Реферат: Сложение колебаний

     

    Реферат

                                 <span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal">На тему«Сложение колебаний»

             Студента I –го курса гр. 107

 Шлыковича Сергея

                                                                

      Минск 2001 <span Rammstein Fonts"; mso-bidi-font-family:«Rammstein Fonts»">

Векторная диаграмма

            Колебанияминазываются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью вовремени.

Сло­жение несколькихгармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится нагляд­ным, если изображать колебания графическив виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторнойдиаграммой.

<img src="/cache/referats/9351/image002.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026">Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюсявеличину  x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол <span Courier New";color:black">α

. Еслипривести этот вектор во вращение с угло­вой скоростью ω0,то проекция конца вектора будет перемещать­ся по оси xв пределах от —А до +A, причемкоордината этой проекции будет изменяться со временем по закону

<img src="/cache/referats/9351/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

Следовательно,  проекция   конца    вектора на ось будет совершатьгармонические  колебания   с  ам­плитудой,равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращениявектора, и с на­чальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью вначальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание можетбыть задано с помощью вектора, длина которого рав­на амплитуде колебания, анаправление образует с осью xугол, равный начальнойфазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических коле­банийодного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будетсуммой колеба­ний х1и x2, которые определяютсяфункциями

<img src="/cache/referats/9351/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><img src="/cache/referats/9351/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1027">  (1)

Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2. Построимпо правилам сложения векторов результирующий вектор А. Нарисунке вид­но, что проекция этого вектора на ось xравна сум­ме проекцийскладываемых векторов:

<img src="/cache/referats/9351/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

<img src="/cache/referats/9351/image012.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027">Поэтому, вектор Aпредставляетсобой резуль­тирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловойскоростью ω0,как и векторы А1 и А2,так что сумма x1и х2 являетсягармоническим колебанием с частотой (ω0, амплитудой Aиначальной фа­зой <span Courier New";color:black">α

. Используя теорему косинусовполучаем, что

<img src="/cache/referats/9351/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1029">           (2)

Также,из рисунка видно, что

<img src="/cache/referats/9351/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1030">                                         (3)

Представлениегармонических колебаний с помощью   векторов    позволяет    заменить сложение функций сложением  векторов, что значительно проще.

  Сложение колебаний во взаимноперпендикулярных направлениях.

Представим две взаимно перпен­дикулярныевекторные величины xи y, изменяющие­ся со временем с одинаковой частотой ωпо гармони­ческому закону, то

<img src="/cache/referats/9351/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1031">       <img src="/cache/referats/9351/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1032">              (1)

Где exи eу— орты координатных осей xи y, А и B— амплитудыколебаний. Величинами xи у может быть, например, смещения материальнойточки (частицы) из положения равновесия.

В случае колеблющейся частицы величины

<img src="/cache/referats/9351/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/9351/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1034">                   (2)

определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будетдвигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от раз­ности фаз обоихколебаний. Выражения (2) пред­ставляют собой заданное в параметрической формеуравнение этой траектории. Чтобы получить уравне­ние траектории в обычном виде,нужно исключить из уравнений (2) параметр t.Из первого уравне­ния следует, что

<img src="/cache/referats/9351/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> (3)Соответственно      <img src="/cache/referats/9351/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> (4)

Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле длякосинуса суммы:

<img src="/cache/referats/9351/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

Подставим вместо cosωtи sinωtих значения (3) и(4):

<img src="/cache/referats/9351/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

<img src="/cache/referats/9351/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

Преобразуем это уравнение

<img src="/cache/referats/9351/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

<img src="/cache/referats/9351/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

<img src="/cache/referats/9351/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

<img src="/cache/referats/9351/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1043">          (5)

Это уравнение эллипса, осикоторого по­вернуты относительно координатных осей х и у. Ори­ентацияэллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд Aи Ви разности фаз <span Courier New";color:black">α

.

Попробуем найти форму траектории для нескольких частныхслучаев.

1. Разность фаз <span Courier New"; color:black">α

равна нулю. В этом случаеуравнение (5) упрощается следующим образом:

<img src="/cache/referats/9351/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

Отсюда получается уравнение прямой:

<img src="/cache/referats/9351/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> 

Результирующее движение является гармоническим колебаниемвдоль этой прямой с частотой ω и ам­плитудой, равной <img src="/cache/referats/9351/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1046">  (рис. 1 а).

2. Разность фаз <span Courier New"; color:black">α

равна ±π. Изуравнение   (5)  имеет вид

<img src="/cache/referats/9351/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

Следовательно, результирующее движение представ­ляет собойгармоническое колебание вдоль прямой

<img src="/cache/referats/9351/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1048">   (рис. 1 б)

<img src="/cache/referats/9351/image052.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">

                                                                                              Рис.1

<img src="/cache/referats/9351/image054.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1029">3. При <img src="/cache/referats/9351/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> уравнение (5) переходит в уравнение эллипса,приведенного к координатным осям:

<img src="/cache/referats/9351/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

Полуоси эллипса равны соответствующим амплиту­дамколебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается вокружность.

Случаи <img src="/cache/referats/9351/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1051">и <img src="/cache/referats/9351/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> отличаются на­правлением движения по эллипсу илиокружности.

Следовательно, равномерное движение поокружности радиуса Rс угловой скоростью ωможет быть представлено как сумма двух взаимно перпен­дикулярныхколебаний:

<img src="/cache/referats/9351/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1053">    <img src="/cache/referats/9351/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

(знак плюс в выражении для у соответствует движе­ниюпротив часовой стрелки, знак минус — движе­нию по часовой стрелке).

Если частоты взаимноперпендикулярных колеба­ний не одинаковы, то траектории результирующегодвижения имеют вид сложных кривых, на­зываемых фигурами Лиссажу.<span Arial",«sans-serif»">

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-fareast-theme-font:minor-fareast;color:black;mso-ansi-language: RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

<img src="/cache/referats/9351/image068.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030"><img src="/cache/referats/9351/image070.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031"> 

Фигура Лиссажу для

отношения   ча­стот 1:2 и

разности фазπ/2

ФигураЛиссажу для отношения частот 3:4 и разности фазπ/2

еще рефераты
Еще работы по физике