Реферат: Гидродинамика вязкой жидкости

Введение

ГИДРОДИНАМИКА(от гидро… и динамика), раздел гидромеханики,изучает движение жидкостей и воздействие их на обтекаемые ими твердые тела.Теоретические методы гидродинамики основаны на решении точных или приближенныхуравнений, описывающих физические явления в движущихся жидкости или газе. Вэкспериментальной гидродинамике возникающие задачи исследуются на моделях,обтекаемых жидкостью или газом, при этом должны соблюдаться условия подобиятеории. Результаты гидродинамики используют при проектировании кораблей,самолетов, ракет и др.

 Гидродина­мика представляет собой разделмеханики сплошных сред, в кото­ром изучается движение несжимаемых жидкостей ивзаимодействие несжимаемых жидкостей с твердыми телами, — использует единый подход к изучению жидкостейи газов.

В механикес большой степенью точности жидкости и газы рассматриваются как сплошные,непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плотность же газовот давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжимаемостью жидкости игаза во многих задачах можно пренебречь и пользоваться единым поняти­ем несжимаемойжидкости — жидкости, плотность которой всюдуодинакова и не изменяется со временем.

Если впокоящуюся жидкость поместить тонкую пластинку, то части жидкости, находящиесяпо разные стороны от нее, будут действовать на каждый ее элемент ∆Sс силами ∆F, которые независимо от того, какпластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярноплощадке ∆S,так как наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение.

Физическаявеличина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости наединицу площади, называется давлением р жидкости:   

P=∆F/∆S.

Единицадавления — паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому силой 1Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью <st1:metricconverter ProductID=«1 м2» w:st=«on»>1 м2</st1:metricconverter>(1Па=1 Н/м2).

Давлениепри равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля*: давле­ние в любомместе покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, при­чем давлениеодинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жидкос­тью.

1. Коэффициент вязкости. Течение по трубе

Вязкость(внутреннее трение)— это свойство реальных жидкостейоказывать сопротив­ление перемещению одной части жидкости относительно другой.При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникаютсилы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев.Действие этих сил проявля­ется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее,на слой, движущийся медлен­нее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя,движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила.

Идеальнаяжидкость, т. е. жидкость без трения, является аб­стракцией. Всем реальнымжидкостям и газам в большей или мень­шей степени присуща вязкость иливнутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости илигазе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепеннопрекращается.

Длявыяснения закономерностей, которым подчиняются силы внутреннего трения,рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другупластины, линейные размеры которых значительно превосходят расстояние междуними d. Нижняя пластина удерживается на месте,верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоро­стью v0. Опыт дает, что для перемещения верхней пластины с постояннойскоростью v0необходимо действовать на нее с вполнеопределенной постоянной по величине силой F. Раз пластина не получает ускорения,значит, действие этой силы уравновешивается равной ей по величинепротивоположно направленной силой, кото­рая, очевидно, есть сила трения,действующая на пластину при ее движении в жидкости. Обозначим ее Fтр.

Варьируяскорость пластины v0, площадь пластин Sи расстоя­ние между ними d, можно получить, что

<img src="/cache/referats/25663/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">                                            (1)

где  <img src="/cache/referats/25663/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> — коэффициентпропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, температуры)жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентомвязкости, или просто вязкостью жид­кости (газа).

При движениижидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна наоси трубы. Полагая течение ла­минарным, найдем закон   изменения скорости   с  расстоянием   r   от  оси трубы.

Выделимвоображаемый цилинд­рический объем жидкости радиуса r и длины l. При стацио­нарном течении в трубе постоянного сечения скоростивсех частиц жидкос­ти остаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил,приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На осно­ваниярассматриваемого цилиндрического объема действуют си­лы давления, сумма которыхравна <img src="/cache/referats/25663/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">cила дей­ствует в направлении движения жидкости. Кроме того, набоковую поверхность цилиндра действует сила трения, равная                                        <img src="/cache/referats/25663/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">duldrна расстоянии rот оси трубы). Ус­ловие стационарностиимеет вид

<img src="/cache/referats/25663/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> (1)

Скоростьубывает с расстоянием от оси трубы. Следовательно, duldrотрицательна и ldu/drl=—duldr. Учтя это,преобразуем соот­ношение следующим образом:

