Реферат: Практикум по решению линейных задач математического программирования

ПРАКТИКУМ

ПО РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОГОПРОГРАММИРОВАНИЯ

Введение

Математическоепрограммирование – это раздел математики, который изучает теорию и методыпоиска лучших вариантов планирования хозяйственной деятельности человека как наодном определенном предприятии, так и в некоторой отрасли или в отдельномрегионе, или в целом государстве.

Лучшиеварианты – это те, при которых достигается максимальная производительностьтруда, минимум себестоимости, максимальная прибыль, минимум использованияресурсов и т.д. С точки зрения математики – это класс оптимизационных задач.Основным инструментом при их решении является математическое моделирование.Математическая модель – это формальное описание изучаемого явления и «перевод»всех существующих сведений о нем на язык математики в виде уравнений, тождеств,неравенств. Если все эти соотношения линейные, то вся задача называется задачейлинейного программирования (ЗЛП). Критерием эффективности этой модели являетсянекоторая функция, которую называют целевой.

Постановка задачи линейного программирования иформы ее записи

Сформулируемобщую задачу линейного программирования.

Пусть данасистема mлинейных уравнений и неравенств сn переменными (системаограничений):

/> (1)

и линейнаяфункция

/>. (2)

Необходимонайти такое решение /> системы (1), прикотором линейная функция />принимаетмаксимальное (минимальное) значение.

В общемслучае ЗЛП может иметь бесконечное множество решений. Часто решение />, удовлетворяющееограничениям (1), называют планом. Если все компоненты /> (3) для />, то /> называют допустимымрешением.

Оптимальнымрешениемили оптимальным планом задачи линейного программирования называетсятакое ее решение />, котороеудовлетворяет всем ограничениям системы (1), условию (3) и при этом даетмаксимум (минимум) целевой функции (2).

Каноническая

Стандартная

Общая

1) Ограничения

Уравнения

/>, />

Неравенства

/>, />

Уравнения и неравенства

/>, />

2) Условия неотрицательности

Все переменные

/>, />

Все переменные

/>, />

Часть переменных

/>, />, />

3) Целевая функция

/> (max илиmin)

Здесь: />– переменные задачи; />– коэффициенты припеременных в целевой функции; />– коэффициенты припеременных в основных ограничениях задачи; />–правые части ограничений.

Пример. Составить экономико-математическую модельзадачи: Для выпуска изделий двух типов А и В на заводе используют сырье четырехвидов (I,II, III, IV). Для изготовления изделияА необходимо: 2 ед. сырья первого вида, 1 ед. второго вида, 2 ед. третьего видаи 1 ед. четвертого вида. Для изготовления изделия В требуется: 3 ед. сырьяпервого вида, 1 ед. второго вида, 1 ед. третьего вида. Запасы сырья составляют:I вида – 21 ед., II вида – 8 ед., III вида – 12 ед., IV вида – 5 ед. Выпуск одногоизделия типа А приносит 3 УДЕ прибыли, а одного изделия типа В – 2 УДЕ.Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Решение.Достаточно часто при составленииматематической модели экономической задачи бывает удобно данные условия представитьв виде таблицы:

Сырье Кол-во сырья на ед. продукции, ед. Запас сырья, ед. А В I 2 3 21 II 1 1 8 III 2 1 12 IV 1 – 5 Прибыль от ед. продукции, УДЕ 3 2

Пусть />–количество изделий типа А и В соответственно, планируемое к выпуску (/>, />).

Тогда прибыль составит: />, т. к. планпроизводства должен обеспечивать наибольшую прибыль, то целевая функция задачи:/>.

Составим систему ограничений, используя заданнуюограниченность сырья. При планируемых объемах производства расходуется сырья I вида: />(ед.), что не должнопревышать запас 21 ед. Т.о. получим неравенство: />.Составляя неравенства по каждому виду сырья, получим систему:

Получаем математическую модель задачи линейногопрограммирования:

Пример. Составить математическую модель задачи: Начетырех станках (I, II, III, IV) обрабатываются два вида деталей (А и В). Каждая деталь проходитобработку на всех станках. Известны время обработки деталей на каждом станке,время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль, полученнаяот выпуска одной детали. Данные приведены в таблице:

Станки Время обработки детали, ч.

Время работы станка

(цикл пр-ва), ч.

А В I 1 2 16 II 2 3 26 III 1 1 10 IV 3 1 24 Прибыль от 1 детали, УДЕ 4 1

Составить план производства, обеспечивающийнаибольшую прибыль при условии, что количество деталей вида В не должно бытьменьше количества деталей вида А.

Решение.Пусть />–количество деталей вида А и В соответственно, планируемое к выпуску (/>, />). Задача аналогичнапредыдущей, но при составлении модели не следует выпускать из поля зренияфразу: количество деталей вида В не должно быть меньше количества деталей видаА, что математически представимо в виде неравенства: />.

Тогда математическая модель задачи линейногопрограммирования имеет вид:

Любая ЗЛПможет быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче.

Приведение задач к каноническому виду

Пусть имеемзадачу общего вида, которую нужно привести к каноническому виду, т.е. изограничений-неравенств сделать ограничения-равенства. Для этого в каждоеограничение вводится дополнительная неотрицательная балансовая переменная сознаком «+», если знак неравенства «/>», и сознаком «–», если знак неравенства «/>». Вцелевую функцию эти переменные входят с нулевыми коэффициентами, т.е. значениецелевой функции не изменяется.

Примечание: 1) В канонической формеравенства принято записывать так, чтобы правые части ограничений былинеотрицательными. Если какое-либо /> отрицательное,то умножив i-е ограничение на (–1), получим в правой части положительноечисло. При этом знак неравенства нужно изменить на противоположный.

2) Еслиограничение содержит знак «=», то дополнительную переменную вводить не нужно.

Пример. Записать задачулинейного программирования в каноническом виде.

/> max (min)

/>, />

Решение. Второеограничение системы содержит в правой части отрицательное число –2. Умножимвторое ограничение на (–1), при этом знак неравенства /> изменится напротивоположный />. Задача приметвид:

/> max (min)

/>, />

В первое и вовторое ограничения добавим по дополнительной переменной /> и /> соответственно, а изтретьего вычтем дополнительную переменную />.Имеем следующий канонический вид задачи:

/> max (min)

/>, />

Заданиядля самостоятельной работы.

