Реферат: Эффективные характеристики случайно неоднородных сред
Введение
Решающуюроль в восприятии окружающего мира играют характеристики, сохраняющиеся (взамкнутых системах). Среди них имеются такие универсальные, как масса,количество движения, момент количества движения, энергия и энтропия.
Вучении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых,жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природевесьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычноразвиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.
Переностеплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением,или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуютсяразличными законами.
Процесспереноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимисятелами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводностиоднородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретическийфундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошоразработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой,согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.
<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">Приопределении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаютсяизвестные трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно нерешены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются внеоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются пообъему; кроме того,трудностивозникают с увеличением сложности конфигурации системы.
Уравнение теплопроводностиимеет вид:
<img src="/cache/referats/1418/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> <img src="/cache/referats/1418/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> (1)
выражаеттот факт, что изменения теплосодержания определенной массы вещества,заключенного в единице объема, определяется различием между притоком ивытеканием энергии — дивергенциейплотности теплового потока <img src="/cache/referats/1418/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/1418/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">
При разработке методовиследования композиционных материалов весьма трудно и, по-видимому, не имеетсмысла (в тех случаях, когда это можно практически реализовать) полностьюучитывать структуру копмозита. В связи с этим возникла необходимость связатьмеханику композитных материалов с механизмами элементов конструкций,развивающимися обычно в рамках континуальных процессах. Эта задача решается впроцессе создания теории определения приведенных свойств композитных материаловразличных структур (слоистые, волокнистые и др.), при описании их поведения врамках континуальных представлений. Таким образом совершается переход откусочно-однородной среды к однофазной.
Рассмотрим двухфазныйкомпозитный материал, представляющий собой матрицу, в которой случайным образомраспределены включения второй фазы (армирующий элемент), имеющий приблизительноравноосную форму. Количество включений достаточно велико на участке изменениятемпературы. Пусть некая характеристика матрицы — <img src="/cache/referats/1418/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/1418/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">
<img src="/cache/referats/1418/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> (2)
Где <img src="/cache/referats/1418/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> <img src="/cache/referats/1418/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> <img src="/cache/referats/1418/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1034">
Подстановка (2) в (1) дает:
<img src="/cache/referats/1418/image022.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> (3)
Имеем операторы:
<img src="/cache/referats/1418/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> (4а)
<img src="/cache/referats/1418/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> (4б)
Послепреобразования Фурье получаем
<img src="/cache/referats/1418/image028.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
<img src="/cache/referats/1418/image030.gif" v:shapes="_x0000_i1039">
Уравнениедля функции Грина <img src="/cache/referats/1418/image032.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> и <img src="/cache/referats/1418/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1041">
где <img src="/cache/referats/1418/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> (5)
<img src="/cache/referats/1418/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> — ур. Дайсона. (6)
<img src="/cache/referats/1418/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1044">
Функция Грина <img src="/cache/referats/1418/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> (2), аоператор <img src="/cache/referats/1418/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> можно назватьоператором возмущения, поскольку он определяет форму и расположениенеоднородностей.
Решимуравнение итерациями
<img src="/cache/referats/1418/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1047">
Вычислимсначала <img src="/cache/referats/1418/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1048">
<img src="/cache/referats/1418/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1049">
Здесь<img src="/cache/referats/1418/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> <img src="/cache/referats/1418/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> <img src="/cache/referats/1418/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> <img src="/cache/referats/1418/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1053">
<img src="/cache/referats/1418/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1054">
<img src="/cache/referats/1418/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1055">
<img src="/cache/referats/1418/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1056"> <img src="/cache/referats/1418/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> <img src="/cache/referats/1418/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> <img src="/cache/referats/1418/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> (7)
Теперьопределим
<img src="/cache/referats/1418/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1060">
<img src="/cache/referats/1418/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> <img src="/cache/referats/1418/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> <img src="/cache/referats/1418/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> <img src="/cache/referats/1418/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> <img src="/cache/referats/1418/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1065">
Теперьнеобходимо вычислить
<img src="/cache/referats/1418/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1066">
<img src="/cache/referats/1418/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1067">
<img src="/cache/referats/1418/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1068">
Такимобразом
<img src="/cache/referats/1418/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> (8)
Подставляемв (6) равенство (8)
<img src="/cache/referats/1418/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1070">
<img src="/cache/referats/1418/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1071"> где <img src="/cache/referats/1418/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> и <img src="/cache/referats/1418/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> (9)
Подставляем(5) в (9)
<img src="/cache/referats/1418/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1074">
<img src="/cache/referats/1418/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1075">
<img src="/cache/referats/1418/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1076">
<img src="/cache/referats/1418/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1077">
