Реферат: Физика: Движение
Ðåôåðàòïîñòåðåîìåòðèè
Ó÷åíèêà11 “” êëàññà
ÀëåêñååíêîÍèêîëàÿ
Òåìà:
Äâèæåíèå.
Ñïàñèáîçà âíèìàíèå!
29.10.1995ã.
Øêîëà# 1278, êë. 11 “”.
<span Times New Roman";mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-GB;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Äâèæåíèÿ.Ïðåîáðàçîâàíèÿôèãóð.
Ïðèñîçäàíèèðåôåðàòàáûëèèñïîëüçîâàíûñëåäóþùèåêíèãè:
1.“Ãåîìåòðèÿäëÿ 9-10 êëàññîâ”.À.Ä.Àëåêñàíäðîâ,À.Ë.Âåðíåð,Â.È.Ðûæèê.
2.“Ãåîìåòðèÿ”.Ë.Ñ.Àòàíàñÿí,Â.Ô.Áóòóçîâ,Ñ.Á.Êàäîìöåâè äð.
3.“Ìàòåìàòèêà”.Â.À.Ãóñåâ,À.Ã.Ìîðäêîâè÷.
Âñåðèñóíêè íàõîäÿòñÿíàîòäåëüíîìëèñòå,ïðèëîæåííîìê ðåôåðàòó.Ðåøåíèÿçàäà÷ òàêæåíàîòäåëüíîì ëèñòå.Äîêàçàòåëüñòâàîñíîâíûõ òåîðåì,ñâÿçàííûõ ñäâèæåíèåì, ÿ òàêæåïðèâîæó íàîòäåëüíûõëèñòêàõ. Âðåôåðàòå — òîëüêîîïðåäåëåíèÿè êëàññèôèêàöèÿ.
Äâèæåíèåìâ ãåîìåòðèèíàçûâàåòñÿîòîáðàæåíèå,ñîõðàíÿþùååðàññòîÿíèå.Ñëåäóåò ðàçúÿñíèòü,÷òîïîäðàçóìåâàåòñÿïîä ñëîâîì“îòîáðàæåíèå”.
1.Îòîáðàæåíèÿ,îáðàçû,êîìïîçèöèèîòîáðàæåíèé.
Îòîáðàæåíèåììíîæåñòâà M âìíîæåñòâî Níàçûâàåòñÿñîîòâåòñòâèåêàæäîìóýëåìåíòó èç Måäèíñòâåííîãîýëåìåíòà èçN.
Ìûáóäåìðàññìàòðèâàòüòîëüêîîòîáðàæåíèåôèãóð â ïðîñòðàíñòâå.Íèêàêèåäðóãèåîòîáðàæåíèÿíåðàññìàòðèâàþòñÿ,è ïîòîìóñëîâî “îòîáðàæåíèå”îçíà÷àåòñîîòâåòñòâèåòî÷êàìòî÷åê.
Îòî÷êå X’,ñîîòâåòñòâóþùåéïðè äàííîìîòîáðàæåíèèf òî÷êå X,ãîâîðÿò, ÷òîîíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîìòî÷êè X, èïèøóò X’ = f(X).Ìíîæåñòâîòî÷åê X’,ñîîòâåòñòâóþùèõòî÷êàìôèãóðû M, ïðèîòîáðàæåíèèf íàçûâàåòñÿ îáðàçîìôèãóðû M èîáîçíà÷àåòñÿM’ = f(M).
Åñëèîáðàçîì Mÿâëÿåòñÿ âñÿôèãóðà N, ò.å. f(M) = N,òî ãîâîðÿòîá îòîáðàæåíèèôèãóðû M íà ôèãóðó N.
Îòîáðàæåíèåíàçûâàåòñÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íûì,åñëè ïðèýòîìîòîáðàæåíèèîáðàçûêàæäûõ äâóõðàçëè÷íûõòî÷åêðàçëè÷íû.