Составитьэкономико-математические модели следующих задач:

1. Дляизготовления двух видов продукции P1 и Р2 используют четыре вида ресурсов S1, S2, S3 и S4. Запасы ресурсов, числоединиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены втаблице:

Вид

ресурса

Запас

ресурса

Число ед. ресурсов,

затрачиваемых на изготовление ед. продукции

Р1 Р2 S1 18 1 3 S2 16 2 1 S3 5 – 1 S4 21 3 –

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1и Р2, – соответственно 2 грн. и 3 грн.

3. Наприобретение оборудования для нового производственного участка общей площадью375 м2 предприятие обладает необходимым количеством денежныхсредств. Предприятие может заказать оборудование двух видов: машины первоготипа стоимостью 10000 грн., требующие производительную площадь 6 м2 (сучетом проходов), производящие 4000 единиц продукции за смену, и машины второготипа стоимостью 20000 грн., занимающие 10 м2 площади,производящие 5000 единиц продукции за смену. Общая производительность данногопроизводственного участка должна быть не менее 221000 единиц продукции засмену. Построить модель задачи при условии, что оптимальным для предприятиявариантом приобретения оборудования считается тот, который обеспечиваетнаименьшие общие затраты.

4. Фермерпланирует произвести не менее 120 тонн пшеницы, 70 тонн кукурузы и 15 тоннгречихи. Для этого можно использовать два массива сельскохозяйственных угодий в1000 и 800 га. В таблице приведены урожайность каждой культуры на различныхучастках (верхний показатель) и затраты на 1 га сельскохозяйственных угодий припроизводстве различных культур (нижний показатель). Требуется составить такойплан засева, чтобы валовой сбор зерна удовлетворял плановому заданию, астоимость затрат была наименьшей.

Поле Размер поля Культуры пшеница кукуруза гречиха I 1000

II 800

План по культурам 120 70 15

5. Фирмаимеет возможность рекламировать свою продукцию, используя для этоготелевидение, радио и газеты. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограниченысуммой 8000 грн. в месяц. Опыт прошлых лет показал, что 1 грн., потраченная нателерекламу, дает фирме прибыль в размере 10 грн., а потраченная на рекламу порадио и в газетах – соответственно 4 и 8 грн.

Фирма намерена затратить на теле- и радиорекламуне более 70% рекламного бюджета, а затраты на газетную рекламу не должны большечем вдвое превышать затраты на радиорекламу.

Определитьтакой вариант распределения рекламного бюджета по разным направлениям рекламы,который дает фирме наибольшую прибыль от рекламы своей продукции.

6. Продукцияфабрики выпускается в виде бумажных рулонов стандартной ширины – 2 м. Поспециальным просьбам потребителей фабрика поставляет также рулоны другихразмеров, разрезая стандартные рулоны. Типичные заявки на рулоны нестандартныхразмеров приведены в таблице:

Заявка

Нужная ширина

рулона, м

Нужное кол-во

рулонов

1 0,8 150 2 1,0 200 3 1,2 300

Определить оптимальный вариант раскроя стандартных рулонов,при котором все поступающие специальные заявки будут выполнены при минимальныхзатратах бумаги.

Графический метод решения задач линейногопрограммирования 1. Областьрешений линейных неравенств.

Пусть заданолинейное неравенство с двумя переменными /> и/>

/>/> (1)

Если величины/> и /> рассматривать каккоординаты точки плоскости, то совокупность точек плоскости, координаты которыхудовлетворяют неравенству (1), называется областью решений данного неравенства.Следовательно, областью решений неравенства (1) является полуплоскость сграничной прямой линией />.

Пример 1. Найти полуплоскость,определяемую неравенством

/>.

Решение. Строимпрямую /> по двум точкам, например,по точкам пересечения с осями координат (0; 4) и (6; 0). Эта линия делитплоскость на две части, т.е. на две полуплоскости. Берем любую точку плоскости,не лежащую на построенной прямой. Если координаты точки удовлетворяют заданномунеравенству, то областью решений является та полуплоскость, в которой находитсяэта точка. Если же получаем неверное числовое неравенство, то областью решенийявляется та полуплоскость, которой эта точка не принадлежит. Обычно дляконтроля берут точку (0; 0).

Подставим /> и /> в заданное неравенство.Получим />. Следовательно,полуплоскость «к нулю» является областью решений данного неравенства(заштрихованная часть рис. 1).

Пример 2. Найти полуплоскость,определяемую неравенством

/>.

Решение.Строим прямую />, например, поточкам (0; 0) и (1; 3). Т.к. прямая проходит через начало координат, точку (0;0), то нельзя брать ее для контроля. Возьмем, например, точку (– 2; 0) иподставим ее координаты в заданное неравенство. Получим />. Это неверно. Значит,областью решений данного неравенства будет та полуплоскость, которой непринадлежит контрольная точка (заштрихованная часть рис. 2).

2. Область решений системы линейных неравенств.

Пример. Найти область решенийсистемы неравенств:

Решение.Находим область решений I-го неравенства (рис. 1) и II-го неравенства (рис. 2).

Все точкичасти плоскости, где штриховка наложилась, будут удовлетворять и первому ивторому неравенству. Таким образом, получена область решений заданной системынеравенств (рис. 3).

Если кзаданной системе неравенств добавить условия /> и/>, то область решений системынеравенств /> будет находиться только в I координатной четверти(рис. 4).

Принципнахождения решения системы линейных неравенств не зависит от количестванеравенств, входящих в систему.

Примечание: Область допустимых решений(ОДР) если существует, то представляет собой замкнутый или незамкнутый выпуклыймногоугольник.

3. Алгоритм графического метода решения ЗЛП

Если задачалинейного программирования содержит только две переменные, то ее можно решитьграфическим методом, выполняя следующие операции:

1) Строимвсе полуплоскости, соответствующие ограничениям системы.

2) Находимобласть допустимых решений (ОДР), как множество точек, в котором пересекаютсявсе построенные полуплоскости.

3) Строимвектор />, выходящий из началакоординат, где /> и /> – это коэффициенты при неизвестныхв целевой функции />. Этот векторуказывает направление возрастания целевой функции.

4) Перпендикулярновектору /> проводим так называемуюлинию уровня /> (т.е. прямую />, проходящую через началокоординат).

5) Перемещаемлинию уровня /> параллельно самой себе внаправлении вектора /> (если задача намаксимум (max)) или в противоположном направлении (если задача на минимум (min)) до тех пор, пока линияуровня имеет хотя бы одну общую точку с ОДР.

