцияh(t) — реакция системы на единичное ступенчатоевоздействие.

3.3.2.2 δ-функция. Импульсное воздействие

1.) Несмёщенная δ-функция />.

Свойства несмещённой δ-функции:

1. />. 2. />.

3. Если /> непрерывнаяограниченная функция, то />.

4. />.

2.) Смещённая δ-функция />.

Свойства смешённой δ-функции:

1. />. 2. />.

3. Если /> непрерывнаяограниченная функция, то />.

4. Пусть /> непрерывноевоздействие произвольного вида, например:

Следовательно, />.

Импульсная переходная функция k(t) или функция веса (весомости) — реакция системына δ-функцию.

3.3.2.3 Гармоническое воздействие

а) />.

б) />.

Такое воздействие позволяет:

1) При анализе вынужденного установившегося движенияопределить частотные характеристики системы.

2) Определив реакцию системы на гармоническоевоздействие б) и разложив периодическое воздействие /> вряд Фурье, с учётом принципа суперпозиций можно определить реакцию системы наэто воздействие (/>).

3.3.2.4 Типовое воздействие “постоянная скорость”

/>, />.

3.3.2.5 Типовое воздействие “постоянное ускорение”

/>, />.

3.3.3 Динамическая точность

Реальные системы работают в условиях, когдавоздействия могут быть случайными; при этом отсутствует установившеесясостояние в системе, и важно оценить поведение системы в переходном режиме.

Тогда в качестве основной характеристики рассматриваютдинамическую точность. Мерой динамической точности часто служит среднеезначение квадрата ошибки />(илидисперсия ошибки).

3.3.4 Управляемость систем

Понятие управляемости означает, можно ли, вообще,управлять системой. Иногда это можно установить по структуре системы:

Пример № 1.

Система неуправляема, так как управление /> не управляет второйподсистемой.

3.3.5 Наблюдаемость

С качественной точки зрения под наблюдаемостью системыпонимают способность состояния системы создавать выходной сигнал.

Пример № 2.

Система не наблюдаема, так как измеряется />, а /> не измеряется.

Пример № 3.

1 подсистема — управляема и наблюдаема.

2 подсистема — управляема и не наблюдаема.

3 подсистема — не управляема и наблюдаема.

4 подсистема — не управляема и не наблюдаема.

Лекция №5. 25.02.2003

Раздел 4. Математические модели систем управления

4.1. Основные виды математических моделей

Математические модели могут быть:

1.) Линейными;

2.) Нелинейными

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Непрерывной (системадифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений);

2.) Дискретной (система разностныхуравнений);

3.) Дискретно-непрерывной (сочетаниенепрерывной и дискретной систем).

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Стационарной;

2.) Нестационарной.

Математическая модель нестационарна, если хотябы один из параметров системы изменяется с течением времени.

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) С сосредоточенными параметрами;

2.) С сосредоточенными ираспределёнными параметрами.

1.) Физические параметры системы (например, масса,скорость, потенциал и др.) обычно сосредоточены в точке (так можно считать),коэффициенты дифференциальных уравнений зависят от этих параметров. Врезультате, математическая модель будет, например, системой дифференциальныхуравнений в полных производных (/>).

2.) Если система содержит одну из подсистем (например,канал связи, трубопровод), параметры которой распределены в пространстве, томатематическая модель такой системы будет содержать, например, систему дифференциальныхуравнений в частных производных (/>).

В свою очередь каждая из них может быть:

1.) Детерминированной;

2.) Стохастической или со случайнымипараметрами (если хотя бы один из параметров или воздействий является случайнойфункцией или величиной).

и др.

4.1.1 Математические модели в области вещественнойпеременной (временной области)

4.1.1.1 Дискретные математические модели

4.1.1.1.1 Решетчатые функции

Решетчатая функция (РФ) — функция, существующая в дискретны равноотстоящиедруг от друга значения независимой переменной и равная нулю между этимизначениями аргумента.

Пример такой функции:

смотри рисунок б) лекции №3.

