Реферат: Системи числення

МІНІСТЕРСТВООСВІТИ УКРАЇНИ

Бердичівськийполітехнічний коледж

Контрольна робота

«Комп’ютернасхемотехніка»

(варіант №21)

студента групи Пзс-503

Михайлуса Михайла Геннадійовича

2008 р.

1.Принципи побудови систем числення, основні поняття

Учислової інформації в персональних комп’ютерах є такі характеристики:

1.  система числення — двійкова, десяткова та інші;

2.  вид числа — дійсні, комплексні та масиви;

3.  тип числа — змішані, цілі та дробові;

4.  форма представлення числа (місце розташування коми) — з природною(змінною), з фіксованою та з плаваючою комами;

5.  розрядна сітка та формат числа;

6.  діапазон і точність подання числа;

7.  спосіб кодування від’ємних чисел — прямий, обернений чидоповняльний код;

8.  алгоритм виконання арифметичних операцій.

Системи числення — це сукупністьприйомів та правил запису чисел за допомогою цифр чи інших символів. Записчисла у деякій системі числення називається його кодом.

Усі системи числення поділяють напозиційні та непозиційні.

Непозиційна системачислення має необмежену кількість символів. Кількісний еквівалент кожногосимволу постійний і не залежить від позиції. Найвідомішою непозиційною системоючислення є римська. В якій використовується сім знаків: I -1, V — 5,X — 10,L — 50,C — 100, D — 500, M — 1000. Недолікинепозиційної системи числення: відсутність нуля,складність виконання арифметичних операцій. Хоча римськими числами частокористуються при нумерації розділів у книгах, віків в історії та інше.

Позиційна системачислення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чіткозалежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називаютьосновою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системичислення — це зручність виконання арифметичних операцій.

У системах числення з основою меншою 10використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють буквилатинського алфавіту.

У позиційних системах числення значеннякожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією учислі.

Окремі позиції в записі числа. називають розрядами,а номер позиції — номером розряду. Число розрядів у записі числа, називаєтьсяйого розрядністю і зберігається з довжиною числа.

Позиційні системи числення діляться на однорідніта неоднорідні.

Неоднорідні системичислення — це такі позиційні системи числення, де для кожного розрядучисла основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-якезначення.

Прикладом є двійково-п’ятиркова системачислення (система зі змішаними основами). Вони використовуються успеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь.

Однорідна позиційнасистема числення — це така система числення, для якої множинадопустимих символів для всіх розрядів однакова. Причому, якщо вага в розрядічисла складає ряд геометричної прогресії з знаменником (основою р), тоце однорідна позиційна система числення з природною порядковою вагою. У данійпозиційній системі числення з природною порядковою вагою число може бутипредставлене у вигляді поліному:

 

/>

де      />      — основа системи числення;

         />       - вага позиції;

/>   — цифри в позиціях числа;

         />     - номер розрядів цілоїчастини;

/> - номер розрядів дробовоїчастини.

Система числення з основою 10 — десятковасистема. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9. Число десять є складеним. Кожне десяткове число можна розкласти по ступеняхоснови десяткової системи числення. Наприклад, число 5213,6 можна представитияк поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи численняв деякій степені:

5213,6=5·103+2·102+1·101+3·100+6·10-1

Система числення з основою 2 — двійковасистема. Для її зображення використовують цифри: 0, 1. Кожне двійкове числоможна розкласти по ступенях основи двійкової системи числення. Наприклад, число111,01 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта наоснову системи числення в деякій степені:

111,012=1·22+1·21+1·20+0·2-1+1·2-2=7,2510

Система числення з основою 8 — вісімковасистема. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Кожне вісімкове число можна розкласти по ступенях основи вісімкової системичислення. Наприклад, число 45,21 можна представити як поліном, кожен член якогоє добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені:

45,218=4·81+5·80+2·8-1+1·8-21=37,265110

Система числення з основою 16 — шістнадцятковасистема. Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 та літери: A, B, C, D, E, F. Кожне шістнадцяткове число можна розкласти поступенях основи шістнадцяткової системи числення. Наприклад, число DE,1B можнапредставити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основусистеми числення в деякій степені:

DE,1B16=D·161·+E·160+1·16-1·B·16-2=222,105110

Ці записи показують один із способівпереведення не десяткових чисел у десяткові.

При однаковій розрядності у системахчислення з більшою основою можна записати більше різних чисел.

Перевагою двійкової системи числення є:простота виконання арифметичних операцій, наявність надійних мікроелектроннихсхем з двома стійкими станами (тригерами), призначеними для зберігання значеньдвійкового розряду цифр 0 або 1.