где <img src="/cache/referats/1418/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> и <img src="/cache/referats/1418/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1079">
<img src="/cache/referats/1418/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> (10)
<img src="/cache/referats/1418/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1081"> (11)
где <img src="/cache/referats/1418/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> , <img src="/cache/referats/1418/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> (12)
<img src="/cache/referats/1418/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1084">
<img src="/cache/referats/1418/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1085">
<img src="/cache/referats/1418/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1086">
<img src="/cache/referats/1418/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1087"><img src="/cache/referats/1418/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1088">
<img src="/cache/referats/1418/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1089">
<img src="/cache/referats/1418/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> (13)
1. Ограничимся первым приближением
`<img src="/cache/referats/1418/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1091"><img src="/cache/referats/1418/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> <img src="/cache/referats/1418/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1093">
<img src="/cache/referats/1418/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> <img src="/cache/referats/1418/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1095"> <img src="/cache/referats/1418/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> (14)
<img src="/cache/referats/1418/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1097">
<img src="/cache/referats/1418/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1098">
Рассмотрим:
<img src="/cache/referats/1418/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1099">
<img src="/cache/referats/1418/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1100">
<img src="/cache/referats/1418/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1101">
<img src="/cache/referats/1418/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1102"> (15)
2. Ограничимся вторым приближением
<img src="/cache/referats/1418/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1103"> <img src="/cache/referats/1418/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1104"> (16)
<img src="/cache/referats/1418/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1105">
<img src="/cache/referats/1418/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1106"> <img src="/cache/referats/1418/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1107"> (17)
Из (12) найдем:
<img src="/cache/referats/1418/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1108"> (18)
Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим:
<img src="/cache/referats/1418/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> (19)
Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13),получим:
<img src="/cache/referats/1418/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1110"><img src="/cache/referats/1418/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1111">
<img src="/cache/referats/1418/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1112">
Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1113"><img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1114"> из-за малостипроизведения пренебрегаем
А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1115"><img src="/cache/referats/1418/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> из-за (14)
<img src="/cache/referats/1418/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> подставляя(17), найдем
<img src="/cache/referats/1418/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> (20)
Подставляя (18) в (11)с учетом (16), получим:
<img src="/cache/referats/1418/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> (21)
Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13),получим:
<img src="/cache/referats/1418/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
<img src="/cache/referats/1418/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1121">
Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1122"><img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1123"> из-за малостипроизведения пренебрегаем
А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1124"><img src="/cache/referats/1418/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1125"> из-за (15)
<img src="/cache/referats/1418/image197.gif" v:shapes="_x0000_i1126">
<img src="/cache/referats/1418/image199.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> (22)
3. Ограничимся третьим приближением
<img src="/cache/referats/1418/image201.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> <img src="/cache/referats/1418/image203.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> (23)
Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:
<img src="/cache/referats/1418/image205.gif" v:shapes="_x0000_i1130"> (24)
Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13),получим
<img src="/cache/referats/1418/image207.gif" v:shapes="_x0000_i1131">
<img src="/cache/referats/1418/image209.gif" v:shapes="_x0000_i1132">
<img src="/cache/referats/1418/image211.gif" v:shapes="_x0000_i1133">
Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1134"> ,<img src="/cache/referats/1418/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1135"><img src="/cache/referats/1418/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1136"> из-за малостипроизведения пренебрегаем
А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1137"><img src="/cache/referats/1418/image216.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> из-за (14), а с<img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> (18)
<img src="/cache/referats/1418/image218.gif" v:shapes="_x0000_i1140">
<img src="/cache/referats/1418/image220.gif" v:shapes="_x0000_i1141"> (25)
Подставляя (18) в (11)с учетом (23), получим:
<img src="/cache/referats/1418/image222.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> (26)
Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13),получим:
<img src="/cache/referats/1418/image224.gif" v:shapes="_x0000_i1143">
<img src="/cache/referats/1418/image226.gif" v:shapes="_x0000_i1144">
Коэффициентами при <img src="/cache/referats/1418/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1145"> ,<img src="/cache/referats/1418/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1146"><img src="/cache/referats/1418/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1147"> из-за малостипроизведения пренебрегаем
А коэффициенты без <img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1148"><img src="/cache/referats/1418/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> из-за (15), а с<img src="/cache/referats/1418/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1150">
<img src="/cache/referats/1418/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1151">
<img src="/cache/referats/1418/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> (27)
Анализ<img src="/cache/referats/1418/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1153"> и <img src="/cache/referats/1418/image235.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> показывает, что <img src="/cache/referats/1418/image237.gif" v:shapes="_x0000_i1155"> и <img src="/cache/referats/1418/image239.gif" v:shapes="_x0000_i1156"> дейсвительныекоэффициенты, а <img src="/cache/referats/1418/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1157">
Список литературы:
1.Т. Д. Шермергор “Теория упругости микронеоднородных сред” М., “Наука”, 1977.
2.Г.А. Шаталов “Эффективные характеристики изотропных композитов как задачамногих тел”
МКМ, №1, 1985.