Ïóñòüó íàñ åñòüâçàèìíîîäíîçíà÷íîåîòîáðàæåíèåf ìíîæåñòâà Míà N. Òîãäàêàæäàÿ òî÷êàX’ ìíîæåñòâà Nÿâëÿåòñÿîáðàçîìòîëüêî îäíîé(åäèíñòâåííîé)òî÷êè Xìíîæåñòâà M. Ïîýòîìóêàæäîéòî÷êå X’ ÌNìîæíîïîñòàâèòü âñîîòâåòñòâèåòó åäèíñòâåííóþòî÷êó X ÌM,îáðàçîìêîòîðîé ïðèîòîáðàæåíèèf ÿâëÿåòñÿòî÷êà X’. Òåìñàìûì ìûîïðåäåëèìîòîáðàæåíèåìíîæåñòâà Níàìíîæåñòâî M,îíî íàçûâàåòñÿîáðàòíûìäëÿîòîáðàæåíèÿf èîáîçíà÷àåòñÿf. Åñëèîòîáðàæåíèåf èìååòîáðàòíîå, òîîíî íàçûâàåòñÿîáðàòèìûì.
Íåïîäâèæíîéòî÷êîéîòîáðàæåíèÿjíàçûâàåòñÿòàêàÿ òî÷êà A,÷òî
j(A)= A.
Èçäàííûõîïðåäåëåíèéíåïîñðåäñòâåííîñëåäóåò, ÷òîåñëèîòîáðàæåíèåf îáðàòèìî, òîîáðàòíîååìóîòîáðàæåíèåf òàêæåîáðàòèìî è (f ) =f. Ïîýòîìóîòîáðàæåíèÿf è f íàçûâàþòñÿòàêæå âçàèìíîîáðàòíûìè.
Ïóñòüçàäàíû äâàîòîáðàæåíèÿ:îòîáðàæåíèåf ìíîæåñòâà Mâ ìíîæåñòâî Nèîòîáðàæåíèåg ìíîæåñòâà Nâ ìíîæåñòâî P.Åñëè ïðèîòîáðàæåíèèf òî÷êà
X ÌN ïåðåøëà âòî÷êó X’ = f(X) ÌN,à çàòåì X’ ïðèîòîáðàæåíèèg ïåðåøëà âòî÷êó X’’ ÌP,òî òåì ñàìûìâ ðåçóëüòàòåX ïåðåøëà â X’’(ðèñ.1).
Âðåçóëüòàòåïîëó÷àåòñÿíåêîòîðîåîòîáðàæåíèåh ìíîæåñòâà Mâ ìíîæåñòâî P.Îòîáðàæåíèåh íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåéîòîáðàæåíèÿf ñ ïîñëåäóþùèìîòîáðàæåíèåìg.
Åñëèäàííîåîòîáðàæåíèåf îáðàòèìî, òî,ïðèìåíÿÿ åãî,à ïîòîìîáðàòíîååìóîòîáðàæåíèåf ,âåðíåì,î÷åâèäíî,âñå òî÷êè â èñõîäíîåïîëîæåíèå,ò.å. ïîëó÷èì òîæäåñòâåííîåîòîáðàæåíèå,òàêîå,êîòîðîåêàæäîéòî÷êåñîïîñòàâëÿåòýòó æå òî÷êó.
2.Îïðåäåëåíèåäâèæåíèÿ.
Äâèæåíèåì(èëèïåðåìåùåíèåì)ôèãóðû íàçûâàåòñÿòàêîå ååîòîáðàæåíèå,ïðè êîòîðîì êàæäûìäâóì ååòî÷êàì A è Bñîîòâåòñòâóþòòàêèå òî÷êèA’ è B’, ÷òî |A’B’| = |AB|. (ðèñ.2).
Òîæäåñòâåííîåîòîáðàæåíèåÿâëÿåòñÿ îäíèìèç ÷àñòíûõñëó÷àåâäâèæåíèÿ.
