Реферат: Расчёт волновой функции в квантовой яме сложной формы
Ł Łæ æ Æ Ł — ææŁØæŒ Ø ŁŁ
Œ -ˇ Æ ªæŒŁØ ª æ æ ßØ ºŁ ı Ł æŒŁØ Ł æŁ
— æ … -ª Ł æŒ Æ
˛ º Œ ŁŒ Ł Œ ß ŁÆ ß¿
: ˚ ŁŒ ˚ æ Ł ˚ æ Ł Ł
ˆ: 3093/2 Œ º: — Ł Ł Ł æŒŁØ
ˇ º :
˚ Ł ŁØ ¨ª Ł
Œ -ˇ Æ ª
2010
˛ªº º Ł
1 ı Ł æŒ
• ˝ Ø Ł ªŁŁ Ł º ß Œ ŁŁ ª Ł ª æ Ł ßı æ æ ŁØ º Œ Ł º Ø æº ø ª Ł :
, Ł
, Ł
, Ł
˙ æ .
• ˇ æ Ł ª ŁŒŁ º ßı Œ ŁØ Łı æ æ ŁØ. ´ß ŁæºŁ æ Ł Æ Ł º Œ Œ Ł æ Œ ß º Œ ßı æ æ -
ŁØ.
—Łæ. 1: ˇ Ł º º
2 ºŁ
˚ Œ Ł æ | Ł æº | æ ŁØ ¸ ª | Ø | ı ŁŒŁ [2], | Ł | ŁŒ º Æ Ø | ı Ł- |
æŒ Ø æŁæ ß | ı Œ Ł | Œ Ł Ø ˆ Łº | . º ª | Ø | |||
Œ ŁŁ Œ | Ø | ŁŁ æº Ł | H ˆ (ˆ Łº | Ł | ) [3]. ˇ Ł | æ - | |
æ Ł Ł Ł | æŒ Ø æŁæ | ß Œ | Ø | ı ŁŒ Łæß | º | Œ Ł | |
Ψ (r,t ) [3], Œ [4]: | æ | º | æ º ß | Ł | … Ł ª - |
(1)
ˆ Łº Ł ß æ æ Ø ŒŁ Ł æŒ Ø Ł Ł º Ø
ªŁØ º Œ Ł º º [3]:
H ˆ = T ˆ + U ˆ
— ºŁ ß, æ º łŁæ :
(2)
ˇ æŒ º Œ | º | æ | Ł | (2) | ŁæŁ | º Œ | t , | º Œ |
r, Æ Ł º | ß | æ | Ø Ł | Ø | Œ æ | º | Ł : |
´ æ | º Ø | Æ æ | ºŁ | ı | Œ | Łæ ŁŒŁ æŁæ | ß | æ | Ł - |
ßı æ æ | Ł ı, | Œ Ł | æŒŁØ Ł | æ | æ | º ºŁł | ł | Ł | - |
ª Œ ŁŁ. | Ł Ł | Ø æŁæ | ß, æ | ø ª | æ | º Ł ºŁ | ß | º | Ø |
… ª, Ł º º (
(3)
ŒŁ | Æ | , | ł | Ł æ | º æ Œ Ł | æ | Ø | Ł ŁŒ [1] | æ Ææ | - |
ß | Ł ( | æº | : | ¸Ł Łºº ). |
(4)
´ Œ Ø ı ŁŒ º Œ Ł Ł Ł Ł æŒŁı æ Æ ŁØ -
Œº ß º Ł º ß æº Ł [4]:
• æº Ł Ł ŒŁ
(5)
˝ æ æ ß Ł ª Ł Ł ºŁ Ł Œ ŁŁ ϕ (t ):
ˇ æ Ł ª Ł Ł ßÆ ŒŁ Æ, Æß Œ Ł
Ψ (x,t ) Æߺ Ł .
