Реферат: Минералогия
Министерство Образования и Науки Российской Федерации
ГосударственноеОбразовательное Учреждение
ОренбургскийГосударственный Университет.
Кафедра геологии
Факультет Вечернего и Заочного Обучения
Контрольная работа поКристаллографии и
Минералогии.
Выполнил:студент Вечернего и Заочногообучения МулюковФарид
Курс 1 Группа 07 ГС Специальность ГС
Проверила: Дёмина Тамара Яковлевна
Содержание.
1.Закономерности роста кристаллических
многогранников…………………………………………………………………………3
2 Сложение(сочетание) элементов симметрии. Теоремы
и доказательства……………………………………………………………………….6
3 Порядокосей симметрии. Элементарный
угол поворота…………………………………………………………………………..10
4 Списокиспользованной литературы……………………………………………..13
1.Закономерности роста кристаллических многогранников.
Когда кристалл растет, частицы выстраиваютсяв закономерные и симметричные ряды, сетки, решетки. Грани кристаллическихмногогранников соответствуют плоскостям, составленным из материальных частиц,ребра кристалла — линиям пересечения этих плоскостей, т. е. рядам материальныхчастиц. Центры масс частиц могут образовать плоские сетки и ряды решетки.Очевидно, любой ряд в структуре соответствует возможному ребру кристалла, алюбая плоскость — возможной грани кристалла.
Кристаллрастет так, что частицы вещества из окружающей среды отлагаются на его гранях.Грани нарастают параллельно самим себе (рис. 1). Меняются площади граней, ихформа, какие-то грани могут вытесняться соседними и зарастать, но взаимный наклонграней остается неизменным. Поэтому углы между гранями тоже остаютсяпостоянными.
<span Arial",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">
рис. 1
Схемапараллельного нарастания граней кристалла Стрелками изображены
нормали к граням
Вэтом заключается количественный закон кристаллографии, открытый НиколаемСтеноном (1669) —закон постоянства углов:
вовсех кристаллах данного вещества при одинаковых условиях углы между соответствующими гранями кристалловпостоянны.
Взаконе под одинаковыми условиями понимаются одинаковые температура и давление.Тем самым подразумевается, что, если у вещества есть несколько полиморфных модификаций,речь здесь идет об одной модификации.
Кристаллы разных веществ отличаются другот друга внешней формой. У кристаллов одного и того же вещества облик(габитус) может оказаться совсем различным, размеры, формы и даже число гранейразные, но углы между соответствующими гранями кристаллов одного веществавсегда постоянны.
Закон постоянства углов дает возможностьсвести все многообразие форм кристаллических многогранников к совокупностиуглов между гранями изобразить их с помощью проекции. Этот закон сыграл огромнуюроль в развитии кристаллографии. До открытия дифракции рентгеновских лучей иразработки рентгеноструктурного анализа кристаллические веществахарактеризовали и отличали одно от другого только по углам между их гранями.Основным методом диагностики кристаллических веществ были измерение угловмежду гранями с помощью угломерного прибора, так называемого гониометра —прикладного или отражательного. Метод гониометрии не утратил своего значения ив настоящее время.
<span Book Antiqua",«serif»;mso-bidi-font-family:«Book Antiqua»">
<span Arial",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image004.jpg" v:shapes="_x0000_i1026">
<span Arial",«sans-serif»;letter-spacing:-.8pt">
рис. 2К выводу условия Вульфа — Брэгга
Граникристаллического многогранника соответствуют определенным сеткам структуры,поэтому углы между гранями отвечают углам между плоскими сетками в структурекристалла. Теперь эти углы измеряют с помощью рентгенограмм, для чего необязательно иметь большой кристалл с правильной внешней огранкой, адостаточно крупинки кристаллического вещества. Поскольку длины волнырентгеновского излучения соизмеримы с межатомными расстояниями вкристаллических структурах, кристаллы являются природными дифракционнымирешетками. Именно с помощью дифракции рентгеновских лучей было доказано решетчатоестроение кристаллов (М. Лауэ, 1912). Схема, поясняющая дифракцию, дана на рис.2: So— пучок монохроматических рентгеновских лучей, падающихпод углом 8 на семейство параллельных атомных плоскостей, S— пучок дифрагированных лучей. Дифрагированные лучиусиливают друг друга, если согласно условию интерференции разность хода Дмежду ними равна целому числу длин волн, т.е.
А = rik (п = 1, 2, 3, ...).
Из чертежа видно, что разность ходамежду падающим и
дифрагированным лучами равна
Д= РО + OQ= 2РО = 2d sin0.