ÔèãóðàF’ íàçûâàåòñÿðàâíîéôèãóðå F, åñëèîíà ìîæåòáûòüïîëó÷åíà èç Fäâèæåíèåì.
3.Îáùèåñâîéñòâàäâèæåíèÿ.
Ñâîéñòâî1(ñîõðàíåíèåïðÿìîëèíåéíîñòè).
Ïðèäâèæåíèèòðè òî÷êè,ëåæàùèå íàïðÿìîé, ïåðåõîäÿòâ òðè òî÷êè,ëåæàùèå íà ïðÿìîé,ïðè÷åìòî÷êà,ëåæàùàÿìåæäó äâóìÿ äðóãèìè,ïåðåõîäèò âòî÷êó,ëåæàùóþìåæäó îáðàçàìèäâóõ äðóãèõòî÷åê(ñîõðàíÿåòñÿïîðÿäîê èõâçàèìíîãîðàñïîëîæåíèÿ).
Äîêàçàòåëüñòâî.Èçïëàíèìåòðèèèçâåñòíî,÷òî òðèòî÷êè A, B, Cëåæàò íàïðÿìîé òîãäàè òîëüêîòîãäà, êîãäàîäíà èç íèõ,íàïðèìåðòî÷êà B, ëåæèòìåæäó äâóìÿäðóãèìè — òî÷êàìè A è C,ò.å. êîãäàâûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâî
|AB|+ |BC| = |AC|.
Ïðèäâèæåíèèðàññòîÿíèÿñîõðàíÿþòñÿ,à çíà÷èò,ñîîòâåòñòâóþùååðàâåíñòâîâûïîëíÿåòñÿè äëÿ òî÷åê A’, B’, C’:
|A’B’|+ |B’C’| = |A’C’|.
Òàêèìîáðàçîì,òî÷êè A’, B’, C’ëåæàò íàîäíîé ïðÿìîéè èìåííîòî÷êà B’ ëåæèòìåæäó A’ è C’.
Èçäàííîãîñâîéñòâàñëåäóþòòàêæå åùå íåñêîëüêîñâîéñòâ:
Ñâîéñòâî2. Îáðàçîìîòðåçêà ïðèäâèæåíèèÿâëÿåòñÿ îòðåçîê.
Ñâîéñòâî3. Îáðàçîìïðÿìîé ïðèäâèæåíèèÿâëÿåòñÿïðÿìàÿ, àîáðàçîìëó÷à — ëó÷.
Ñâîéñòâî4. Ïðèäâèæåíèèîáðàçîìòðåóãîëüíèêàÿâëÿåòñÿðàâíûé åìóòðåóãîëüíèê,îáðàçîì ïëîñêîñòè- ïëîñêîñòü,ïðè÷åìïàðàëëåëüíûåïëîñêîñòèîòîáðàæàþòñÿíàïàðàëëåëüíûåïëîñêîñòè,îáðàçîìïîëóïëîñêîñòè-ïîëóïëîñêîñòü.
Ñâîéñòâî5. Ïðèäâèæåíèèîáðàçîìòåòðàýäðàÿâëÿåòñÿ òåòðàýäð,îáðàçîìïðîñòðàíñòâà- âñå ïðîñòðàíñòâî,îáðàçîìïîëóïðîñòðàíñòâà- ïîëóïðîñòðàíñòâî.
Ñâîéñòâî6. Ïðèäâèæåíèèóãëûñîõðàíÿþòñÿ,ò.å. âñÿêèé óãîëîòîáðàæàåòñÿíà óãîë òîãîæå âèäà è òîéæå âåëè÷èíû.Àíàëîãè÷íîåâåðíî è äëÿ äâóãðàííûõóãëîâ.
Ñíà÷àëàÿ ðàññìîòðþâñåîñíîâíûåâèäû äâèæåíèé,à çàòåìñâåäó èõ âåäèíóþñèñòåìó.