6) Находимкоординаты /> этой общей крайней точки,решая систему уравнений прямых, на пересечении которых она находится.

7) Подставляемэти координаты в целевую функцию и находим ее max(или min).

Пример. Решить задачу линейногопрограммирования графическим методом

/> max

Решение.Третье и четвертое ограничения системы – двойные неравенства, преобразуем их кболее привычному для подобных задач виду />,это /> и />, т.о. первое из полученныхнеравенств /> (или />) относится к условиюнеотрицательности, а второе /> ксистеме ограничений. Аналогично, /> это /> и />.

Т.о. задачапримет вид

/> max

/>, />

Заменив знакинеравенств на знаки точных равенств, построим область допустимых решений поуравнениям прямых:

/>/>/>/>/>; />; />; />.

Областьюрешений неравенств является пятиугольник ABCDE.

Построимвектор />.Через началокоординат перпендикулярно вектору /> проведемлинию уровня />. И затем будем перемещатьее параллельно самой себе в направлении вектора /> доточки выхода из области допустимых решений. Это будет точка С. Найдемкоординаты этой точки, решив систему, состоящую из уравнений первой и четвертойпрямых:

/> /> /> />/> /> />.

Подставимкоординаты точки С в целевую функцию и найдем ее максимальное значение />Пример. Построитьлинии уровня /> и /> для задачи линейногопрограммирования:

/> max (min)

Решение.Область допустимых решений – открытая область (рис. 6). Линия уровня /> проходит через точку В.Функция Z имеет минимум в этой точке. Линию уровня /> построить нельзя, так какнет точки выхода из области допустимых решений, это значит, что />.

Задания длясамостоятельной работы.

1. Найтиобласть решений системы неравенств:

а)/> б)/>

2. Решитьграфически задачу линейного программирования

/> min

3. Составитьэкономико-математическую модель и решить графически задачу линейного программирования

Фирмавыпускает изделия двух видов А и В. Изделия каждого вида обрабатывают надвух станках (Iи II). Время обработки одногоизделия каждого вида на станках, время работы станков за рабочую смену, прибыльфирмы от реализации одного изделия вида А и вида В занесены в таблицу:

Станки Время обработки одного изделия, мин. Время работы станка за смену, мин. А В I 10 20 1300 II 4 13 720 Прибыль от одного изделия, грн. 0,3 0,9

Изучениерынка сбыта показало, что ежедневный спрос на изделия вида В никогда непревышает спрос на изделия вида А более чем на 40 единиц, а спрос на изделиявида А не превышает 90 единиц в день.

Определитьплан производства изделий, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Симплексный метод решения задач линейногопрограммирования

Симплексныйметод – это метод последовательного улучшения плана. Этим методом можно решатьзадачи линейного программирования с любым количеством переменных и ограничений.

Этот методвключает в себя три основные этапа:

1) Построениеначального опорного плана.

2) Правилоперехода к лучшему (точнее, нехудшему) решению.

3) Критерийпроверки найденного решения на оптимальность.

Присимплексном методе выполняются вычислительные процедуры (итерации) одного итого же типа в определенной последовательности до тех пор, пока не будетполучен оптимальный план задачи или станет ясно, что его не существует.

1) Построение начального опорного плана.

Данную задачулинейного программирования необходимо сначала привести к каноническому виду;при этом правые части ограничений должны быть неотрицательными.

Признакомвозможности построения начального опорного плана служит наличие в каждомограничении-равенстве с неотрицательной правой частью базисной переменной.

Базисной называют плановуюпеременную, которая входит только в одно уравнение (а в другие не входит), ипри этом имеет коэффициент, равный единице.

Пусть задачалинейного программирования приведена к каноническому виду, и все уравнениясистемы ограничений имеют свою базисную переменную. Приравняв базисныепеременные к соответствующим правым частям ограничений, а остальные переменныек нулю, получим опорное или базисное решение задачи.

Пример. Для данной задачилинейного программирования найти начальный опорный план (базисное решение).

/> max

Решение.Изменим знаки второго и третьего неравенств на противоположные, умножив каждоеиз них на –1. Система ограничений теперь будет такой:

В каждомограничении слева добавим положительную переменную />,соответственно запишем канонический вид задачи:

/> max

/>.

Переменные /> базисные. Приравниваем ихк правым частям ограничений: /> Всеостальные переменные – свободные, приравниваем их к нулю: />

Запишемтеперь начальный опорный план

/>(0; 0; 0; 0; 16; 4; 0).

2)Составление симплексных таблиц. Критерий оптимальности.

Симплексныйметод удобно применять, используя построение симплексных таблиц. Перваясимплексная таблица, соответствующая начальному плану, имеет вид:

Базис

…

… … … … … … …

…

Здесь принятыследующие обозначения.

Столбец«Базис» – это базисные переменные.

Столбец «/>» – это коэффициенты прибазисных переменных в целевой функции.

Столбец «В» –правые части ограничений;

/> – коэффициенты припеременных в ограничениях;

/> – коэффициенты припеременных в целевой функции.

Последняястрока в таблице (/>) – этопроверочная или оценочная строка.

/> – значение целевойфункции, соответствующее построенному начальному плану. Его находят так: каждыйэлемент столбца /> умножают насоответствующий элемент столбца В и произведения складывают, т.е.

/>.

/> – называют оценками илисимплексными разностями и находят так: элементы столбца /> умножают насоответствующие элементы столбца />,складывают результаты и вычитают />.

Например,

/>.

Оценки (/>) базисных переменныхвсегда равны нулю.

Признакоптимальности опорного плана состоит в следующем:

Опорный планбудет оптимальным тогда и только тогда, когда все оценки

/> для задачи на maxи

/> для задачи на min.

Если критерииоптимальности не выполняются, то нужно перейти к нехудшему опорному плану, т.е.исключить из базиса некоторую переменную и ввести вместо нее новую из числасвободных переменных.

Переменная,которую нужно ввести в базис, соответствует той оценке />, которая не удовлетворяетусловию оптимальности. Если таких оценок несколько, то среди них выбираютнаибольшую по абсолютной величине и соответствующую ей переменную вводят вбазис. Столбец с этой переменной называют разрешающим.

Дляопределения переменной, которую нужно вывести из базиса, поступают так:элементы столбца В делят только на положительные элементы разрешающего столбцаи находят симплексные отношения />.Выбирают из /> наименьшее. Оно называетту переменную, которую нужно ввести в базис. Соответствующая строка таблицыназывается разрешающей.

На пересеченииразрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий элемент.

Теперь начинаем заполнятьследующую таблицу. Покажем этот процесс на конкретном примере.

Пример. Решить симплекснымметодом задачу линейного программирования.

/> max

Решение. 1)Приводим задачу к каноническому виду, т.е. из ограничений неравенств делаемравенства.

/> max

2) Определяембазисные переменные – это />.

/>/>3) Заполняем первую таблицу

Базис

В 2 3

18 1 3 1

16 2 1 1

5 1 1

21 3 1 –

–2

/>/>

–3

Здесь /> и /> не удовлетворяют условиюоптимальности, т. к. они меньше нуля. Выбираем среди них большее помодулю. Это />. Следовательно, столбец переменной/> – разрешающий. Значит, вновый базис нужно ввести переменную />.

Находим />: />; />; />

Наименьшее изэтих чисел – это число 5, что соответствует строке базисной переменной />. Значит, строка базиснойпеременной /> – разрешающая, следовательно,из базиса нужно вывести переменную />.Элемент />=1 – разрешающий. Новыйбазис: />.

Заполнениеследующей таблицы начинаем со столбцов «Базис» и «/>».Потом заполняем разрешающую строку, разделив каждый ее элемент на разрешающий, т.е.на 1. Все элементы разрешающего столбца будут нулями, кроме разрешающего,который всегда равен 1. Столбцы под /> переписываембез изменения, т. к. эти переменные остались в базисе. Остальные элементыновой таблицы находим по правилу прямоугольника. Например, элемент /> найдем из прямоугольника

/> = />

Или элемент />=/> из прямоугольника

Оценки /> для новой таблицы можнонаходить по этому же правилу.

/>В целом, решение данной задачи симплекснымметодом в виде таблиц будет иметь вид

Базис

В 2 3

18 1 3 1 6

16 2 1 1 16

5 1 1 5

21 3 1 –

–2 –3 таб. 1

3 1 1 –3 3

11 2 1 –1 5,5

3 5 1 1 –

21 3 1 7

15 –2 3 таб. 2 Базис

В 2 3

2 3 1 1 –3 –

5 –2 1 5 1

/>/>

3 5 1 1 5

12 –3 9 1

21 2 –3 таб. 3

2 6 1 –0,2 0,6

1 –0,4 0,2 1

3 4 1 0,4 –0,2

3 0,6 –1,8 1

24 0,8 0,6 таб. 4

/>Оценочная строка четвертойтаблицы показывает, что получен оптимальный план, так как все />.

/> – это значения /> из столбца В, т.е. />, />, />, />.

Свободные(небазисные) переменные />.

Итак, />= (6; 4; 0; 0; 1; 3),

/>= />= 24.

Примечание: При переходе от таблицык таблице для контроля сравнивают />,которое должно быть не меньше предыдущего для задачи на максимум и не большепредыдущего – для задачи на минимум.

Прииспользовании симплексного метода возможны следующие случаи.

1) Если воценочной строке симплекс-таблицы оценка />=0 соответствует свободной переменной, то это означает, что ЗЛП имеет неединственный оптимальный план.

2) Если припереходе от одного опорного плана к другому в разрешающем столбце нетположительных элементов, то это означает, что целевая функция ЗЛП являетсянеограниченной и оптимальных планов не существует.

Заданиядля самостоятельной работы.

Определитьоптимальный план задач, используя симплексный метод решения задач линейногопрограммирования:

а)

/> max

б)

/> min

Понятие двойственности1) Симметричные двойственные задачи

Рассмотримзадачу производственного планирования. Пусть предприятие имеет m видов ресурсов объемом /> единиц. Эти ресурсы должныбыть использованы для выпуска n видов продукции. Пусть /> – норма потребления i-го вида ресурса напроизводство единицы j-ой продукции; /> –цена реализации j-ой продукции; /> – объемпроизводства j-ой продукции, обеспечивающий предприятию максимальную выручку.

Планпроизводства /> следует составить изусловия максимизации общей стоимости продукции /> приограничениях на использовании ресурсов

/>, />

Или в краткойформе записи математическая модель задачи имеет вид:

/> (1)

/>, /> (2)

/>, /> (3)

Задачу (1) –(3) называют исходной.

По исходнымданным задачи (1) – (3) сформируем другую экономическую задачу.

Предположим,что предприятию разрешено на его усмотрение реализовать все указанные ресурсы.Необходимо установить цены на них – />, />, пользуясь следующимисоображениями:

– покупательстремится минимизировать их общую стоимость;

– предприятиесогласно продать по ценам, дающим прибыль не меньшую, чем выручка, которую ономожет получить от реализации изготовленной продукции.

Этитребования можно записать в виде следующей ЗЛП:

/>, />

Или в краткойформе записи:

/> (4)

/>, /> (5)

/>, /> (6)

Полученнуюзадачу (4) – (6) называют двойственной. Переменные /> называютсядвойственными оценками, или теневыми ценами.

Задачи (1) –(3) и (4) – (6) называют парой взаимно двойственных симметричных задач, т. к.они обладают следующими свойствами:

1. Еслив одной задаче ищется максимум целевой функции, то в другой – минимум.

2. Коэффициентыпри переменных в целевой функции одной задачи являются правыми частямиограничений другой задачи и, наоборот.

3. Вкаждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем все ониодного смысла: если задача на max, то все неравенства содержат знаки «/>», если на min, товсе неравенства содержат знаки «/>».

4. Матрицыограничений прямой и двойственной задач являются транспонированными друг кдругу.

5. Числонеравенств в системе ограничений одной задачи равно числу переменных другойзадачи.

6. Условиенеотрицательности переменных сохраняется в обеих задачах.

Примечание: Понятие «прямой» и«двойственной» задач условно.

2) Построение модели двойственной задачи

Используясвойства (1–6), покажем на конкретном примере построение двойственной задачи.

Пример. Пусть исходная задачаимеет вид:

/>, />

Нужносоставить к ней двойственную.

Решение. Запишемрасширенную матрицу системы ограничений и транспонируем ее.

1 –1 2 2 1 2 5 11 2 2 1 –3 4

АТ=

–1 1 –1 1 3

А =

5 –1 1 3 2 –3 1 2 1 11 1 2 1 2 4 3 1

min

2 3 1

max

Теперьзапишем двойственную задачу по АТ с переменными />, />.

