Реферат: Система счисления

Содержание

Что такоесистема счисления?

Какпорождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Почему людипользуются десятичной системой, а компьютеры —двоичной?

Почему вкомпьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системысчисления?

Перевод чиселиз одной системы счисления в другую

Сложение вразличных системах счисления

Вычитание вразличных системах счисления

Умножение вразличных системах счисления

Деление вразличных системах счисления


Что такое система счисления?Система счисления— это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные инепозиционные системы счисления.

В непозиционныхсистемах счислениявес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит отее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII(тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системахсчисления вес каждойцифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательностицифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа757,7 означает сокращенную запись выражения:

/>

Любая позиционная системасчисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционнойсистемы счисления —количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системесчисления.

За основание системыможно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно,возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная,четверичная и т.д.

 Как порождаются целые числа в позиционных системахсчисления?

В каждой системесчисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену еёследующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значитзаменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижениестаршей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0.В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целогочисла, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правуюцифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужнопродвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило,запишем первые десять целых чисел

·         в двоичнойсистеме:  0,  1,  10,  11, 100,  101,  110,  111, 1000,  1001;

·         в троичнойсистеме:     0, 1,  2,  10,  11,  12, 20,  21,  22,  100;

·         в пятеричнойсистеме:   0,  1,  2, 3,  4,  10,  11,  12, 13,  14;

·         в восьмеричнойсистеме: 0,  1,  2,  3, 4,  5,  6,  7,  10,  11.

Кроме десятичной широкоиспользуются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

Двоичная система Четверичная система Восьмеричная система Десятичная система Шестнадцатиричная система 1 1 1 1 1 10 2 2 2 2 11 3 3 3 3 100 10 4 4 4 101 11 5 5 5 110 12 6 6 6 111 13 7 7 7 1000 20 10 8 8 1001 21 11 9 9 1010 22 12 10 A 1011 23 13 11 B 1100 30 14 12 C 1101 31 15 13 D 1110 32 16 14 E 1111 33 17 15 F 10000 40 20 16 10  Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры —двоичной?

Люди предпочитаютдесятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам,а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде людипользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое времяпользовались пятеричной системой счисления. />

А компьютеры используютдвоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другимисистемами:

·         для ее реализациинужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток —нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — какв десятичной;

·         представлениеинформации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

·         возможно применениеаппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразованийинформации;

·         двоичнаяарифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичнойсистемы — быстрыйрост числа разрядов, необходимых для записи чисел.


Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричнаясистемы счисления?

Двоичная система, удобнаядля компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычнойзаписи.

Перевод чисел издесятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобыпрофессионально использовать компьютер, следует научиться понимать словомашины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системахчитаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три(восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем вдвоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертаястепени числа 2).

 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Количество pразличных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системысчисления и называется основанием системы счисления – "p".Любое число N в позиционной системе счисления с основанием pможет быть представлено в виде полинома от основания p:

N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ...  (1.1)

здесь N –число, aj – коэффициенты (цифры числа), p– основание системы счисления (p>1). Принятопредставлять числа в виде последовательности цифр:

= anan-1 ... a1a . a-1a-2 ...

Перевод чисел вдесятичную системуосуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см.формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значениесуммы.

/>

/>

/>

 

Перевод целыхдесятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делениемдесятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до техпор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системезаписывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример: Переведем число 75 из десятичнойсистемы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

/>

 

Ответ: 7510 = 1 001 0112 =  1138  =  4B16.

Перевод правильныхдробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичнойдроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание тойсистемы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части.Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная спервого.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичнойсистемы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

/>

 

Для переводанеправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целуючасть и отдельно дробную. Перевести 23.12510/>2 с.с.

1. Переведем целую часть: 2. Переведем дробную часть: 3. Таким образом: 

/>

/>

2310 = 101112;

0.12510 = 0.0012.

Результат: 

23.12510 = 10111.0012.

Системы счисленияназываются кратными, если выполняется соотношение: S = RN,где S, R – основания систем счисления, N – степень кратности (целое число: 2, 3 … ).

Для перевода числа изсистемы счисления Rв кратную ей систему счисления Sпоступают следующим образом: двигаясь от точки влево ивправо, разбивают число на группы по N разрядов, дополняя при необходимости нулями крайниелевую и правую группы. Затем группу заменяют соответствующей цифрой из системысчисления S.


Таблица

Перевести 1101111001.11012/>«8» с.с.

Перевести 11111111011.1001112/>«16» с.c.

/>

/>

 

Для перевода числа изсистемы счисления Sв кратную ей систему счисления Rдостаточно заменить каждую цифру этого числасоответствующим числом из системы счисления R, при этом отбрасывают незначащие нули в старших (00512)и младших (15,124000) разрядах.

Перевести 305.48/>«2» с.с.

Перевести 7B2.E16/>«2» с.с.

/>

/>

Если требуется выполнитьперевод из системы счисления Sв R, при условии что они не являются кратными,тогда нужно попробовать подобрать систему счисления K, такую что: S = KN и R= KN.

Перевести 175.248/>«16»с.с.

/>

Результат: 175.248 = 7D.516.

Если систему счисления K подобрать не удается, тогда следуетвыполнить перевод используя в качестве промежуточной десятичную системусчисления.

 

Для всего этогопримеры

Перевод восьмеричных ишестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменитьэквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

/>

Чтобы перевести числоиз двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо отзапятой на  триады  (для восьмеричной) или  тетрады  (дляшестнадцатеричной)  и каждую такую группу заменить соответствующейвосьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой. Например:

/>

/> Сложение в различных системах счисления

Таблицы сложения легкосоставить, используя Правило Счета.

/>

/>


/>

/>

/>


/>

Вычитание в различных системах счисления

/>

Умножение в различных системах счисления

Выполняя умножениемногозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можноиспользовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этомрезультаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать изсоответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

/>

/>

/>

Деление в различных системахсчисления

Деление в любойпозиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и делениеуглом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особеннопросто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

/>

еще рефераты
Еще работы по информатике, программированию