/> /> — РФ, />

/> />

Функции f(t) соответствует функция />, /> (/>)

Одной и той же РФ соответствует множество огибающихнепрерывных функций (смотри рисунок выше):

/>/> — огибающие функции.

Если ввести безразмерное время />, то /> будет соответствовать РФ />. />

Решетчатую функцию характеризуют её разности и суммы

Разность может быть прямой (/>) и обратной (/>).

/>/>

/>.

Аналогом интеграла непрерывной функции для РФ являютсяеё суммы:

1) Полная />;

2) Неполная/>.

4.1.1.1.2 Разностные уравнения.

Связь между решетчатой функцией и её разностямиустанавливают разностные уравнения, например:

Линейное разностное уравнение

/>/>(I΄)

Или через дискреты РФ:

/>(I)

Уравнение (I) — это алгоритм решенияразностного уравнения при известных начальных условиях, воздействиях yи f и дискретах искомой РФ x впредшествующие моменты времени.

Коэффициенты уравнения (I) однозначновычисляются из уравнения (I’).

4.1.1.2 Непрерывные математические модели

Математическая модель системы может быть получена наоснове математических моделей подсистем, образующих данную систему.

4.1.1.2.1 Математическая модель системы

Рассмотрим в качестве примера непрерывную стационарнуюодномерную детерминированную систему с сосредоточенными параметрами

Всего три подсистемы: объект />, регулятор /> и элемент сравнения />.

Объект — динамическая система, дифференциальныеуравнения которой могут быть записаны следующим образом:

Х — любаялинейная или нелинейная функция.

Составим уравнение регулятора:

Регулятор — также динамическая система, при этом сучётом направленности действия уравнение регулятора не будет содержать х:

Примечание.Направленность действия означает то, что объект не оказывает обратного влиянияна регулятор, а только через элемент сравнения и главную обратную связь

Составим уравнение элемента сравнения:

Система уравнений />, />, /> — это математическая модельрассматриваемой системы.

В общем случае это система нелинейных дифференциальныхуравнений.

4.1.1.2.2 Линеаризация математической модели

Если нелинейности системы несущественны, то имипренебрегают, и считают модель линейной с какой-то степенью приближения.

Линейные модели используют обычно на этапепредварительного проектирования, они удобны для исследования.

Применяя соответствующий метод линеаризации, можноперейти от линейной модели к линеаризованной.

Рассмотрим один из этих методов:

он опирается на гипотезу малости отклонений“Δ”-вариаций переменных х(t), y(t), r(t), f(t), /> от ихзначений, от их заданных или фиксированных значений “0” х0(t), y(t), r(t), f(t), />,например, в установившемся состоянии.

Рассмотрим уравнение объекта />:

Полагая /> и />, решения уравнения /> можно найти ввиде />, а уравнения /> в виде />, тогда:

Лекция №6. 26.02.2003

Если X непрерывная и однозначнаяфункция, то её можно разложить в ряд Тейлора в окрестности некоторых точек х0, r0 , f:

/>.

Пренебрегая членами ряда порядка выше первого (из-заих малости), с учётом частного случая (в установившемся состоянии послепереходного режима при />, />) после преобразований воператорной форме это уравнение (/>) можно записать в следующем виде:

Здесь />, а DO, MO, NO —полиномы от оператора р такие, что:

/>;

/>, где:

/>;

/>.

Аналогично могут быть получены линеаризованныеуравнения регулятора и устройства сравнения:

Исключая из системы уравнений />, />, /> переменные />, />и опуская индекс вариацииΔ, линеаризованная математическая модель системы примет вид:

/> (II΄)

где:

/>;

/>,

где a– an, b– bn, c– cn однозначно определяются коэффициентами α, βи γ системы.

Тот же вид, но в развёрнутой форме:

/>(II)

4.1.2 Математические модели систем управления вкомплексной области

4.1.2.1 Преобразование Фурье

Абсолютно интегрируемые непрерывные функции f(t), т.е.функции, удовлетворяющие условию /> (1),можно представить в виде интеграла Фурье:

/>(2)

/>(3)

Это преобразование Фурье или комплексный спектрфункции оригинала f(t).