4.Ïàðàëëåëüíûéïåðåíîñ.
Îïðåäåëåíèå.Ïàðàëëåëüíûìïåðåíîñîì,èëè, êîðî÷å,ïåðåíîñîìôèãóðû,íàçûâàåòñÿòàêîå ååîòîáðàæåíèå,ïðè êîòîðîìâñå åå òî÷êèñìåùàþòñÿ âîäíîì è òîìæå íàïðàâëåíèèíà ðàâíûåðàññòîÿíèÿ (ðèñ.3), ò.å. ïðèïåðåíîñåêàæäûì äâóìòî÷êàì X è Yôèãóðûñîïîñòàâëÿþòñÿòàêèå òî÷êèX’ è Y’, ÷òî
XX’ = YY’.
Îñíîâíîåñâîéñòâîïåðåíîñà: Ïàðàëëåëüíûéïåðåíîññîõðàíÿåòðàññòîÿíèÿèíàïðàâëåíèÿ,ò.å.
X’Y’= XY.
Îòñþäàâûõîäèò, ÷òî ïàðàëëåëüíûéïåðåíîñ åñòüäâèæåíèå,ñîõðàíÿþùååíàïðàâëåíèåè íàîáîðîò,äâèæåíèå,ñîõðàíÿþùååíàïðàâëåíèå,åñòü ïàðàëëåëüíûéïåðåíîñ.
Èçýòèõóòâåðæäåíèéòàêæåâûòåêàåò,÷òî êîìïîçèöèÿïàðàëëåëüíûõïåðåíîñîâåñòü ïàðàëëåëüíûéïåðåíîñ.
Ïàðàëëåëüíûéïåðåíîñôèãóðûçàäàåòñÿ óêàçàíèåìîäíîé ïàðûñîîòâåòñòâóþùèõòî÷åê.Íàïðèìåð,åñëèóêàçàíî, âêàêóþ òî÷êó A’ïåðåõîäèò
äàííàÿòî÷êà A, òîýòîò ïåðåíîñçàäàíâåêòîðîì AA’, èýòîîçíà÷àåò,÷òî âñåòî÷êè
ñìåùàþòñÿíà îäèí è òîòæå âåêòîð, ò.å. XX’= AA’ äëÿ âñåõòî÷åê Õ.
5.Öåíòðàëüíàÿñèììåòðèÿ.
Îïðåäåëåíèå1. Òî÷êèA è A’íàçûâàþòñÿñèììåòðè÷íûìèîòíîñèòåëüíîòî÷êè Î, åñëèòî÷êè A, A’, Oëåæàò íà îäíîéïðÿìîé è OX = OX’.Òî÷êà Îñ÷èòàåòñÿñèììåòðè÷íîéñàìà ñåáå (îòíîñèòåëüíîÎ).
Äâåôèãóðûíàçûâàþòñÿñèììåòðè÷íûìèîòíîñèòåëüíîòî÷êè Î, åñëèäëÿ êàæäîéòî÷êè îäíîéôèãóðû åñòüñèììåòðè÷íàÿåé îòíîñèòåëüíîòî÷êè Îòî÷êà âäðóãîéôèãóðå èîáðàòíî.
Êàê÷àñòíûéñëó÷àé,ôèãóðàìîæåò áûòü ñèììåòðè÷íàñàìà ñåáåîòíîñèòåëüíîíåêîåéòî÷êè Î.Òîãäà ýòàòî÷êà Îíàçûâàåòñÿ öåíòðîìñèììåòðèèôèãóðû, àôèãóðà — öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîé.
Îïðåäåëåíèå2. ÖåíòðàëüíîéñèììåòðèåéôèãóðûîòíîñèòåëüíîÎíàçûâàåòñÿòàêîåîòîáðàæåíèåýòîé ôèãóðû,êîòîðîåñîïîñòàâëÿåòêàæäîé ååòî÷êå òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþîòíîñèòåëüíîÎ.
