Реферат: Решение математической задачи с помощью математических исследований и помощью специального офисного приложения MS Excel

Содержание

Введение

1. Условие задачи

2. Математическая модель задачи

3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критическихточек

4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel

Выводы

Используемая литература


Введение

В данной работе требуетсярешить математическую задачу двумя способами, один – это привычный для насвариант, с помощью математических исследований, а второй – с помощьюспециального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:

— составитьматематическую модель задачи,

— определить исследуемуюфункцию, зависящую от одной переменной,

— построить графикзаданной функции с помощью графического редактора MS Excel,

— исследовать функцию пообщей схеме, найти критические точки,

— найти решение задачи,

— сделать вывод, сравнитьполученные результаты.


1. Условие задачи

Найти высоту конусанаименьшего объема, описанного около данного шара радиуса r.

Поясним, данную задачу графически:

/>

ABС – конус

О – центр, вписанного шара в конус

OН=OК – радиус вписанного шара

ВН – высота конуса

2. Математическаямодель задачи

Введем необходимыеобозначения и составим исходную функцию, зависящую от одной переменной.

Пусть BH=x, OH=r, BO=OC=x-r. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH:

/>

Теперь, воспользуюсьформулой нахождения объема конуса, составим функцию, зависящую от однойпеременной х – высота конуса.

Объем конуса будетвычисляться по следующей формуле:

/>

Исследуем функцию вида:

/>

3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критическихточек

Воспользуемся общейсхемой исследования функции.

/>

 

1. Найти областьопределения

Функция существует длявсех положительных значений х, такжеподкоренное выражение должнобыть положительным. Решим неравенство:

/>

/>

 

2. Найти (если этоможно) точки пересечения графика с осями координат.

В нашем случае этоневозможно, т.к. все параметры конуса числа положительные, т.е. точекпересечения с осями координат данная функция не имеет.

3. Найти интервалызнакопостоянства функции (промежутки, на которых /> или/>).

/> при любом значении /> изобласти определения функции

4. Выяснить являетсяли функция четной, нечетной или общего вида.

Функция /> является четной функцией,т.к.

/>,

но для данной областиопределения /> является функцией общеговида.

5. Найдите асимптотыграфика функции.

Функция не имеет вертикальной,горизонтальной и наклонной асимптот.

6. Найдите интервалымонотонности функции (проверить функцию на выпуклость и вогнутость, используяпервую производную)

Для этого найдем первую производнуюот заданной функции:

/>/>

Решим уравнение вида:

/>/>

Получим, что при /> функция меняется, т.е. напромежутке />функция монотонно убывает,а на /> монотонно возрастает.

7. Найти экстремумыфункции.

Из пункта 6 следует, что /> точка максимума.

Найдем точки, в которыхфункция не существует:

/>

Найдем значение функции вточке, где функция не существует, в точке экстремума и на концах промежуткаобласти определения:

/>

Таким образом, получим,что при высоте конуса /> конус имеет наименьшийобъем, равный

/>.


4. Построение графика искомой функции средствами MSExcel

Для построения графиканеобходимо составить таблицу значений переменной и функции. Воспользуемсяприложением MSExcel:

радиус вписанной окружности r= 2 h= 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 Vкон= 5,5 5,353158 5,268761 5,225578 5,2111 5,217492 5,239506 5,273554 5,317067

На основании значений таблицыстроим график заданной функции:

/>

/>

Найдем максимальное иминимальное значения на области определения. Для этого воспользуемсясортировкой.

максимум 5,5 минимум 5,211111

Как мы видим, функциядостигает минимума V=5,2111 призначении х=4,9.

Решим задачу, пользуясьнадстройкой «поиск решения». Выполним следующие действия:

Введем в любую ячейкуцелевую функцию

/>

2. В меню Сервис выберемкоманду Поиск решения.

В появившемся окне ужеустановлена целевая ячейка.

Отмечаем флажок в поле«равной» на «минимальному значению», т.к. наша функция стремится к минимуму.

В поле «Изменяя ячейки»выбираем любую, пустую ячейку.

Нажимаем кнопку«выполнить», не меняя других параметров.

/>

3. Просматриваемполученный результат.

h= 4,91485421 Vкон= 5,21089007

Т.е. при высоте конуса х=4,91485палатка имеет наименьший объем, равный 5,21089.


Вывод

В данной работе выполненывсе поставленные цели и задачи. В ходе выполнения были сделаны следующиевыводы.

Решив данную задачу,двумя способами, мы получили равные результаты.

В первом случае, впроцессе решения задачи самостоятельно, мы потеряли достаточное количествовремени, сохраняя большой риск ошибки в вычислениях.

Во втором же, решениезадачи с помощью MS Excel, мы достигли того же результатаминимизируя недостатки за считанные минуты.

Во время всеобщейкомпьютеризации, все пытаются облегчить себе процесс работы, и этодействительно работает.


Используемая литература

1.   Журнал«Информатика и образование» № 12,2007.

2.   Журнал«Информатика и образование» № 4,2008.

3.   БурдюковаЕ.В.Основы работы в Microsoft Excel. Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003.

4.   Письменный Д.Т.конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс,2007.

5.   Практическиезадания и методические рекомендации по использованию информационных технологий.Хабаровск: ХК ИППК ПК,2003.

еще рефераты
Еще работы по информатике, программированию