Для переведення цілого числа з однієїсистеми в іншу необхідно поділити перевідне число на нову основу за правиломпочаткової системи. Одержана перша остача є значенням молодшого розряду в новійсистемі, п першу частку необхідно знову ділити. Цей процес продовжується аж допояви неподільної частки. Результат записують у порядку оберненому їхньомуодержанню:

Наприклад: переведемо число 118 здесяткової системи у війкову

11810=11101102

118 2 118 59 2 58 29 2

/>

1 28 14 2 1 14 7 2 6 3 2 1 2 1 2 1 1

Для переведення правильного дробу з однієїсистеми числення в іншу необхідно діючи за правилами початкової системипомножити перевідне число на основу нової системи. Від результату відокремитицілу частину, а дробову частину, яка залишилася знов помножити на цю основу.

Процес такого множення повторюється доодержання заданої кількості цифр. Результат записують як цілі частин добутку упорядку їхнього одержання.

Наприклад: переведемо число 0,625 здесяткової системи у двійкову

0,62510=0,10102

0,625 2

 

1,250

2

 

,500

2

 

1,000

2

 

,000

Для переведення змішаних чисел у двіковусистему потрібно окремо переводити цілу та дробову частини.

У вісімкових і шістнадцятькових чиселоснова кратна степеню 2, тому переведення цих чисел у двійкову реалізуєтьсянаступним чином: кожну цифру записують трьома двійковими цифрами (тріадами) длявісімкових чисел і чотирма — для шістнадцяткових чисел в напрямках вліво тавправо від коми. При цьому крайні незначущі нулі опускаються.

3 0 5, 4 2

Наприклад:         305,428=11 000101,100 012

7 2 А, E F

72А,EF16=111 0010 1010,1110 11112

Для переведення двійкового числа увісімкове початкове число розбивають на тріади вліво та вправо від коми,відсутні крайні цифри доповнюють нулями, кожну тріаду записують вісімковоюцифрою. Аналогічно здійснюється переведення двійкового числа у шістнадцяткове,при цьому виділяють, які заміняють шістнадцятковими цифрами.

6 3, 4 2

Наприклад:        

110 011,100 0102=63,42

3 А С 7

0011 1010,1100 01112=3А, С716

Критерії вибору

На відміну від аналогових машин, дебудь-яка фізична чи математична величина може бути представлена у виді напруги,переміщення і т. п., у цифрових обчислювальних машинах дані задаються у видіцифрових чи буквених символів. При цьому використовується не будь-який набірсимволів, а визначена система. В електронних обчислювальних машинзастосовуються позиційні системи числення. Така система числення, як римська,непозиційна, в обчислювальній техніці не використовується через своюгроміздкість і складні правила утворення.

Від вибору системи числення залежитьшвидкодія ЕОМ та об’єм пам’яті. При виборі враховують такі нюанси:

1) наявністьфізичних елементів;

2) економічністьсистеми числення (чим більша основа системи числення, тим потрібна меншакількість розрядів, але більша кількість відображуючих елементів). Найбільшефективна це трійкова система числення, але двійкова система і системи численняз основою 4 — не гірша;

3) важкістьвиконання операцій (чим менше цифр, тим простіше);

4) швидкодія(чим більше цифр, тим менша швидкодія);

5) наявністьформального математичного апарату для аналізу і синтезу обчислювальнихпристроїв.

Класичнадвійкова система числення— це така система числення, в якій длязображення чисел використовують тільки два символи: 0 та 1, а вага розрядівзмінюється по закону 2k, де к—довільне число.

Правило виконанняоперацій у класичній двійковій системі числення

У загальному вигляді двійкові числа можнапредставити у вигляді поліному:

А2 = r n*2n +r n-1* 2n-1 + … + r1* 21 + r0*20+ r-1* 2-1,

Додавання у двійковій системі численняпроводиться по правилу додавання поліномів, тобто j-тий розряд суми чисел aта b визначається за формулою.

Двійкова арифметика, чи дії над двіковимичислами, використовують наступні правила, задані таблицями додавання, віднімання,множення.

Додавання  Віднімання Множення

0 + 0 = 0  0 – 0 = 0 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1  1 – 0 = 1 0 * 1 = 0

1 + 0 = 1  1 – 1 = 0 1 * 0 = 0

1 + 1 = 10  10 – 1 = 1 1 * 1 = 1

Логічне додавання

1 1 1 1 1

Додавання по модулю 2

/>

1 1 1 1

Додавання двох багаторозрядних двійковихчисел проводиться порозрядно з урахуванням одиниць переповнення від попередніхрозрядів.