/>, />.

Пример. К заданной задачезаписать двойственную:

Решение. Таккак задача на min, то все неравенства должны иметь знаки «/>». С этой целью второеограничение умножим на (–1); при этом знак неравенства изменится напротивоположный. Теперь задача будет иметь вид:

/>, />

Запишемматрицы А и АТ.

1 1 1 1 –2 5

А =

–2 –3 –5

АТ=

1 –3 2 5 2

min

1 –5

max

Двойственнаязадача:

/>, />.

3) Применение теорем двойственности к анализу оптимальныхрешений пары симметричных двойственных задач

Рассмотримследующую задачу. Предприятие планирует выпускать 3 вида продукции – П1,П2, П3. Для этого оно располагает объемами ресурсов 3-хвидов Р1, Р2, Р3. Затраты каждого ресурса наизготовление единицы продукции и цена единицы продукции приведены в таблице:

Пj

Рi

П1

П2

П3

Объем

Р1

4 2 1 180

Р2

3 1 1 210

Р3

1 2 5 244

Цена

10 14 12

Требуется:

1) построитьмодель исходной и двойственной задач;

2) решитьисходную задачу симплексным методом;

3) найтиоптимальное решение двойственной задачи, используя проверочную строку последнейсимплексной таблицы;

4) датьэкономический анализ основным и дополнительным переменным оптимальных решенийобеих задач;

5) вответе записать оптимальные решения обеих задач и значения их целевых функций;указать наиболее дефицитный ресурс и наиболее убыточный вид продукции.

Решение. 1.Построим модель исходной задачи

/>, />.

Здесь х1,х2, х3 – план выпуска продукции.

Составимматематическую модель двойственной задачи:

/>, />.

2. Решимисходную задачу симплексным методом.

Запишем ееканонический вид:

/>, />.

/>х4, х5, х6 –дополнительные и они же базисные переменные. Начальный опорный план />(0; 0; 0; 180; 210; 244).

Базис

В 10 14 12

180 4 2 1 1 90

210 3 1 1 1 210

244 1 2 5 1 122

–10 –14 –12 таб. 1 Базис

В 10 14 12

14 90 2 1 0,5 0,5 180

120 1 0,5 –0,5 1 240

64 –3 4 –1 1 16

1260 18 –5 7 таб. 2

14 82 2,375 1 0,625 –0,125

80 1,375 0,125 1 –0,625

12 16 –0,75 1 –0,25 0,25

1340 14,25 5,75 1,25 таб. 3

Так как всеоценки />, то получен оптимальныйплан:

/>= (0; 82; 16; 0; 80; 0); />= 1340.

3. Найдемоптимальное решение двойственной задачи, используя последнюю проверочную строкусимплексной таблицы и соотношение между переменными прямой и двойственнойзадач.

/>основные<sub/>переменные

дополнительные переменные

основные переменные

Откуда: />5,75; />0; />1,25; />14,25; />0; />0.

/>= (5,75; 0; 1,25; 14,25;0; 0); />1340.

Таким образомполучили />=/>1340.

4. Проанализируемосновные и дополнительные переменные оптимальных решений обеих задач. Основныепеременные исходной задачи – это планируемый выпуск продукции.

Продукцию І-го вида к выпуску непланируют, ІІ-го вида – в количестве 82 ед. и ІІІ-го вида – в количестве 16 ед.

Дополнительныепеременные исходной задачи показывают остатки сырья.

Сырье І и ІІІвидов израсходовано полностью. А сырье ІІ вида осталось в количестве 80 ед.

Основныепеременные двойственной задачи характеризуют дефицитность сырья: если />, то сырье дефицитное; если/>, то сырье недефицитное.

Такимобразом, сырье І и ІІІ видов дефицитное, причем наиболее дефицитное сырье І-говида. Сырье ІІ вида недефицитное.

Дополнительныепеременные двойственной задачи характеризуют рентабельность продукции. Приэтом, если />, то продукциянерентабельна.

По этомусоотношению видно, что продукция І вида нерентабельна, а ІІ и ІІІ –рентабельна.

Ответ: />= (0; 82; 16; 0; 80; 0); />= 1340;

/>= (5,75; 0; 1,25; 14,25;0; 0); />1340

Наиболеедефицитное сырье І вида. Наиболее убыточный І вид продукции.

Заданиядля самостоятельной работы.

Для производства четырех видов продукции(П1, П2, П3, П4) используются тривида ресурсов. Норма затрат ресурсов, использованных для выпуска единицыпродукции каждого вида, цена единицы продукции и запасы ресурсов приведены втаблице.

Построить модель прямой и двойственнойзадач. Найти оптимальный план для обеих задач и экстремальные значения целевыхфункций. Дать экономическую интерпретацию основным и дополнительным переменнымисходной и двойственной задач.

Ресурсы Продукция

Затраты ресурсов на единицу продукции

Объем

ресурсов

П1

П2

П3

П4

Р1

2 3 4 4 2100

Р2

5 5 7 2800

Р3

8 7 10 9 3000

Цена

единицы

60 65 55 62 Транспортная задача (ТЗ)

Транспортная задачавозникает при планировании рациональных перевозок грузов. Математическая модельтранспортной задачи в простейшем случае имеет вид:

/>max (1)

/> (2)

/>, />, /> (3)

Здесь: />– запасы поставщиков;

/>– спрос потребителей;

/>– тарифы, т.е. стоимостиперевозки единицы груза от />-гопоставщика к />-му потребителю;

Z – транспортные расходы;

/> — количество продукта,перевозимого от />-го поставщика к />-му потребителю.

Обычно транспортнуюзадачу задают тремя матрицами: матрицей поставщиков, матрицей потребителей иматрицей тарифов.

Длянаглядности транспортную задачу представляют в виде распределительной таблицы.

Любаятранспортная задача имеет допустимое решение (матрицу перевозок />), если

/> (4)

Если условие(4) выполняется, то транспортную задачу называют транспортной задачей закрытоготипа.

Допустимоерешение транспортной задачи часто называют планом перевозок.

1) Построение начального опорного плана. Его вырожденностьили невырожденность. Ранг матрицы системы.а)Метод северо-западного угла.

Заполнениераспределительной таблицы начинают с клетки (1; 1), при этом />. Далее смещаются или построке вправо или по столбцу вниз до клетки />. Заполненные клеткидолжны распространяться так, чтобы их можно было соединить ломаной линией,звенья которой взаимно перпендикулярны.