Существуют функции, для которых не выполняетсянеравенство (1), например: [1(t)], e-αt, eαt, sinαt при α>0, tn при n=1, 2, 3, … и др. Для них используют преобразование Лапласа,являющееся обобщением преобразования Фурье.

4.1.2.2 Преобразование Лапласа непрерывных функций

Рассмотрим f1(t)=f(t)e-ct, c=const такая, что:

/> (4)

При этом для существования этого интеграла от функции f(t)пришлось потребовать выполнения условия f(t)=0 />t<0.

c>c(c— абсцисса абсолютнойсходимости).

Для [1(t)] с0=0

Для e-αt с0=α

Для eαt с0=-α

Дляsinαtс0=0

Тогда получим />(5)

Это интеграл Лапласа или формула обращения впреобразовании Лапласа.

/>(6)

f(t)/>F(s)

4.1.2.3 Нули и полюсы изображения F(s)

F(s) — дробнорациональная функция. />

Корни полиномов R(s) и Q(s) определяют свойстваизображения или свойства этой функции.

4.1.2.3.1 Нули изображения F(s)

Представим F(s) в следующем виде:

/>, а />, значит F(s) имеет нолькратности m в точке />.

4.1.2.3.2 Полюса изображения F(s)

Полюса изображения F(s) — это корни полиномазнаменателя Q(s).

/>, где />,

а />, т.е.изображение F(s) содержит полюс кратности n при />.

На комплексной плоскости s нулиобозначают “0”, а полюса “Х”.

4.1.2.4 Дискретное преобразование Лапласа

Данное преобразование применяется для решетчатыхфункций.

/>(7)

/>(7΄)

4.1.2.5 Z-преобразование

Введём новую комплексную переменную z=est, тогда (7) можно представить в следующем виде:

/>≜/>(8)!!!!

s=c+j∞

Выбрав c>cряд (8) будет сходиться, и решетчатой функции будетсоответствовать Z-преобразование. f[i]/>F(z).

Z-преобразованиеприменяют и к непрерывным функциям. При этом, если для РФ f[i] прямая иобратная задачи однозначны, то для непрерывной функции задача определенияоригинала f[i] по его изображению не однозначна.

4.1.2.6 Основные свойства преобразования Лапласа и Z-преобразования

Свойства преобразования Лапласа Свойства Z-преобразования

1. Свойство линейности:

/> />

1. Свойство линейности:

/> />

2. Теорема о конечном значении:

Если функция s∙F(s) является аналитической в правой полуплоскости и на мнимой оси, то

2. Теорема о конечном значении:

3. Теорема о начальном значении:

Если />, то />

3. Теорема о начальном значении:

4. Теорема сдвига в области вещественной переменной:

t-τ — запаздывание (по оси вправо). t+τ — упреждение (по оси влево).

4. Теорема сдвига в области вещественной переменной:

/>, где k — целое число, кратное периоду дискретности.

5. Свойство дифференцирования:

Если начальные условия нулевые, то />

6. Свойство интегрирования:

при нулевых начальных условиях

7. Теорема свёртки:

Лекция №7. 04.03.2003

8. Задача определения оригинала функции по её изображению:

а) Непрерывные функции

Смотри формулу (5) из пункта № 4.1.2.2.

б) Дискретные математические модели (для решетчатыхфункций)

Так как F(z) дробно рациональная функция,то проще эту задачу решать так: разделив числитель на знаменатель, F(z) можноразложить в ряд Лорана по убывающим степеням, т.е.

Известно, что />≜/>

f, f1, f2, … — дискреты искомойрешетчатой функции f[iT].