(6)
• | æº Ł | ª º æ Ł | ||||
1. ´ º | Œ Ł | Ł Ł | Æ æŒ | ßı | ŁØ, | ŒŁı, |
Ł ª | º (6) æ | æı | øŁ æ . |
2. ´ º Œ Ł º Æß Ø Œ Ł Ø Œ Ł Ł | - | |||
Ł, Œ Œ Œ º æ æ Ł Æ Ł æ Ł ß º º æ . | - | |||
3. ´ º Æ Ø Ł º Œ Ł Ł … æ ß Ł | ß | |||
º ß Æß ß ß Ł Œ Ł Ł æ æ ßı Œ Ł | . | |||
´ æ º Ø Ł º º (Œ ) ºŁ Ł æŒŁ æß æ Œ Ł Ø U (x ), Ł ø Ø æŁ Ł æŁ º ß −x x : | Ł- | |||
U (−x ) = U (x ) | ||||
ˇ Ł ºŁ ŁŁ Ł æŁŁ æ Ææ | ß Œ ŁŁ ˆ Łº ºŁÆ | - | ||
Ł æŒŁ Ł | º… | … æ, ºŁÆ ª Æß Æ | ß | Œ- |
ŁŁ, Ł øŁ — | º… … | æ [3]. | ||
1. — ł Ł | Ł æ Ł æ Œ | ł Ł Ł ¸Ł | Łºº . | |
2. — ł Ł | º æ æ Ææ | ß Œ ŁŁ f (x ) Ł æ Ææ | ß Ł | E |
( ªŁŁ) | ˆ Łº | H ˆ. | ||
3. ˛ | ß ª Ł ß æº | Ł Ł ¸Ł Łºº | º æ Ł | |
ß | Ł º . | |||
4. Ææ | ß Œ ŁŁ f (x ) | ƺ º… Ø … æ | ŁºŁ Ł | |
æ Ł | æ æ Ł . | |||
5. — ł | º Ł Ł º, æ ł | Ł æ ł - | ||
æ æ | æ ø æŁ | ŁŁ. | ||
6. ˝ Œ ŁŁ f (x ) Œº ß | æ æº Ł ª º æ Ł Ł | ß æ Ł º - | ||
Æ æ Ł æ æ Ł . |
3 — æ …
• ˇ ºŁ Ł Ł Œ ŁŁ f (x ) Œ ı æŁ ª º æ Ł:
— ł Ł Ł y = ekx : k 2ekx − æ2 2ekx = 0 ⇒ k 2 − æ2 = 0 ⇒ k = ±æ
y = C 1e æx + C 2e −æx
¨ æº Ł ª º æ Ł y : C 1 → 0 ⇒ y = C 2e −æx
.Œ. U (x ) → ∞ ⇒ æ → ∞ ⇒ y → 0
(7)
• — ææ Ł ł Ł Ł Ł :
(8)
• — ææ Ł ł Ł Ł Ł :
y 00 − α 2y = 0 (9)
— ł Ł Ł y = ekx : k 2ekx − α 2 2ekx = 0 ⇒ k 2 − α 2 = 0 ⇒ k = ±α
y = C 1e αx + C 2e −αx
• Ł (4) º æ Œ :
ˇ º Ł Ł (9), Æø ł Ł: y 1 = A sh(κx ) + B ch(κx )
¯æºŁ f (x ) …: (0) = 0;æºŁ f (x ) …: y 1 (0) = 0
f (x ) … :
y 10 = Aκ ch(κx ) + Bκ sh(κx ) y 10 (0) = Aκ = 0
.Œ. κ 6= 0 → A = 0
y 1 = B ch(κx ) (10)
f (x ) … :
(11)
• Ł (4) º æ Œ :
ˇ º Ł Ł (8), Æø ł Ł: y 2 = D sin(γx + ϕD ) ¨ Œ ßı æº ŁØ:
(12)
• | ŒŁ | Æ | , Ψ (x ) | Ł | Ł : |
, Ł
y 1+ = B ch(κx ), Ł
, Ł
, Ł
, Ł
, Ł
• ¨ æº ŁØ ª º æ Ł f (x ) ß Œ æº øŁ æ ł Ł :
+ f (x ) … :
˜º Ææ ł Ł ª æ ª Ł … ß :
(13)
− f (x ) … :
˜º Ææ ł Ł ª æ ª Ł … ß :
(14)
• ˜º ł Ł (13) Ł (14) ææ Ł ø… Ł :
(15)
• ˇ | æ | Ł | (15) | (13)Ł (14): |
( … ß ł Ł )
( … ß ł Ł )
—Łæ. 2: — ł | Ł | æ | ßı | ŁØ | ||||
• — ł | ª | Ł æŒŁ æ | Ł , | ı | Ł | æ Ææ | ß | Ł : |
(16)
• ´ … Ł Œ Ł
ŁØ f (z ):
Ł ºŁ Ł æ Ææ ßı Œ-
, Ł
y 1 + = B ch(p(2π )2 − η 2z ), Ł
, Ł
, Ł
y 1− = A sh(p 2 − η 2z ), Ł
(2π )
, Ł
• ¨ æº Ł Ł ŒŁ ºŁ Œ æ ß A, B Ł D, º Ææ æŁæ æ n = 0:
¨æ º Ł ß æ Ł, º æŁæ º … ßı ł ŁØ:
¨ º … ßı ł ŁØ:
Łæº ł Ł
1. … ł Ł: η 3 = 5. 261
2. ˝ … ł Ł: η 4 = 5. 308
3. ªŁŁ ª Ł ª æ Ł ßı æ æ ŁØ º Œ Łº Ø :
4. ´ º 3 : | ß | Œ ŁŁ: |
, Ł
y 1+ = 0. 270ch(3. 435z ), Ł
, Ł
4 :
, Ł
, Ł , Ł
5. ´ | æ | ı | Ł | æ Ł ß | æ Œ | ı | ß: |
3 :
4 :
6. ˆ ŁŒŁ º ßı Œ ŁØ:
—Łæ. 3: 3 æ Ł æ æ Ł
—Łæ. 4: 4 æ Ł æ æ Ł
4 ¸Ł
[1] ´.. ´º Ł Ł . | Ł | Ł æŒ Ø Ł ŁŒŁ. | .: ˝ Œ, 1988. |
[2] ¸ ¸.˜., ¸Ł łŁ Œ, 1988. | ¯. . | Ł æŒ Ł ŁŒ: ı | ŁŒ: 10. .: ˝ - |
[3] ¸ ¸.˜., ¸Ł łŁ | ¯. . | Ł æŒ Ł ŁŒ: ˚ | ı ŁŒ ( º - |
Ł ŁØæŒ Ł ): | 10 . | .: ˝ Œ, 1989. | |
[4] ˇ... ˜Ł Œ. ˇ Ł | Ł ß Œ | Ø ı ŁŒŁ. .: ˝ | Œ, 1979. |