Пример. Построить методомсеверо-западного угла начальный опорный план для транспортной задачи: поставщикиа = (20; 30; 40); потребители />= (15; 35; 20; 20);тарифы перевозок

Найтистоимость перевозок.

Решение.Строим распределительную таблицу и находим груз х11 = min(20; 15) = 15. По первому столбцу не перемещаемся, так как спрос І потребителяудовлетворен. Перемещаемся по І строке в клетку (1; 2):

х12 = min (а1 –х11; b2) = min (5; 35) = 5.

Теперьпереходим по ІІ столбцу в клетку (2; 2):

х22 = min (30; b2 – х12)= min (30; 30) = 30.

Так как спросІІ потребителя удовлетворен и у ІІ поставщика продукция уже выбрана, топереходим к клетке (3; 3):

х33 = min (40; 20) = 20.

х34 = min (а3 –х33; b4) = min (20; 20) = 20.

Такимобразом, получен план перевозок:

15 35 20 20 20 4 6 12 5 15 5 30 2 7 8 10 30 40 5 3 4 6 20 20

Для подсчетастоимости перевозок нужно количество груза в каждой заполненной клетке умножитьна соответствующий тариф в этой клетке и результаты сложить.

/>.

б)Метод минимального элемента (наименьшей стоимости).

Строим распределительнуютаблицу и начинаем ее заполнять с той клетки, в которой наименьший тариф.

Пример. Построить начальныйопорный план методом минимальной стоимости и найти транспортные расходы для транспортнойзадачи: поставщики а = (20; 30; 40); потребители />= (15; 35; 20; 20);тарифы перевозок

Решение. Строимраспределительную таблицу и начинаем ее заполнять с клетки (2; 1), т. к. вней наименьший тариф х21 = min (30; 15) = 15.

15 35 20 20 20 4 6 12 5 20 30 2 7 8 10 15 15 40 5 3 4 6 35 5

Потомзаполняем клетку (3; 2) с тарифом с32 = 3;

х32 = min (40; 35) = 35.

Далее х33= min (а3 – х32; b3) = (5; 20) = 5;

х14 = min (20; 20) = 20;

х23 = min (а2 –х21; b3 – х33) = min (15; 15) = 15.

/>.

Сравниваязначение Z в а) и б), видим, что учитывая стоимости перевозок, затратыпри втором методе значительно меньше.

Рангомматрицы системы (2) называют число />, т.е.количество строк плюс количество столбцов и минус единица. Если числозаполненных клеток в распределительной таблице равно рангу матрицы, то полученныйплан называется не вырожденным. В противоположном случае – вырожденным.

В пунктах а)и б) />, а число заполненныхклеток 5. Следовательно, полученные планы – вырожденные.

2) Метод потенциалов. Признак оптимальности опорного плана.

Допустимоерешение транспортной задачи является оптимальным тогда и только тогда, когдаможно найти такие числа – потенциалы />,/> и />, />, которые удовлетворяютследующим условиям:

II. /> для всех заполненныхклеток; (5)

III. /> для всех пустых клеток. (6)

На основаниипервого условия оптимальности потенциалы находят из условий /> и один, произвольновыбранный, потенциал приравнивают к нулю, например />.

Если при проверкевторого условия оптимальности окажется, что /> длявсех незаполненных клеток, то опорный план оптимален и соответствующее значениецелевой функции Z определяет минимальные расходы. Если же найдется хотябы одна клетка, для которой />, топлан не оптимальный и можно перейти к нехудшему опорному плану.

3) Переход к нехудшему опорному плану.

Переход к нехудшему опорному плану осуществляют при помощи цикла перераспределения груза. Циклпредставляет собой замкнутую ломаную, звенья которой взаимно перпендикулярны ивершины цикла, кроме одной, находятся в заполненных клетках.

Приведемпримеры разновидностей форм циклов:

В каждомслучае только одна вершина цикла находится в незаполненной клетке. Ее называютначалом цикла и определяют по наибольшему нарушению условия оптимальности (6), т.е.по максимальной оценке />.Клетке начала цикла присваивают знак «+», во всех остальных вершинах циклазнаки чередуют «–», «+» и т.д. Из клеток цикла со знаками «–» выбирают ту, вкоторой находится минимальный груз. Это и будет то количество груза, котороенужно перераспределить по циклу, т.е. в клетке со знаком «+» это количествогруза прибавляется, а со знаком «–» – вычитается. Клетки, которые незадействованы в цикле, остаются неизменными.

Такимобразом, получаем новый опорный план. Подсчитываем транспортные расходы,которые должны быть не более предыдущих. В противном случае где-то допущенаошибка. Новый план опять проверяем на оптимальность, используя условия (5) и (6).Если план оптимальный, то задача решена. Если же план опять не оптимальный, тоработаем, согласно пункту 3) до получения оптимального плана и нахождения Zmin.

Транспортная задача открытого типа

Если длятранспортной задачи выполняется одно из условий

/> или

/>,

то модельзадачи называют открытой. Чтобы такая задача имела решение, необходимоее привести к закрытому типу, т.е. чтобы выполнялось равенство />.

Это делаюттак: если />, то добавляют фиктивногопотребителя со спросом /> (враспределительной таблице появится дополнительный столбец), если />, то добавляют фиктивногопоставщика с предложением /> (враспределительной таблице появится дополнительная строка). В обоих случаяхтарифы полагают равными нулю. Далее задача решается по такому же порядку, какбыло рассмотрено ранее.

Запишем алгоритмрешения транспортной задачи:

1) Проверкатипа модели ТЗ.

2) Построениеначального опорного плана (любым способом).

3) Проверкаплана на вырожденность.

4) Проверкаплана на оптимальность методом потенциалов:

а) нахождениепотенциалов из системы

/> (для всехзаполненных клеток);

б)проверкавторого условия оптимальности

/> (для всех пустыхклеток).

5) Переход к нехудшемуопорному плану (если это необходимо).

Пример. Наскладах имеются запасы однотипного товара в количестве а(35; 40; 40; 50), который необходимо доставить потребителям.Потребности потребителей задает вектор b (31;52; 17; 20). Матрица затрат на доставку единицы товара от i-го поставщика j-мупотребителю:

с=/>

Составить план перевозок с минимальнымитранспортными затратами.