Чтобыволны, рассеянные двумя соседними плоскими сетками (а значит, и всемсемейством параллельных плоских сеток), дали максимум интенсивности,необходимо выполнение основного закона дифракции рентгеновских лучей вкристаллах:
2dsin9 = nX (л = 1, 2, 3,...)• (1.1)
Это равенство выражаетусловие Вульфа — Брэгга *.
Иначе говоря, если луч с длиной волны Xпадает на совокупность параллельных атомныхплоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d, то он порождает дифрагированный луч, идущий так,как шел бы луч, отраженный под углом 8. Таким образом, при определенных углахпадения плоские сетки в структуре кристалла могут «отражать» рентгеновские лучи.Эти отражения (точнее, максимумы интенсивности дифрагированных лучей) можнозарегистрировать на фотографической пластинке с помощью ионизационногоспектрометра. Симметричный, закономерный узор на рентгенограмме, отображаетсимметрию и закономерность структуры кристалла и дает возможность измерятьрасстояния между атомными плоскостями и углы между ними, которые намногогранных формах кристаллов являются углами между гранями. Порентгенограммам на основании условия (1.1) можно изучать структуры кристаллов,находить межплоскостные расстояния d,диагностировать кристаллические вещества.
2 Сложение (сочетание)элементов симметрии. Теоремы и доказательства.
В симметричныхмногогранникахоперации симметрии сочетаются друг с другом. Не все сочетанияэлементов симметрии возможны: так, например, ось 4(L4) неможет быть перпендикулярна оси 3 (Lз) или оси6 (L6).Два последовательновыполненных симметричных преобразования всегда могут быть заменены эквивалентным третьим преобразованием.
Все возможные сочетания элементов симметрии четко ограничены несколькими теоремами о сочетании операций (или элементов) симметрии.
Ниже приводятся нестрогиедоказательства этих теорем или поясняющие их иллюстративные примеры.
Теорема 1. Линия пересечениядвух плоскостей симметрии является осью симметрии, причем угол поворотавокруг этой оси вдвое больше угла между плоскостями.
Доказательство этой теоремы(очевидной каждому, кому доводилось рассматривать себя в двухпоставленных подуглом зеркалах) ясно из равенства ААКО и А А КО, а также АА'ОР и АА«ОР на рис. 3.
<span Arial»,«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image006.jpg" v:shapes="_x0000_i1027">
Рис. 3
К теоремам 1 и 1а
Последовательныеотражения фигурки (запятой) в двух зеркалах, поставленныхпод углом а, эквивалентны поворотуна угол 2а вокруг оси, перпендикуляр нойплоскости чертежа в точке О
<span Arial",«sans-serif»">
<span Arial",«sans-serif»"> Теорема 1a(обратная). Поворот вокруг оси симметрии на угол а эквивалентен отражениям вдвух плоскостях симметрии, проходящих вдольоси; угол между плоскостями равен а/2, причем отсчет угла производитсяв направлении поворота.
Доказательство теоремы очевидно из того же рис. 3.
Теорема 2. Точка пересечения четной оси симметрии сперпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии.
<span Arial",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image008.jpg" v:shapes="_x0000_i1028">
<span Arial",«sans-serif»">
Рис. 4К теоремам 2, 2а и 26
На первой проекции рис. 4показано действие оси 4, перпендикулярной плоскостичертежа, на второй — действие плоскости симметрии, совпадающей сплоскостью чертежа. Очевидно, сочетание этих двух преобразований дасткартину, показанную на рис. 4 справа, где для каждой грани имеется парная,связанная с ней центром симметрии. Вмеждународных символах такоесочетание обозначается 4/т, или
—, в общем случае n/т, где n—порядок оси. Черта в символе означает, что плоскость перпендикулярна оси.
Теорема 2а (обратная). Если есть четная ось симметрии и на ней центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии.
Теорема 26 (обратная). Если есть центр симметрии и через него проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно этой плоскостичерез центр проходит четная ось симметрии.
Действие теорем 2а и 26 видно на рис. 4.
Теорема 3. Если есть ось симметрии порядка nиперпендикулярно этой оси проходит ось 2, товсего имеется nосей 2-го порядка, перпендикулярных оси n-го порядка.