4.1.2.7 Математические модели в комплексной области

4.1.2.7.1 Дискретные математические модели

Применяя к уравнению (Ⅰ)пункта № 4.1.1.1.2 Z-преобразование, с учётом свойств линейности и теоремысдвига при нулевых начальных условиях получим:

/>/>(I*)

4.1.2.7.2 Непрерывные математические модели

Применяя к уравнению (Ⅱ)пункта № 4.1.1.2.2 преобразование Лапласа при нулевых начальныхусловиях, с учётом свойств линейности и дифференцирования получим:

/>/>(II*)

4.1.3 Математические модели систем управления в пространствесостояний

МПС (Метод Пространств Состояний) применяется дляисследования многомерных систем и ориентирован на использование компьютера.

В основу МПС положено понятие многомерного фазовогопространства (или пространства состояний), по осям которого откладываютсяобобщённые фазовые координаты системы (или переменные состояния).

Состояние системы — совокупность минимальногоколичества параметров, полностью определяющих поведение динамической системы.

4.1.3.1 Непрерывные математические модели

Математическая модель системы при этом приводится кстандартному виду (или форме Коши):

/>(1)

Система уравнений (1) — это уравнение состояния вразвёрнутой форме.

Соответствующая системе уравнений (1) структурасистемы:

В матричной форме систему уравнений (1) можно записатьв следующем виде:

/>(2)

Здесь X, Y — векторасоответственно состояния и управления (смотри выше):

A— матрица системы; B — матрицауправления.

/> />

Уравнению состояния (2) соответствует следующая структурасистемы:

Система уравнений (1) и уравнение (2) соответствуютслучаю, когда в качестве выходных переменных рассматриваются все переменныесостояния.

В общем же случае количество выходных переменныхзависит от рассматриваемой задачи и определяется линейной комбинациейпеременных состояний /> и входныхпеременных (управляющих воздействий) />.

Поэтому уравнение состояния системы в развёрнутойформе примет следующий вид:

/>(3)

Количество выходных переменных /> зависит от решаемой задачи.

Системе уравнений (3) будет соответствовать следующаяструктура системы:

В матричной форме уравнение состояния системы выглядиттак:

/>(4)

Уравнению состояния (4) соответствует следующаяструктура системы:

Z(t) — векторвыхода />

С —матрица системы; D — матрица управления.

/> />

Пример 1.

Записать уравнения состояния в развёрнутой и матричнойформах, составить схему (структуру) системы в переменных состояния непрерывнойсистемы, математическая модель которой следующая:

/>.

Решение.

1. Вводим переменные состояния:

/>, />, …, />.

2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутойформе Коши:

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:

/> />

4. Составляем структуру системы в переменныхсостояния:

Пример 2.

Смотри условие примера 1, но />.

Решение.

1. Вводим переменные состояния:

/>, />.

2. Запишем уравнение состояния системы в развёрнутойформе Коши:

3. Запишем уравнение состояния в матричной форме:

/> />

4. Составляем структуру системы в переменныхсостояния:

Пример 3.

По структуре системы в переменных состояния записатьуравнения состояния в развёрнутой и матричной формах.

1.)

2.)

3.)

4.)

Лекция №14. 01.04.2003

/> Передаточная функция: />

/> АФХ: />

+∞

A(ω)

φ(ω)

–/>

/> ЛЧХ: а) />

б) />

T — постоянная времени.

ζ — коэффициент относительного демпфирования.

η — угловая частота колебаний.

6.4. Интегрирующее звено

/> ММ: /> />

/> Переходная функция:

/> Передаточная функция: />

/> АФХ: />

+∞

A(ω)

∞

φ(ω)

–/>

/> ЛЧХ: а) /> б) />

Если подсистема состоит из ν последовательно соединённых интегрирующих звеньев, то есть />, то наклон характеристики /> будет равен />, а характеристика

/> будет проходить на уровне />рад.

6.5 Дифференцирующее звено первого порядка

/> ММ: />.

/> Переходная функция: /> />

/> Передаточная функция: />

/> АФХ: />

+∞

A(ω)

∞

φ(ω)

+/>

/> ЛЧХ: а) /> б) />