Решение.Определим тип модели транспортной задачи. Суммарная мощность поставщиков: />35+40+40+50=165 (едиництовара); Суммарный спрос потребителей: />31+52+17+20=120(единиц товара).

Т.к. />/>, тоимеем модель открытого типа.

Введем фиктивного потребителя, спроскоторого равен

/>/>/> 165–120 =45 (единиц товара).

Тарифы />0.Т.о. получаем модель закрытого типа, m = 4 – число поставщиков, n = 5 – число потребителей. Ранг матрицы задачи />.Построим начальный опорный план методом минимального элемента (наименьшейстоимости).

31 52 17 20 45

35 5 4 3 1 15 20 40 2 3 5 8 1 31 9 40 6 8 7 10 4 40 50 5 6 7 2 4 43 2 5

1 2 3 1 – 4 Таб.1

Число заполненных клеток распределительнойтаблицы 8 равно рангу матрицы задачи r = 8,следовательно, опорный план является невырожденным.

Транспортные затраты, соответствующие опорномуплану:

/> (ден.ед.).

Исследуем опорный план на оптимальность,используя метод потенциалов.

Дополним таблицу 1 столбцом и строкойпотенциалов /> и />. Систему потенциаловнайдем, используя первое условие оптимальности: для заполненных поставкамиклеток />.

/>;

/>.

Из записанной системы находим: />, />, />,/>, />, />, />, />, />.

Проверим выполнение второго условияоптимальности. Для всех пустых клеток должно выполняться неравенство: />.

(1; 1) />0+ 1 – 5 = –4/>0;

(1; 2) />0+ 2 – 4 = –2/>0;

(1; 5) />0– 4 – 0 = –4/>0;

(2; 3) />1+ 3 – 5 = –1/>0;

(2; 4) />1+ 1 – 8 = –6/>0;

(2; 5) />1– 4 – 0 = –4/>0;

(3; 1) />4+ 1 – 6 = –1/>0;

(3; 2) />4+ 2 – 8 = –2/>0;

(3; 3) />4+ 3 – 7 = 0/>0;

(3; 4) />4+ 1 – 10 = –5/>0;

(4; 1) />4+ 1 – 5 = 0/>0;

(4; 4) />4+ 1 – 2 = 3/>0.

Т.к. среди свободных клеток есть такие, вкоторых второе условие оптимальности не выполняется, то план не оптимален.

Осуществим переход к нехудшему опорномуплану. Наиболее перспективная для заполнения клетка (4; 4), т. к. ейсоответствует наибольшая положительная оценка

/>4 + 1– 2 = 3.

Найдем цикл перераспределения груза дляэтой клетки.

Выбранной для заполнения клеткеприсваиваем знак «+», далее знаки чередуем. Среди вершин со знаком «–» выбираемнаименьшую поставку.

/>–объем перепоставки.

Перераспределим поставки по циклу, темсамым перейдем к новому опорному плану.

31 52 17 20 45

35 5 4 3 1 17 18 40 2 3 5 8 –2 31 9 40 6 8 7 10 1 40 50 5 6 7 2 1 43 2 5

4 5 3 1 –1 Таб.2

/>Транспортныезатраты, соответствующие опорному плану:

/> (ден.ед.).

Исследуем опорный план на оптимальность.Найдем значения потенциалов, используя первое условие оптимальности. Для заполненныхпоставками клеток />.

/>, />, />, />, />, />, />, />, />.

Выпишем клетки, в которых условие нарушено:

(1; 2) />0+ 5 – 4 = 1/>0.

Осуществим переход к нехудшему опорномуплану. Наиболее перспективная для заполнения клетка (1; 2), т. к. ейсоответствует положительная оценка />1.Найдем цикл перераспределения груза для этой клетки.

/>–объем перепоставки.

Число заполненных клеток распределительнойтаблицы 8 равно рангу матрицы задачи r= 8, следовательно, опорный план (таб. 3) являетсяневырожденным.

31 52 17 20 45

35 5 4 3 1 18 17 40 2 3 5 8 –1 31 9 40 6 8 7 10 2 40 50 5 6 7 2 2 25 20 5

3 4 3 –2 Таб.3

Транспортные затраты, соответствующиеопорному плану:

/> (ден.ед.).

Исследуем опорный план на оптимальность.

Найдем значения потенциалов, используяпервое условие оптимальности. Для заполненных поставками клеток />.

/>, />, />,/>, />, />, />, />, />.

Второе условие оптимальности выполняетсядля всех свободных клеток, следовательно, план оптимален.

Наименьшие транспортные затраты />.

Ответ: />; оптимальный планраспределения поставок расположен в таб. 3.

Заданиядля самостоятельной работы.

Составить план перевозок с минимальнымитранспортными затратами.

а)

б)

Решение оптимизационных задач с помощью Excel

При решенииоптимизационных экономических задач необходимо пройти через следующие этапы:

· Составитьматематическую модель экономической задачи;

· Решитьполученную экстремальную математическую задачу;

· Датьэкономическую интерпретацию ответу.

Рассмотримпрохождение этих этапов на примере задачи об использовании ресурсов.

Пример. Для изготовления изделийдвух видов А и В на заводе используют сырье четырех типов (І, ІІ, ІІІ, IV). Для выпуска изделия Анеобходимо 2 единицы сырья І типа; 1 ед. сырья ІІ типа; 2 ед. сырья ІІІ типа; 1 ед. сырья IV типа. Для изготовленияизделия В требуется 3 единицы сырья І типа; 1 ед. сырья ІІ типа; 1 ед. сырья ІІІ типа. Запасы сырьясоставляют: І типа – 21 ед., ІІ типа – 8 ед., ІІІ типа – 12 ед., IV типа – 5 ед. Выпускодного изделия типа А приносит 3 грн. прибыли, а одного изделия типа В – 2 грн.прибыли. Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Решение.

· Составлениематематической модели.

Вопросзадачи, сформулированный в виде «составить план производства, обеспечивающийнаибольшую прибыль», означает, что необходимо определить, какое количествоизделий А и В нужно производить (для достижения наибольшей прибыли).

Так как необходимоопределить количество изделий А и В, то введем следующие обозначения:

/>– количество изделий А,планируемое к выпуску;

/>– количество изделий В,планируемое к выпуску;

Z (целевая функция задачи)по своему экономическому смыслу – это прибыль. (Т.к. из условия задачи мывидим, что слово «наибольшая», связанное с экстремумом, соответствуетприбыли).