Покажем это на проекции для случая, когда ось 2,лежащая в плоскости чертежа, перпендикулярна оси 3 (рис. 5). Поворот вокруг оси 2 переведет фигуру А в положение А', поворотвокруг оси 3 переведет А в Б я В,А' — в Б' и В'. Но,очевидно, каждая пара фигур, Б и Б' или В и В',связана между собой также и поворотамивокруг оси 2, проходящей между ними в плоскости чертежа, т.е. имеетсяне одна ось 2, а три такие оси.
Эту теорему легко понять также и по самому определению оси симметрии: вокруг оси nлюбойобъект симметрично повторяется nраз.Обозначения такого сочетания: n2 (LnnL2).
<span Arial",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image010.jpg" v:shapes="_x0000_i1029">
Рис. 5
К теореме 3
Теорема 4. Если есть ось симметрии n-го порядка и вдоль неепроходит плоскость симметрии, то таких плоскостейимеется п.
Иллюстрацией теоремы служитрис. 6.Плоскость т, проходящая вдоль оси 3, преобразует фигуру А вА'. Поворот вокруг оси 3 преобразует А в Б. и В, А' в Б' и В'.Но каждая паpa, Б и Б' или В и В', связанамежду собой и отражением в плоскости симметрии, т. е. всего имеется три продольныеплоскости т. Обозначения: пт (L„nP).
<span Arial",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image012.jpg" v:shapes="_x0000_i1030">
Рис. 6
К теореме 4
Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двухпересекающихся осей симметрии является третья ось, проходящая через точку ихпересечения.
Рис. 7 иллюстрирует эту теорему для случая, когдадве оси 2 лежат в плоскости чертежа, пересекаясь под углом а: поворотвокруг первой оси приводит фигуру А в положение Б, поворачиваяее с лицевой стороны «наизнанку», а поворот вокруг второй оси — в положение В,снова поворачивая фигуру «с изнанки на лицо». Конечный результатоказывается таким же, как и в случае пересечения двух плоскостей, хотя промежуточныеоперации различны. Очевидно, фигуру В можно было бы получить также иповоротом фигуры А в плоскости чертежа на угол 2а вокруг оси симметрии,проходящей через точку пересечения заданных осей.
<span Arial",«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image014.jpg" v:shapes="_x0000_i1031">
Ктеореме 5<span Arial",«sans-serif»">Рис. 7
Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль четной инверсионной осисимметрии, приводит к.появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверсионнойоси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.
Рис. 8 иллюстрирует эту теорему для случая оси 4.Прежде всего заметим, что инверсионная ось 4 является одновременнопростой осью симметрии 2, а по теореме 4, если задана одна плоскостьсимметрии вдоль оси 2, значит, неизбежно появляется и вторая плоскостьсимметрии. С помощью оси 4 переводим фигуру из положения А черезположение А' в положение Б, а с помощью второй плоскости — из Бв положение В. Можно видеть, что фигура А связана с фигурой Втакже и поворотом в оси 2-го порядка, проходящей побиссектрисе угла между плоскостями симметрии. Действительно, это ось 2, ане плоскость т: фигура В повернута белой стороной, а фигура А— черной, т. е. произошел поворот с «лица наизнанку». Таким образом, отдобавления продольной плоскости симметрии к оси 4 появились втораяпродольная плоскость т и две оси 2. Полное сочетание элементовсимметрии записывается как Lj2L22PP,или L42L22PC, международный символ 42т.
Аналогично, если добавить плоскость вдоль оси 6,получим сочетание L6«3L23P, или, что то же самое, L33L24P (или 6т2).
Полное сочетание элементов симметриикристаллического многогранника называется его классом симметрии, или точечнойгруппой симметрии.
Сложение элементов симметрии, которое вышепроизводилось графически, можнопроизводить и матричным методом. Сочетание элементов симметрии получаетсяпутем перемножения соответствующих матриц.
<span Arial»,«sans-serif»"><img src="/cache/referats/27746/image016.jpg" v:shapes="_x0000_i1032">
Рис. 8
К теореме 6
3 Порядок осейсимметрии. Элементарный угол поворота.
Осью симметрии называется прямая линия, при повороте вокругкоторой на некоторый определенный угол фигура совмещается сама с собой.Порядок оси симметрии п показывает, сколько раз фигура совместитсясама с собой при полном обороте вокруг этой оси. У куба есть три оси 4-гопорядка (4, L4), которые проходят через центры противоположных граней,четыре оси 3-го порядка (3, Ls), являющиеся пространственнымидиагоналями куба, и шесть осей 2-го порядка (2, L2), проходящихчерез середины пар противоположных ребер. Соответственно углы поворота дляних 2я/4, 2я/3, 2л/2. Все оси симметрии куба пересекаются в одной точке вцентре куба. Полный набор элементов симметрии куба (см. на рис 9).