<img src="/cache/referats/25663/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

Разделивпеременные, получим уравнение:

<img src="/cache/referats/25663/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

Интегрированиедает, что

<img src="/cache/referats/25663/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

Постояннуюинтегрирования нужно выбрать так, чтобы скоростьобращалась в нуль на стенках трубы, т. е.при r=R(R— радиус трубы). Из этого условия

<img src="/cache/referats/25663/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

Подстановказначения С в (2) приводит к формуле

<img src="/cache/referats/25663/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

Значениескорости на оси трубы равно

<img src="/cache/referats/25663/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">(4)

С учетом этогоформуле (3) можно придать вид

<img src="/cache/referats/25663/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Таким образом,при ламинарном течении скорость изменяется с рас­стоянием  от оси  трубы  по параболическому  закону.

2. Формула Пуазейля.

Метод Пуазейля. Этот метод основан наламинарном течении жидкости в тонком капилляре. Рассмотрим капилляр радиусом Rи длиной /. Вжидкости мысленно выделим цилиндрический слой радиусом rи толщиной dr. Сила внутреннего трения, действующая на боковую поверхность этого слоя,

<img src="/cache/referats/25663/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

 где dS— боковаяповерхность цилиндрического слоя; знак минус означает, что при возрастаниирадиуса скорость уменьшается.

Для установившегося течения жидкости сила внутреннего трения, действующаяна боковую поверхность цилиндра, уравновешивается силой давления, действующейна его основание:

<img src="/cache/referats/25663/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038"><img src="/cache/referats/25663/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">                              <img src="/cache/referats/25663/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипаниежидкости, т. е. скорость на расстоянии Rот оси равна нулю, получаем

Отсюда видно,что скорости частиц жидкости распределяются по параболическому закону, причемвершина параболы лежит на оси трубы. За время tиз трубы вытечет жидкость, объем которой

<img src="/cache/referats/25663/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

откуда вязкость

<img src="/cache/referats/25663/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

3. Формула Стокса.

Формула Стокса.При малых Re,т. е. при небольших скоростях движения (и небольших /), сопротивление средыобусловлено практически только силами трения. Стокс установил, что силасопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости <img src="/cache/referats/25663/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1043">vдвижения тела относительно жидкости и характерному размеру тела I: <img src="/cache/referats/25663/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1044">(предполагается,что расстояние от тела до границ жидкости, например до стенок со­суда,значительно больше размеров тела). Коэффициент пропор­циональности зависит отформы тела. Для шара, если в качестве / взять радиус шара r, коэффициент пропорциональностиоказывается равным 6я. Следовательно, сила сопротивления движению шарика вжидкостях при небольших скоростях в соответствии с формулой Стокса равна

<img src="/cache/referats/25663/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1045">                                    (1)

Метод Стокса.Этот метод определения вязкости основан на измерении скорости медленнодвижущихся в жидкости небольших тел сферической формы.

На шарик,падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы: сила тяжести <img src="/cache/referats/25663/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> (р — плотность шарика), сила Архимеда <img src="/cache/referats/25663/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1047">(р' — пло­тность жидкости) исила сопротивления, эмпирически установленная Дж. Стоксом: <img src="/cache/referats/25663/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1048">, где r— радиус шарика, v— его скорость. При равномерном движении шарика

<img src="/cache/referats/25663/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1049">  или    <img src="/cache/referats/25663/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

Откуда

<img src="/cache/referats/25663/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

Измеривскорость равномерного движения шарика, можно определить вязкость жид­кости(газа).

4. Закон подобия.

Геометрическое,кинематическое, динамическое подобие.

Этап изучения зависимости интересующейвеличины от системы выбранных определяющих факторов может выполняться двумяпутями: аналитическим и экспериментальным. Первый путь применим лишь дляограниченного числа задач и при том обычно лишь для упрощенных моделей явлений.

Другой путь, экспериментальный, впринципе может учесть многие факторы, но он требует научно обоснованнойпостановки опытов, планирования эксперимента, ограничения его объеманеобходимым минимумом и систематизации результатов опытов. При этом должно бытьобосновано моделирование явлений.