Îñíîâíîåñâîéñòâî: Öåíòðàëüíàÿñèììåòðèÿñîõðàíÿåòðàññòîÿíèå,àíàïðàâëåíèåèçìåíÿåò íàïðîòèâîïîëîæíîå.Èíà÷åãîâîðÿ, ëþáûìäâóì òî÷êàì X èY ôèãóðû Fñîîòâåòñòâóþòòàêèå òî÷êèX’ è Y’, ÷òî
X’Y’= -XY.
Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ïðèöåíòðàëüíîéñèììåòðèè ñöåíòðîì âòî÷êå Îòî÷êè X è Yîòîáðàçèëèñüíà X’ è Y’. Òîãäà,êàê ÿñíî èçîïðåäåëåíèÿöåíòðàëüíîé ñèììåòðèè(ðèñ.4),
OX’ =-OX, OY’ = -OY.
Âìåñòåñ òåì
XY =OY — OX, X’Y’ = OY’ — OX’.
Ïîýòîìóèìååì:
X’Y’= -OY + OX = -XY.
Îòñþäàâûõîäèò, ÷òî öåíòðàëüíàÿñèììåòðèÿÿâëÿåòñÿäâèæåíèåì,èçìåíÿþùèìíàïðàâëåíèåíà ïðîòèâîïîëîæíîåè íàîáîðîò, äâèæåíèå,èçìåíÿþùååíàïðàâëåíèåíà ïðîòèâîïîëîæíîå,åñòüöåíòðàëüíàÿñèììåòðèÿ.
Öåíòðàëüíàÿñèììåòðèÿôèãóðûçàäàåòñÿ óêàçàíèåìîäíîé ïàðûñóùåñòâóþùèõòî÷åê: åñëèòî÷êà Àîòîáðàæàåòñÿíà À’, òî öåíòðñèììåòðèè — ýòîñåðåäèíàîòðåçêà AA’.
6.Çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿ(îòðàæåíèå âïëîñêîñòè).
Îïðåäåëåíèå1. Òî÷êèA è A’íàçûâàþòñÿñèììåòðè÷íûìèîòíîñèòåëüíîïëîñêîñòè a,åñëè îòðåçîêAA’ïåðïåíäèêóëÿðåíýòîé ïëîñêîñòèè äåëèòñÿ åþïîïîëàì.Ëþáàÿ òî÷êàïëîñêîñòè añ÷èòàåòñÿñèììåòðè÷íîéñàìîé ñåáåîòíîñèòåëüíîýòîéïëîñêîñòè(ðèñ.5).
Äâåôèãóðû F è F’íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìèîòíîñèòåëüíîäàííîé ïëîñêîñòè,åñëè îíèñîñòîÿò èçòî÷åê,ïîïàðíîñèììåòðè÷íûõîòíîñèòåëüíîýòîéïëîñêîñòè, ò.å.åñëè äëÿêàæäîéòî÷êè îäíîéôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿåé òî÷êà âäðóãîéôèãóðå.
Åñëèïðåîáðàçîâàíèåñèììåòðèèîòíîñèòåëüíîïëîñêîñòèïåðåâîäèòôèãóðó âñåáÿ, òîôèãóðàíàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîéîòíîñèòåëüíîïëîñêîñòè a,à ïëîñêîñòü a — ïëîñêîñòüþñèììåòðèè.
Îïðåäåëåíèå2. Îòîáðàæåíèåôèãóðû, ïðèêîòîðîìêàæäîé ååòî÷êåñîîòâåòñòâóåòòî÷êà,ñèììåòðè÷íàÿåéîòíîñèòåëüíîäàííîéïëîñêîñòè,íàçûâàåòñÿîòðàæåíèåìôèãóðû âýòîé ïëîñêîñòè(èëèçåðêàëüíîéñèììåòðèåé).
