Реферат: Сложение колебаний
Реферат
<span Times New Roman",«serif»;font-weight:normal">На тему«Сложение колебаний»Студента I –го курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Минск 2001 <span Rammstein Fonts"; mso-bidi-font-family:«Rammstein Fonts»">
Векторная диаграммаКолебанияминазываются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью вовремени.
Сложение несколькихгармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графическив виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторнойдиаграммой.
<img src="/cache/referats/9351/image002.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1026">Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюсявеличину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол <span Courier New";color:black">α
. Еслипривести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0,то проекция конца вектора будет перемещаться по оси xв пределах от —А до +A, причемкоордината этой проекции будет изменяться со временем по закону<img src="/cache/referats/9351/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1025">
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершатьгармонические колебания с амплитудой,равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращениявектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью вначальный момент времени.
Таким образом, гармоническое колебание можетбыть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, анаправление образует с осью xугол, равный начальнойфазе колебаний.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебанийодного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будетсуммой колебаний х1и x2, которые определяютсяфункциями
<img src="/cache/referats/9351/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1026"><img src="/cache/referats/9351/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> (1)
Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2. Построимпо правилам сложения векторов результирующий вектор А. Нарисунке видно, что проекция этого вектора на ось xравна сумме проекцийскладываемых векторов:
<img src="/cache/referats/9351/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1028">
<img src="/cache/referats/9351/image012.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1027">Поэтому, вектор Aпредставляетсобой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловойскоростью ω0,как и векторы А1 и А2,так что сумма x1и х2 являетсягармоническим колебанием с частотой (ω0, амплитудой Aиначальной фазой <span Courier New";color:black">α
. Используя теорему косинусовполучаем, что<img src="/cache/referats/9351/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1029"> (2)
Также,из рисунка видно, что
<img src="/cache/referats/9351/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1030"> (3)
Представлениегармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.
Сложение колебаний во взаимноперпендикулярных направлениях.
Представим две взаимно перпендикулярныевекторные величины xи y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ωпо гармоническому закону, то
<img src="/cache/referats/9351/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> <img src="/cache/referats/9351/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> (1)
Где exи eу— орты координатных осей xи y, А и B— амплитудыколебаний. Величинами xи у может быть, например, смещения материальнойточки (частицы) из положения равновесия.
В случае колеблющейся частицы величины
<img src="/cache/referats/9351/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/9351/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> (2)
определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будетдвигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоихколебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической формеуравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде,нужно исключить из уравнений (2) параметр t.Из первого уравнения следует, что
<img src="/cache/referats/9351/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> (3)Соответственно <img src="/cache/referats/9351/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> (4)
Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле длякосинуса суммы:
<img src="/cache/referats/9351/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1037">
Подставим вместо cosωtи sinωtих значения (3) и(4):
<img src="/cache/referats/9351/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
<img src="/cache/referats/9351/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1039">
Преобразуем это уравнение
<img src="/cache/referats/9351/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1040">
<img src="/cache/referats/9351/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1041">
<img src="/cache/referats/9351/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1042">
<img src="/cache/referats/9351/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> (5)
Это уравнение эллипса, осикоторого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентацияэллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд Aи Ви разности фаз <span Courier New";color:black">α
.Попробуем найти форму траектории для нескольких частныхслучаев.
1. Разность фаз <span Courier New"; color:black">α
равна нулю. В этом случаеуравнение (5) упрощается следующим образом:<img src="/cache/referats/9351/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1044">
Отсюда получается уравнение прямой:
<img src="/cache/referats/9351/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1045">
Результирующее движение является гармоническим колебаниемвдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной <img src="/cache/referats/9351/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> (рис. 1 а).
2. Разность фаз <span Courier New"; color:black">α
равна ±π. Изуравнение (5) имеет вид<img src="/cache/referats/9351/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
Следовательно, результирующее движение представляет собойгармоническое колебание вдоль прямой
<img src="/cache/referats/9351/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> (рис. 1 б)
<img src="/cache/referats/9351/image052.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1028">
Рис.1<img src="/cache/referats/9351/image054.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1029">3. При <img src="/cache/referats/9351/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> уравнение (5) переходит в уравнение эллипса,приведенного к координатным осям:
<img src="/cache/referats/9351/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1050">
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудамколебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается вокружность.
Случаи <img src="/cache/referats/9351/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1051">и <img src="/cache/referats/9351/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> отличаются направлением движения по эллипсу илиокружности.
Следовательно, равномерное движение поокружности радиуса Rс угловой скоростью ωможет быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярныхколебаний:
<img src="/cache/referats/9351/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> <img src="/cache/referats/9351/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1054">
(знак плюс в выражении для у соответствует движениюпротив часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
Если частоты взаимноперпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующегодвижения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.<span Arial",«sans-serif»">
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-fareast-theme-font:minor-fareast;color:black;mso-ansi-language: RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA"><img src="/cache/referats/9351/image068.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1030"><img src="/cache/referats/9351/image070.jpg" align=«left» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1031">
Фигура Лиссажу для
отношения частот 1:2 и
разности фазπ/2
ФигураЛиссажу для отношения частот 3:4 и разности фазπ/2