Эти задачи позволяет решать такназываемая теория подобия, т. е. подобия потоков несжимаемой жидкости.

Гидродинамическое подобие складываетсяиз трех составляющих: геометрического подобия, кинематического и динамического.

Геометрическое подобие как известно из геометрии, представляет собойпропорциональность сходственных размеров и равенство соответствующих углов. Подгеометрическим подобием понимают подобие тех поверхностей, которые ограничиваютпотоки, т. е. подобие русел (или каналов).

Отношение двух сходственных размеровподобных русел назовем линейным масштабом и обозначим эту величину через <img src="/cache/referats/25663/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> .Эта величинаодинакова для подобных русел I и II.

<img src="/cache/referats/25663/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

Кинематическое подобие означает пропорциональность местных скоростей всходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этихскоростей:

<img src="/cache/referats/25663/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

 Где <img src="/cache/referats/25663/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1055">– масштаб скоростей, одинаковый при кинематическомподобии.

Так как <img src="/cache/referats/25663/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1056">T – время,<img src="/cache/referats/25663/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> – масштабвремени).

Из кинематического подобия вытекаетгеометрическое подобие линий тока. Очевидно, что для кинематического подобиятребуется геометрическое подобие русел.

Динамическое подобие – это пропорциональность сил, действующих насходственные объемы в кинематических подобных потоках и равенство углов,характеризующих направление этих сил.

В потоках жидкостей обычно действуютразные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение ихпропорциональности означает полное гидродинамическое подобие. Осуществление напрактике полного гидродинамического подобия оказывается весьма затруднительным,поэтому обычно имеют дело с частичным (неполным) подобием, при которомсоблюдается пропорциональность лишь основных, главных сил.

5. Турбулентность.

Турбулентным называетсятечение, сопровождающееся интентенсивнымперемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. Движение отдельныхчастиц беспорядочномудвижению молекул газа. При турбулентном течении векторы скоростей имеют нетолько осевые, но и нормальные к оси русла составляющие, поэтому наряду сосновным продольным перемещением жидкости вдоль русла происходят поперечныеперемещения (перемешивание) и вращательное движение отдельных объемов жидкости.Этим и объясняются пульсации скоростей и давления.

Режим течения даннойжидкости в данной трубе изменяется примерно при определенной средней по сечениюскорости течения <img src="/cache/referats/25663/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1058">vи обратно пропорционально диаметру dтрубы, т. е.

<img src="/cache/referats/25663/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

Входящий в эту формулу безразмерныйкоэффициент пропорциональности k одинаковдля всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Это означает, чтоизменение режима течения происходит при определенном соотношении междускоростью, диаметром и вязкостью  v:

<img src="/cache/referats/25663/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

Полученное безразмерноечисло называется критическим числом Рейнольдса иобозначается

. <img src="/cache/referats/25663/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1061"><img src="/cache/referats/25663/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1062">

Этот результатсогласуется с изложенной ниже теорией гидродинамического подобия, и вполнезакономерно, что именно число Рейнольдса являетсякритерием, определяющим режим течения в трубах.

Как показывают опыты,для труб круглого сечения. <img src="/cache/referats/25663/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1063">

Таким образом, критерийподобия Рейнольдса позволяет судить о режиме теченияжидкости в трубе. При <img src="/cache/referats/25663/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> течение являетсяламинарным, при <img src="/cache/referats/25663/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> турбулентным. Точнееговоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при <img src="/cache/referats/25663/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1066"><img src="/cache/referats/25663/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> имеет местопереходная, критическая область.

Смена режима теченияпри достижении <img src="/cache/referats/25663/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> обусловлена тем, что одно течение теряетустойчивость, а другое – приобретает. При <img src="/cache/referats/25663/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> ламинарное течениеявляется вполне устойчивым: всякого рода искусственная турбулязацияпотока и его возмущения (сотрясения трубы, введение в поток колеблющегося телаи пр.) погашаются влиянием вязкости и ламинарное течение восстанавливается.Турбулентное течение при этом неустойчиво. При <img src="/cache/referats/25663/image085.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> наоборот, турбулентноетечение устойчиво, а ламинарное – неустойчиво.

