Реферат: Эффективные характеристики случайно неоднородных сред

           Введение

Решающуюроль в восприятии окружающего мира играют характеристики, сохраняющиеся (взамкнутых системах). Среди них имеются такие универсальные, как масса,количество движения, момент количества движения, энергия и энтропия.

Вучении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых,жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природевесьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычноразвиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Переностеплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением,или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуютсяразличными законами.

Процесспереноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимисятелами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводностиоднородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретическийфундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошоразработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой,согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.

<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Приопределении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаютсяизвестные трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно нерешены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются внеоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются пообъему; кроме того,трудностивозникают с увеличением сложности конфигурации системы.

Уравнение теплопроводностиимеет вид:

<img src="/cache/referats/1418/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">                  <img src="/cache/referats/1418/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">                                                                            (1)

выражаеттот факт, что изменения теплосодержания определенной массы вещества,заключенного в единице объема, определяется различием между притоком ивытеканием энергии  — дивергенциейплотности теплового потока  <img src="/cache/referats/1418/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/1418/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

При разработке методовиследования композиционных материалов весьма трудно и, по-видимому, не имеетсмысла (в тех случаях, когда это можно практически реализовать) полностьюучитывать структуру копмозита. В связи с этим возникла необходимость связатьмеханику композитных материалов с механизмами элементов конструкций,развивающимися обычно в рамках континуальных процессах. Эта задача решается впроцессе создания теории определения приведенных свойств композитных материаловразличных структур (слоистые, волокнистые и др.), при описании их поведения врамках континуальных представлений. Таким образом совершается переход откусочно-однородной среды к однофазной.

Рассмотрим двухфазныйкомпозитный материал, представляющий собой матрицу, в которой случайным образомраспределены включения второй фазы (армирующий элемент), имеющий приблизительноравноосную форму. Количество включений достаточно велико на участке изменениятемпературы. Пусть некая характеристика матрицы — <img src="/cache/referats/1418/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/1418/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

<img src="/cache/referats/1418/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">                                                                                                                        (2) 

Где <img src="/cache/referats/1418/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032">       <img src="/cache/referats/1418/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033">           <img src="/cache/referats/1418/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

Подстановка (2) в (1) дает:

<img src="/cache/referats/1418/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035">                                         (3)

Имеем операторы:

<img src="/cache/referats/1418/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036">                                                                                                             (4а)

<img src="/cache/referats/1418/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037">                                                                            (4б)

Послепреобразования Фурье получаем

 <img src="/cache/referats/1418/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

<img src="/cache/referats/1418/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

 

Уравнениедля функции Грина   <img src="/cache/referats/1418/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040">       и <img src="/cache/referats/1418/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> 

где   <img src="/cache/referats/1418/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042">                                                                                            (5)

<img src="/cache/referats/1418/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043">  — ур. Дайсона.                                          (6)

<img src="/cache/referats/1418/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

 

Функция Грина <img src="/cache/referats/1418/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1045">  (2), аоператор <img src="/cache/referats/1418/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> можно назватьоператором возмущения, поскольку он определяет форму и расположениенеоднородностей.

Решимуравнение итерациями

<img src="/cache/referats/1418/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

Вычислимсначала <img src="/cache/referats/1418/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

<img src="/cache/referats/1418/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

Здесь<img src="/cache/referats/1418/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1050">         <img src="/cache/referats/1418/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051">         <img src="/cache/referats/1418/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1052">        <img src="/cache/referats/1418/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

<img src="/cache/referats/1418/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

<img src="/cache/referats/1418/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055">

<img src="/cache/referats/1418/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1056">           <img src="/cache/referats/1418/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1057">      <img src="/cache/referats/1418/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1058">      <img src="/cache/referats/1418/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1059">          (7)

 

Теперьопределим

<img src="/cache/referats/1418/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

<img src="/cache/referats/1418/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1061">       <img src="/cache/referats/1418/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1062">            <img src="/cache/referats/1418/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1063">      <img src="/cache/referats/1418/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1064">      <img src="/cache/referats/1418/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

 

Теперьнеобходимо вычислить

<img src="/cache/referats/1418/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1066">

<img src="/cache/referats/1418/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1067">

<img src="/cache/referats/1418/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1068">

Такимобразом

<img src="/cache/referats/1418/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1069">                                                                                                   (8)

Подставляемв (6) равенство (8)

<img src="/cache/referats/1418/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

<img src="/cache/referats/1418/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1071">    где       <img src="/cache/referats/1418/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> и  <img src="/cache/referats/1418/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1073">                                                                          (9)

Подставляем(5) в (9)

<img src="/cache/referats/1418/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1074">

<img src="/cache/referats/1418/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1075">

<img src="/cache/referats/1418/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

<img src="/cache/referats/1418/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1077">    

где  <img src="/cache/referats/1418/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1078">   и <img src="/cache/referats/1418/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1079">          

<img src="/cache/referats/1418/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1080">                                                                                                   (10)