Получим:

/> – математическая модель задачи.

· Решениеполученной экстремальной задачи:

Для решениязадачи воспользуемся возможностями Microsoft Excel.

§ ОткройтеMicrosoft Excel.

§ Вячейки первой строки (в данном случае А1 и В1) введите обозначения имеющихся взадаче переменных />, /> (язык и шрифт значения неимеют, т. к. обозначения необходимы для понимания смыслов соответствующихим чисел).

§ Вячейки второй строки (в данном случае А2 и В2), соответствующие заполненнымячейкам первой, введите произвольные значения переменных (для простоты возьмемзначения 1, хотя на самом деле это могут быть любые числа). Тем самым мыприсваиваем /> и /> пока значения 1.

В ячейку А4введите обозначение целевой функции Z=.

§ Вячейку В4 введите формулу вычисления целевой функции из математической моделизадачи

(/>), подставляя вместо /> и />, соответствующие имзначения из ячеек А2 и В2. (Вспомните, что введение формулы начинается со знака=)

После нажатиякнопки Enter на экране монитора должно быть следующее. (Продумайте, как изменитсякартинка, если ввести иные значения /> и />, к примеру, не 1, а 2. Атеперь поэкспериментируйте. Оправдался ваш прогноз?)

В ячейки А5 иВ5 введите соответственно слова: А5 – Ограничение, В5 – Правая часть ограничения.

§ Вячейку А6 введите формулу вычисления левой части первого ограничения />, подставляя вместо /> и />, соответствующие имзначения из ячеек А2 и В2.

§ Вячейку В6 введите свободный член первого ограничения – 21. После нажатия кнопкиEnter на экране мониторадолжно быть следующее.

§ Аналогичнов ячейку А7 введите формулу вычисления левой части второго ограничения />, а в В7 его свободный член– 8; в ячейку А8 введите формулу вычисления левой части третьего ограничения />, а в В8 его свободный член– 12; в ячейку А9 введите формулу вычисления левой части четвертого ограничения/>, а в В9 его свободный член– 5;

§ Посленажатия кнопки Enter на экране монитора должно быть следующее.

Таким образом,мы ввели все данные условия задачи в компьютер и подготовились к тому, чтобызадачу решить.

§ Вменю Сервис выберите команду Поиск решения (именноона является инструментом для поиска решений задач оптимизации)

§ Вэтой команде вам будет предложено установить целевую ячейку. Именно слово «целевую»поможет вам в дальнейшем вспомнить, о чем идет речь. Конечно же, о значениицелевой функции. Введите это значение, щелкнув левой кнопкой мышки на ячейке В4(содержащей в данном случае числовое значение целевой функции). Получите:

§ />Т.к. в данной задачефункция Zисследуется на максимум, то оставляем Равной: • максимальномузначению.

Если решаемзадачу на минимум, то нужно поставить метку • перед словами минимальномузначению.

§ Далеенажмите на стрелку, расположенную в правой части пространства ячейки Изменяяячейки:, в результате чего на экране должно появиться следующее

В полученноепространство необходимо ввести диапазон изменяющихся в задаче переменных (т.е. ячейки,содержащие числовые значения /> и />, т. к. именно /> и /> могут принимать различныечисловые значения, среди которых мы и пытаемся отыскать оптимальное решениезадачи).

Т.е.заполненная ячейка должна принять вид:

§ Послеэтого заполняют пространство ячейки Ограничения: Для чего нужнощелкнуть по кнопке Добавить, в результате чего на экране появитсяновое окно:

В Ссылкана ячейку: введите номер ячейки, содержащей левую часть ограничения (вданном случае для первого ограничения – это ячейка А6).

Выберите знакограничения в соответствии с математической моделью из предлагаемых вариантов(в данном случае <=, т. к. первое ограничение со знаком />)

В Ограничение:введите номер ячейки, содержащей свободный член ограничения (в данном случаедля первого ограничения – это ячейка В6).

Т.о. передвами на экране должна быть следующая картинка:

Это вы ввелитолько первое ограничение, а есть еще и другие, поэтому нажмите кнопку Добавитьи аналогичным образом введите второе, третье и четвертое ограничения.

§ Нопосле того, как все ограничения системы введены, еще рано нажимать ОК,т. к. в математической модели имеется условие неотрицательности переменных(/>), а в описании задачи длякомпьютера оно еще не упоминалось.

Поэтому послевведения последнего ограничения вновь нажмите кнопку Добавить и вСсылка на ячейку: введите номер ячейки, содержащей числовоезначение />; выберите знак >=; а в Ограничение: введите 0.

Еще разнажмите Добавить и аналогичным образом создайте условие неотрицательностидля />.

§ Такимобразом, компьютер получил все те ограничения, которые есть в условии задачи,поэтому теперь можно нажать ОК. В результате на экране появитсяследующее:

Появилось?Если ДА, то нажимайте Выполнить.

И согласитесьна то, чтобы Сохранить найденное решение. Т.е. в появившемся окненажмите ОК.

§ Обратитевнимание на то, какие теперь значения принимают />,/> и Z.

/> = 4; /> = 4; Z = 20 – Это и есть найденноеоптимальное решение задачи (/>) исоответствующее

экстремальноезначение целевой функции (/>).

Математическизадача решена. Осталось дать экономическую

интерпретациюполученному.

· Дадимэкономическую интерпретацию ответу.

Длядостижения наибольшей прибыли 20 грн. необходимо производить 4 изделия А и 4изделия В.

Литература

1. Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Терещенко Т.О. Математичнепрограмування. – К.: КНЕУ, 2001.

2. Исследованиеопераций в экономике/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи,ЮНИТИ, 2000.

3. Конюховский П.В. Математическиеметоды исследования операций в экономике: учебное пособие. – СПб. – Москва –Харьков – Минск, 2005.

4. Кулян В.Р.и др. Математическое программирование. – К.: МАУП, 2005.

5. Таха,Хемди. Введение в исследование операций. – М.: Издательский дом «Вильямс»,2001.

еще рефераты

Еще работы по информатике, программированию

Реферат по информатике, программированию

Предмет информатики как науки

18 Июня 2015

Реферат по информатике, программированию

Предмет інформатики

18 Июня 2015

Реферат по информатике, программированию

Предметная область информатики

18 Июня 2015

Реферат по информатике, программированию

Представление данных в памяти персонального компьютера (числа, символы, графика, звук)

18 Июня 2015