6. Гидродинамическая неустойчивость

Итак, переход к турбулентности связан снеустойчивостью, а неустойчивость, в свою очередь, – с возникновением иразвитием возмущений. Откуда же в реальной физической системе, какой являетсядвижущая жидкость, могут зародиться возмущения? Источников возмущений оченьмного. Прежде всего реальная установка (канал с движущейся жидкостью) находитсяна лабораторном столе, которому передаются колебания от стен и пола здания –результат сотрясения из-за проехавшей по соседству машины или, может быть, дажеслабого сейсмического возмущения. Далее, вход жидкости в канал практическиникогда не бывает идеально гладким, на входе в жидкость вносятся входныевозмущения, они движутся вдоль жидкости вместе с ней и могут при благоприятных(неблагоприятных?) условиях нарастать. Стенки канала почти никогда не бываютлишены неровностей, шероховатостей. Обтекающий эти шероховатости потокнепрерывно возмущается. Этот список можно было бы продолжать долго. Но естьисточник возмущений, принципиально неустранимый. Это так называемые флуктуации.Когда мы говорим, например, что в данной точке потока плотность постоянна, этолишь означает, что она постоянна в среднем. Около этого среднего значенияпроисходят малые, но макроскопические отклонения в ту или другую сторону. Ониприводят к макроскопическим (малым) отклонениям (флуктуациям) давления,температуры и скорости. Флуктуации, таким образом, являются постояннодействующим источником возмущений, в принципе неустранимым.

Поставим теперь (мысленно) эксперимент поламинарно-турбулентному переходу в трубе конечной длины. Вход в трубупостараемся сделать, насколько это возможно, гладким и постепенным, пытаясьустранить возмущения на входе. От шероховатости стенок также попытаемсяотделаться благодаря тонкой шлифовке поверхности. Тот факт, что труба имеетконечную длину, также играет важную роль: представим себе, что в потокежидкости возникло малое возмущение, которое, во-первых, сносится потоком внизпо течению и, во-вторых, в условиях неустойчивости нарастает. Для его ростатребуется некоторое характерное время. Требуется время и для сноса возмущенияпотоком, оно просто равно (по порядку величины) длине трубы, поделенной наскорость потока. Если характерное время нарастания возмущения больше временисноса, то оно не успеет вырасти на рабочем участке трубы и будет вынесено за егопределы. Если поставить опыт с учетом сделанных оговорок, то получится, чтотакие важные источники возмущений, как вход и шероховатость стенок, почтиполностью устраняются, а те возмущения, которые все-таки возникнут, будутвытеснены потоком за пределы рабочего участка. Результаты такого опытаоказываются удивительными: удается существенно отодвинуть порог возбуждениятурбулентности, критическое число Рейнольдса, такимобразом, удается увеличить на 2-3 порядка, происходит «затягивание порогатурбулентности».

Можно поставить также опыт с регулируемойшероховатостью стенок. Уменьшить шероховатость можно лишь до определенногопредела, скажем до молекулярных размеров. Но можно ее искусственно увеличить,наклеивая на стенки, допустим, мелкие кристаллики контролируемых размеров.Таким образом, удается создать целую гамму трубок с оцениваемой напередшероховатостью. Опыт говорит, что в этих случаях порог ламинарно-турбулентногоперехода также изменяется в довольно широких пределах, причем критическое числоРейнольдса возрастает с уменьшением шероховатости.

Эти простые опыты говорят о том, что идеясвязать переход к турбулентности с гидродинамической неустойчивостью здравая.Но для полного спокойствия необходимо, скажем, на примере какой-либо задачидетально сравнить получаемое теоретически критическое число Рейнольдсас опытным его значением. Совпадение этих чисел будет существенным доводом впользу концепции гидродинамической неустойчивости.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;color:black;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU; mso-bidi-language:AR-SA">

Список литературы

1.  Трофимова В.И. Курс физики: Учеб. Пособие длявузов.5-е     

                          изд., стер. – М.: Высш. Шк., 1998. – 542 с.  

         

2.  Савельев И.В. Курс общей физики: Учебпособие. Т. 1

Содержание

Введение

1.Коэффициент вязкости.Течение по трубе

2.Формула Пуазейля.

3.Формула Стокса.

4.Закон подобия.

5. Турбулентность.

6. Гидродинамическаянеустойчивость

еще рефераты
Еще работы по физике