<img src="/cache/referats/27746/image018.jpg" v:shapes="_x0000_i1033">
Рис 9.
Плоскости симметрии куба и их стереографическиепроекции: а – три координатные плоскостисимметрии; б, в – шесть диагональных плоскостей симметрии.
Центр симметрии (центр инверсии, центр обратногоравенства)—особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любаяпрямая, проведенная через центр симметрии, встречает одинаковые(соответственные) точки фигуры по обе стороны от центра на равных расстояниях.Симметричное преобразование в центре симметрии— это зеркальное отражение в точке : каждая точка фигурки отражается в центре так, что фигурка как быповорачивается при этом «с лица наизнанку»
Отражение в плоскости, поворот вокруг оси симметрии,зеркальное отражение в центре симметрии представляют собой конечные, илиточечные, симметричные преобразования. При этих преобразованиях фигуране перемещается как целое и хотя бы одна ее точка остается на месте.
В природе и в произведениях искусства можно найтипримеры осей симметрии различного порядка; так, у пятиконечной звезды есть осьсимметрии 5-го порядка (L5); у ромашки или подсолнухаось симметрии м-го порядка (Ln), где п — числолепестков цветка (полагаем, что все они одинаковы). У кругового конуса естьодна ось симметрии бесконечного порядка oo(L<x>), через нее проходитбесконечное число плоскостей симметрии. У шара имеется бесконечное число осейсимметрии бесконечного порядка: каждый диаметр шара является такой осью. Всвою очередь через каждый диаметр шара проходит бесконечное число плоскостейсимметрии.
Формально можно говорить и об оси симметрии 1-гопорядка: любая фигура, даже несимметричная, совместится сама с собой приполном обороте вокруг любой оси, проходящей через эту фигуру.
Невозможность осей 5-го порядка. Принцип Кюри
В кристаллах возможны только оси симметрии 1, 2, 3,4, 6. В кристаллах невозможны оси симметрии 5-го порядка и порядка, большего 6-и. Это ограничениеобусловлено тем, что кристаллическое вещество — бесконечная системаматериальных частиц, симметрично повторяющихся в пространстве. Такиесимметричные бесконечные ряды, сетки, решетки, непрерывно заполняющиепространство, несовместимы с осями 5, 7 и других порядков.
Ранееговорилось, что у куба есть три оси 4 (3Z.4) четыре оси 3(4L3),шесть осей 2 (6L2). Ось 4 выходит в центре грани куба, там жепересекаются четыре плоскости симметрии 4т(L44P). Нарисуем на такой граниравносторонний треугольник. У самого треугольника есть ось 3 (L3) и вдоль нее три плоскости симметрии3m(L33P). Но если треугольник находитсяна грани куба, то квадрат и треугольник «теряют» оси симметрии и частьплоскостей, а «выживает» только одна общая плоскость симметрии рис. 10.
<img src="/cache/referats/27746/image020.jpg" v:shapes="_x0000_i1034">
Рис.10
Это частные случаи принципа Кюри: еслинакладываются друг на друга два явления или явление и окружающая его среда, тосохраняется лишь та симметрия, котораяявляется общей для обеих. В реальных кристаллах постоянно приходитсяучитывать такое наложение и взаимодействие операций симметрии, но на первыхпорах мы будем рассматривать симметрию самой геометрической фигуры, неучитывая ее окружения.
Списокиспользованной литературы.
1) М.П. Шаскольская «Кристаллография» — М, «Высшая школа», 1984
2) Успенская М. Е, Посухова Т. В.<span Times New Roman",«serif»; mso-bidi-font-family:Calibri;color:black"> «
<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Calibri;color:black; mso-bidi-font-weight:bold">Минералогия с основами кристаллографии и петрографии<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family: Calibri;color:black;mso-bidi-font-weight:bold">» — М, Изд-во МГУ<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Calibri;color:black;mso-bidi-font-weight: bold"><span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Calibri;color:black; mso-bidi-font-weight:bold"> 3)
Булах А.Г. «Минералогия с основамикристаллографии» — М, Недра, 19894) Интернет портал(window.edu.ru)
5)<span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family: Calibri;color:black">
БетехтинА.Г. Курс минералогии. М, Недра, 1956 <span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Calibri;color:black; mso-bidi-font-weight:bold"><span Times New Roman",«serif»;mso-bidi-font-family:Calibri;color:black; mso-bidi-font-weight:bold">
<span Arial",«sans-serif»">