Приклад:

+ 1011 1011 10110

Віднімання багаторозрядних двійковихчисел, аналогічно додаванню, починається з молодших розрядів. Якщо зайнятиодиницю в старшому розряді, утвориться дві одиниці в молодшому розряді.

Приклад.

- 1010 0110 0100

Множення являє собою багаторазоведодавання проміжних сум і зсувів.

Приклад.

x 10011 101 + 10011 00000 10011 1011111

Перевірка за вагами розрядів числа 1011111(2)дає 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 95(10).

Процес ділення складається з операційвіднімання, що повторюють.

Приклад.

101010 111 111 110 0111 111 0000 /> /> /> /> />

 

Позиційні системичислення з непостійною штучною вагою

Для ЦОМ розроблені допоміжні системичислення, що одержали назву «двійково-кодовані десяткові системи»(ДКДС). У цій системі кожна десяткова цифра представляється двійковимеквівалентом. Чотирьохрозрядне двійкове число може мати ваги розрядів: 2, 4, 2,1 чи 8, 4, 2, 1, і ін. Десяткове число 7 у залежності від прийнятої системиваги війкового розряду буде зображено у виді:

А)1101      і        Б) 0111

2421           8421(2-10)

Недоліком ДКДС є використання зайвих двійковихрозрядів для десяткових чисел від 0 до 7. Більш раціональне застосуваннявісімкової системи, але вісімкові числа доводиться переводити в десяткові, ачисла в ДКДС відразу читаються в десятковому коді.

Такі системи числення найчастішевикористовуються в спеціалізованих ЕОМ як коди. Прикладом є двійково-десятковасистеми числення.

Щоб перекласти десяткове число удвйково-десяткову систему числення, необхідно кожну цифру десяткового числазамінити.

Щоб перекласти число з двійково-десятковоїсистеми числення необхідно спочатку перекласти його у десяткову системучислення, а потім за загальним правилом в іншу систему числення.

Щоб перекласти двійково-десяткове число удесяткову систему числення, необхідно кожні чотири цифри двійкової системичислення замінити однією цифрою десяткової системи числення, для цілої частини,починаючи з молодшого розряду, для дробової — з старшого.

Таблицякодів

(10)

8-4-2-12

8-4-2-1

(спеціалізована)

8-4-2-1+”3” 8-4-2-1+”6” Грея 0000 0000 0011 0110 0000 1 0001 0001 0100 0111 0001 2 0010 0010 0110 1000 0011 3 0011 0011 0111 1001 0010 4 0100 0100 1000 1010 0110 5 0101 1011 1001 1011 0111 6 0110 1100 1001 1100 0101 7 0111 1101 1010 1101 0100 8 1000 1110 1011 1110 1100 9 1001 1111 1100 1111 1101

2.Визначення та призначення тригерів. Класифікація тригерів

Тригери — це мікроелектроні схеми з двома стійкими станами. Вони призначені длязберігання значень двійкового розряду цифр 0 або 1.

Тригеримають динамічне і потенційне керування. Кожен компонент може містити один чи кількатригерів у корпусі, у яких загальними є сигнали установки, скидання і тактовоїсинхронізації (дивись малюнок). Перелік тригерів приведений нижче у таблиці.

/>

а)

/>

б)

/>

в)

/>

г)

Мал.-Тригери: а) — JK-тригер з негативним фронтом спрацьовування і низьким рівнемсигналів установки і скидання; б) — D-тригер з позитивним фронтомспрацьовування і низьким рівнем сигналів установки і скидання; в) — синхроннийдвотактний RS-тригер; г) -синхронний однотактний D-тригер

Таблиця.Перелік тригерів

Тип

Параметри

Порядок

перерахування

виводів

Функціональне

призначення

Тригери з динамічним керуванням

JKFF Кількість тригерів S,R,C,J,J,...,K,K,...,Q,Q,..., Q, Q,... JK-тригер з негативним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналу установки і скидання DFF Кількість тригерів S, R, C, D, D,..., Q, Q,..., Q, Q,... D-тригер з позитивним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналу установки і скидання

Тригери з потенційним управлінням

SRFF Кількість тригерів S, R, G, S, S,..., R, R,...,Q,Q,..., Q,Q,... Двотактний синхронний RS‑тригер DLTCH Кількість тригерів S,R,G,D,D,..., Q, Q,..., Q, Q,... Однотактний синхронний D‑тригер /> /> /> /> />

Моделі динаміки тригерів з динамічнимкеруванням мають формат:

MODEL <ім'я моделі> UEFF[(параметри)]

Параметри моделі тригерів з динамічнимкеруванням типу UEFF приведені нижче в таблиці (значення за замовчуванням — 0,одиниця виміру — c). Коса риса "/" означає «чи»; наприклад,запис S/R означає сигнал S чи R.