Òåîðåìà1. Îòðàæåíèåâ ïëîñêîñòèñîõðàíÿåòðàññòîÿíèÿè, ñòàëî áûòü,ÿâëÿåòñÿäâèæåíèåì.
Ñì.Äîêàçàòåëüñòâî1.
Òåîðåìà2. Äâèæåíèå,ïðè êîòîðîìâñå òî÷êèíåêîòîðîéïëîñêîñòèíåïîäâèæíû,ÿâëÿåòñÿîòðàæåíèåìâ ýòîéïëîñêîñòèèëèòîæäåñòâåííûìîòîáðàæåíèåì.
Çåðêàëüíàÿñèììåòðèÿçàäàåòñÿóêàçàíèåìîäíîé ïàðûñîîòâåòñòâóþùèõòî÷åê, íå ëåæàùèõâ ïëîñêîñòèñèììåòðèè:ïëîñêîñòüñèììåòðèèïðîõîäèò÷åðåç ñåðåäèíóîòðåçêà,ñîåäèíÿþùåãîýòè òî÷êè,ïåðïåíäèêóëÿðíîê íåìó.
7.Ïîâîðîòâîêðóãïðÿìîé.
Äëÿáîëåå÷åòêîãîïðåäñòàâëåíèÿî ïîâîðîòåâîêðóãïðÿìîéñëåäóåòâñïîìíèòüïîâîðîò íàïëîñêîñòèîêîëîäàííîéòî÷êè. Ïîâîðîòîìíàïëîñêîñòèîêîëîäàííîé òî÷êèíàçûâàåòñÿòàêîåäâèæåíèå, ïðèêîòîðîì êàæäûéëó÷,èñõîäÿùèéèç äàííîéòî÷êè, ïîâîðà÷èâàåòñÿíà îäèí è òîòæå óãîë âîäíîì è òîìæåíàïðàâëåíèè(ðèñ.6).Ïåðåéäåìòåïåðü êïîâîðîòó âïðîñòðàíñòâå.
Îïðåäåëåíèå.Ïîâîðîòîìôèãóðûâîêðóãïðÿìîé aíà óãîë jíàçûâàåòñÿòàêîåîòîáðàæåíèå,ïðè êîòîðîì âêàæäîéïëîñêîñòè,ïåðïåíäèêóëÿðíîéïðÿìîé a,ïðîèñõîäèòïîâîðîòâîêðóãòî÷êè ååïåðåñå÷åíèÿñ ïðÿìîé a íà îäèí èòîò æå óãîë jâîäíîì è òîìæåíàïðàâëåíèè(ðèñ. 7).Ïðÿìàÿ aíàçûâàåòñÿîñüþïîâîðîòà, àóãîë j — óãëîìïîâîðîòà.
Îòñþäàâèäèì, ÷òîïîâîðîòâñåãäàçàäàåòñÿîñüþ, óãëîì èíàïðàâëåíèåìïîâîðîòà.
Òåîðåìà1. Ïîâîðîòâîêðóãïðÿìîéñîõðàíÿåòðàññòîÿíèÿ,ò.å. ÿâëÿåòñÿäâèæåíèåì.
Ñì.Äîêàçàòåëüñòâî2.
Òåîðåìà2. Åñëèäâèæåíèåïðîñòðàíñòâàèìååò ìíîæåñòâîìñâîèõíåïîäâèæíûõòî÷åê ïðÿìóþ,òî îíîÿâëÿåòñÿïîâîðîòîìâîêðóã ýòîéïðÿìîé.
7.1.Ôèãóðûâðàùåíèÿ.
Ôèãóðàíàçûâàåòñÿôèãóðîéâðàùåíèÿ,åñëèñóùåñòâóåòòàêàÿ ïðÿìàÿ,ëþáîéïîâîðîò âîêðóãêîòîðîéñîâìåùàåòôèãóðó ñàìóñ ñîáîé,äðóãèìè