<img src="/cache/referats/1418/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1081">       (11)

где   <img src="/cache/referats/1418/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1082">     ,   <img src="/cache/referats/1418/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1083">                                                                   (12)

<img src="/cache/referats/1418/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1084">

<img src="/cache/referats/1418/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1085">

<img src="/cache/referats/1418/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1086">

<img src="/cache/referats/1418/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1087"><img src="/cache/referats/1418/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1088">

<img src="/cache/referats/1418/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1089">

<img src="/cache/referats/1418/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1090">                         (13)

1. Ограничимся первым приближением

`<img src="/cache/referats/1418/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1091"><img src="/cache/referats/1418/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1092">     <img src="/cache/referats/1418/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

<img src="/cache/referats/1418/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1094">      <img src="/cache/referats/1418/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1095">       <img src="/cache/referats/1418/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1096">                                                                                                                      (14)

 

<img src="/cache/referats/1418/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1097">

<img src="/cache/referats/1418/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1098">

Рассмотрим:

<img src="/cache/referats/1418/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1099">

<img src="/cache/referats/1418/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1100">

<img src="/cache/referats/1418/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1101">

<img src="/cache/referats/1418/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1102">                                  (15)

2. Ограничимся вторым приближением

<img src="/cache/referats/1418/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1103">            <img src="/cache/referats/1418/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1104">                                                                                                       (16)

<img src="/cache/referats/1418/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1105">

<img src="/cache/referats/1418/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1106">                <img src="/cache/referats/1418/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1107">                                                                                                           (17)

Из (12) найдем:

<img src="/cache/referats/1418/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1108">                 (18)

Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим:

<img src="/cache/referats/1418/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1109">                                                (19)

Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13),получим:

<img src="/cache/referats/1418/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1110"><img src="/cache/referats/1418/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1111">

<img src="/cache/referats/1418/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1112">

Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1113"><img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> из-за малостипроизведения пренебрегаем

А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1115"><img src="/cache/referats/1418/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> из-за (14)

<img src="/cache/referats/1418/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1117">        подставляя(17), найдем

<img src="/cache/referats/1418/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1118">                                                                                                                      (20)

Подставляя (18) в (11)с учетом (16), получим:

<img src="/cache/referats/1418/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1119">          (21)

Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13),получим:

<img src="/cache/referats/1418/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1120">

<img src="/cache/referats/1418/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1121">

Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1122"><img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1123"> из-за малостипроизведения пренебрегаем

А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1124"><img src="/cache/referats/1418/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1125"> из-за (15)

<img src="/cache/referats/1418/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1126">

<img src="/cache/referats/1418/image199.gif" v:shapes="_x0000_i1127">                                                                                                     (22)

3. Ограничимся третьим приближением

<img src="/cache/referats/1418/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1128">          <img src="/cache/referats/1418/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1129">                                                                      (23)

Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:

<img src="/cache/referats/1418/image205.gif" v:shapes="_x0000_i1130">          (24)

Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13),получим

<img src="/cache/referats/1418/image207.gif" v:shapes="_x0000_i1131">

<img src="/cache/referats/1418/image209.gif" v:shapes="_x0000_i1132">

<img src="/cache/referats/1418/image211.gif" v:shapes="_x0000_i1133">

Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> ,<img src="/cache/referats/1418/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1135"><img src="/cache/referats/1418/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1136"> из-за малостипроизведения пренебрегаем

А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1137"><img src="/cache/referats/1418/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> из-за (14), а с<img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1139">  (18)

<img src="/cache/referats/1418/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1140">

<img src="/cache/referats/1418/image220.gif" v:shapes="_x0000_i1141">                                                                                                   (25)

                                  

Подставляя (18) в (11)с учетом (23), получим:

<img src="/cache/referats/1418/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1142">                                                                      (26)

Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13),получим:

<img src="/cache/referats/1418/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1143">

<img src="/cache/referats/1418/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1144">

Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1145"> ,<img src="/cache/referats/1418/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1146"><img src="/cache/referats/1418/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1147"> из-за малостипроизведения пренебрегаем

А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><img src="/cache/referats/1418/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> из-за (15), а с<img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1150">

<img src="/cache/referats/1418/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1151">

<img src="/cache/referats/1418/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1152">                                         (27)

Анализ<img src="/cache/referats/1418/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1153"> и  <img src="/cache/referats/1418/image235.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> показывает, что  <img src="/cache/referats/1418/image237.gif" v:shapes="_x0000_i1155"> и  <img src="/cache/referats/1418/image239.gif" v:shapes="_x0000_i1156"> дейсвительныекоэффициенты, а  <img src="/cache/referats/1418/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1157">

Список литературы:

1.Т. Д. Шермергор “Теория упругости микронеоднородных сред” М., “Наука”, 1977.

2.Г.А. Шаталов “Эффективные характеристики изотропных композитов как задачамногих тел”  

    МКМ, №1, 1985.

еще рефераты
Еще работы по физике