Моделі динамікитригерів з потенційним керуванням має формат:

MODEL <ім'я моделі> UGFF[(параметри)]

Параметри моделі тригерів з потенційнимкеруванням типу UGFF приведені в таблиці 5 (значення за замовчуванням — 0,одиниця виміру ‑ с).

За замовчуванням у початковий момент часувихідні стани тригерів прийняті невизначеними (стани X). Вони залишаютьсятакими до подачі сигналів чи установки чи скидання переходу тригера увизначений стан. У МС5 мається можливість установити визначений початковий станза допомогою параметраDIGINITSTATE діалогового вікнаGlobalSettings.

У моделях тригерів маються параметри, щохарактеризують мінімальні тривалості сигналів установки і скидання і мінімальнутривалість імпульсів. Якщо ці параметри більше нуля, то в процесі моделюванняобмірювані значення длительностей імпульсів порівнюються з заданими даними іпри наявності занадто коротких імпульсів на екран видаються попереджуючіповідомлення.

Завдання №1

 

1.Перевести 121,37 з десяткової системи числення у двійкову: 121,3710=1111001,01012

121 2 0,37 120 60 2 2 1 60 30 2

,74

/>

30 15 2 2 14 7 2

1,48

1 6 3 2 2 1 2 1 2

,96

1 2 1

1,92

вісімкову:121,3710=171,27538

121 8 0,37 120 15 8 8 1 8 1 8

2,96

/>

7 8 1

7,68

8

5,44

8

3,52

шістнадцяткову:121,3710=79,5ЕВ816

121 16 0,37 112 7 16 16 9

5,92

/>

7 16

14,72

16

11,52

16

8,32

двійково-десяткову:121,3710=10010 0001,0011 01112-10

2.Перевести з двійкової системи числення у десяткову:

110111002=1·27+1·26+0·25+1·24+1·23+1·22+0·21+0·20=+1·128+1·64+0·32+1·16+1·8+1·4+0·2+0·1=128+64+0+16+8+4+0+0=22010

вісімкову:110111002=011011 1002=3348

шістнадцяткову: 110111002=110111002=DC16

Завдання№2

1.        записати всі константи одиниці;

2.        записати всі константи нуля;

3.        записати досконалу диз’юнктивну нормальну форму;

4.        записати досконалу кон’юктивну нормальну форму;

5.        мінімізувати функцію за допомогою карт Карно;

6.        побудувати комбінаційну схему заданої функції у базисі"І-ЧИ-НЕ"

Х1

Х2

Х3

Х4

f

константа 1

константа 0

1

x1x2x3x4

 

1 1

x1x2x3x4

 

1 1

x1x2x3x4

 

1 1 1

x1x2x3x4

 

1

 

x1Úx2Úx3Úx4

1 1

 

x1Úx2Úx3Úx4

1 1

 

x1Úx2Úx3Úx4

1 1 1 1

x1x2x3x4

 

1 1

x1x2x3x4

 

1 1 1

x1x2x3x4

 

1 1

 

x1Úx2Úx3Úx4

1 1 1 1

x1x2x3x4

 

1 1

 

x1Úx2Úx3Úx4

1 1 1 1

x1x2x3x4

 

1 1 1

 

x1Úx2Úx3Úx4

1 1 1 1 1

x1x2x3x4

 

ДДНФ: F = x1x2x3x4Úx1x2x3x4Úx1x2x3x4Úx1x2x3x4Úx1x2x3x4ÚÚx1x2x3x4Úx1x2x3x4Úx1x2x3x4Úx1x2x3x4Úx1x2x3x4

ДДКНФ:F = (x1Úx2Úx3Úx4)Ù(x1Úx2Úx3Úx4)Ù(x1Úx2Úx3Úx4)ÙÙ(x1Úx2Úx3Úx4)Ù(x1Úx2Úx3Úx4)Ù(x1Úx2Úx3Úx4)

/> <td/>

x3x4

 

х1х2

 

/>00

01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 11 1 1 10 1 1 1

МДНФ:F = x1x2Úx3x4Úx1x3x4Úx1x2x3

Комбінаційнасхема:

/>/>/>/>/>/>/>/>x1

/>/>/>/>x2

/>/>/>x3

/>/>x4

/> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> /> /> <td/> />

Списоквикористаної літератури

1.  «Комп’ютерна схемотехніка». М.П.Бабич, І.А.Жуков.МК-Прес. 2004 рік.

2.  Конспект лекцій.

3.  Інтернет.