Реферат: Аксиоматическое построение системы первичных уравнений электромагнитного поля

УДК 537.812

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ

ПЕРВИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В.В. Сидоренков

МГТУ им. Н.Э. Баумана

На основе корпускулярно-полевого дуализма электромагнитных характеристик материи сформулированы физико-математические принципы аксиоматического построения первичных уравнений электромагнитного поля, физическое содержание которых представляет собой концептуально новый уровень развития полевой теории классического электромагнетизма.

Известно [1], что в электромагнетизме базовой физической характеристикой материального тела является его электрический заряд, представление о котором на микроуровне имеет принципиальное дополнение: элементарная частица характеризуется не только зарядом q, кратным заряду электрона |e-|, но и спином s, трактуемым как собственный момент количества движения частицы, величина которого квантована значением h/2, где h — постоянная Планка. Таким образом, локальными (корпускулярными) электромагнитными характеристиками микрочастицы являются электрический заряд, определяющий ее электрические свойства и собственный момент, ответственный за ее магнитные свойства, поскольку истинный магнетизм имеет спиновую природу.

С другой стороны, обратим внимание на основополагающую аксиому философии: «пространствоивремяесть формысуществованияматерии», означающую невозможность в принципе существования материи вне пространства и времени, соответственно, реализации пространства и времени без материи. Иными словами, характеристики материи и пространства-времени едины и взаимно обусловлены. По нашему мнению, аксиома концептуально обосновывает реальность корпускулярно-полевого дуализмаматерии, который, казалось бы, отличен только лишь по названию от «корпускулярно-волнового дуализма» частиц микромира в квантовой механике. Формально и здесь и там имеем неразрывную взаимосвязь материи с ее пространственно-временным собственным полем. Однако сущностные различия принципиальны: представления корпускулярно-полевого дуализма основаны на объективном единстве частицы материи и ее поля в реальном пространстве физического вакуума, а в концепции корпускулярно-волнового дуализма материальная частица представляется волной вероятности в абсолютно пустом, абстрактном пространстве.

На базе этой логики приходим к выводу, что и электромагнитные характеристики микрообъектов должны обладать «корпускулярно-полевым дуализмом», благодаря которомууказанным выше локальным параметрам частицы соответствует некий полевой аналог в виде ее собственного первичного поля. Такой вывод вовсе не так тривиален, как может показаться на первый взгляд, ведь он относится не к известному электромагнитному полю силового взаимодействия зарядов друг с другом на расстоянии, а к иному, далеко не очевидному, первичному полю микрочастицы. Более конкретно пока можно лишь сказать, что если такое поле действительно реально, то оно обязательно должно быть функционально связано с обычным векторным электромагнитным полем. По этой причине полагаем первичное поле также векторным, где электрическая вектор-компонента /> порождена зарядом микрочастицы q, а магнитная компонента /> — удельным (на единицу заряда) моментом n(/>), кратным (n — натуральное число) кванту магнитного потока [1]. А поскольку экспериментально электрический заряд и спин выявляются опосредовано измерением характеристик электромагнитного поля, то физически логично считать, что и компоненты первичного поля предполагаемых корпускулярно-полевых пар будут также определяться посредством того же электромагнитного поля.

Как видим, наша основная задача — разобраться далее, что должно представлять собой такое поле, каким образом можно аналитически описать его физические свойства и в итоге аксиоматически построить уравнения функциональной взаимосвязи компонент этого гипотетического поля /> и /> с реально наблюдаемыми в настоящее время компонентами электромагнитного поля в виде электрической /> и магнитной /> напряженностей.

Можно попытаться уже сейчас поставить вопрос, каким должно быть обсуждаемое первичное поле. Например, известен физически интересный факт, что в волновое уравнение квантовой механики (уравнение Шрёдингера) входит поле векторного магнитного потенциала, которое в принципе не может быть заменено полем вектора магнитной индукции. Вполне возможно, что именно электрическая и магнитная компоненты поля векторного потенциала и есть первичные полевые характеристики микрочастицы, полевой эквивалент ее локальных параметров. Однако сегодня о физических свойствах электромагнитного векторного потенциала известно сравнительно мало, да и вообще пока не ясно, соответствует ли данное предположение действительности. Все это и многое другое мы должны выяснить в процессе проводимых исследований.

Итак, продолжим наши рассуждения. Поскольку компоненты обсуждаемого гипотетического первичного поля есть векторные функции пространственно-временных переменных, то описывающие их поведение дифференциальные уравнения наиболее просто можно получить действием на /> и /> пространственной производной первого порядка (оператор «набла») /> со свойствами вектора и скалярной частной временной производной />. При этом естественно возникает принципиальный вопрос о допустимости именно таких математических действий с точки зрения физического содержания получаемых результатов, их адекватности рассматриваемой проблеме.

В сложившейся ситуации воспользуемся чрезвычайно важным замечанием классика электродинамики Дж.К. Максвелла, который настоятельно призывал [2] ответственно относиться к математическим операциям над векторами электромагнитного поля и их физической трактовке. Вот его слова ([2] п. 12): “В науке об электричестве электродвижущая и магнитная напряженности принадлежат к величинам первого класса – они определены относительно линии. ...Напротив, электрическая и магнитная индукция, а также электрические токи принадлежат к величинам второго класса – они определены относительно площади”. Как видим, тут конкретно говорится о принципиальных различиях электромагнитных векторов: напряженностей /> и /> – линейных (циркуляционных)векторов, соответственно, электрической /> и магнитной /> индукций, плотности электрического тока /> –потоковых векторов. Здесь материальные параметры среды: /> — электрическая и /> — магнитная абсолютные проницаемости, /> — удельная электропроводность.

В развитие сказанного далее Максвелл обсуждает корректные математические действия над функциями полей указанных векторов с точки зрения физики ([2] п. 14): “В случае напряженности следует брать интеграл вдоль линии от произведения элемента длины этой линии на составляющую напряженности вдоль этого элемента. … В случае потоков следует брать интеграл по поверхности от потока через каждый ее элементов”. Тогда в рамках таких условий при переходе к дифференциальной форме записи этих математических действий операция «ротора» (см. теорему Стокса) допустима только для полевых функций линейныхвекторов: /> и />, а взятие «дивергенции» (см. теорему Гаусса-Остроградского) возможно лишь от функций поля потоковых векторов: />, /> и />.

К сожалению, призывы Максвелла к учету физико-математических различий функций векторов электромагнитного поля обычно игнорируют, когда даже в учебной литературе формально пишут физически бессмысленные выражения /> и />, создавая путаницу понятий в умах читателей, превращая в абсурд процесс познания, а обучение — в бестолковое занятие. Как показывает практика научной работы и преподавание все это следствие завидной живучести в умах самих «просветителей» (часто на подсознательном уровне) инородной электродинамике гауссовой системы единиц с ее безразмерными коэффициентами /> и />, где векторы /> и />, /> и /> – тождественны. В итоге выхолащивается физическое содержание в соотношениях электромагнетизма и выпячивается на передний план формализм математики. Возможно, этот математический нигилизм и есть одна из причин концептуального застоя в классической электродинамике, которая после Максвелла как наука уже не развивалась, несмотря на серьезную методическую модернизацию исходных максвелловских уравнений и грандиозные успехи внедрения достижений электромагнетизма во многих областях жизни человеческого общества.

Странно, но сложившееся положение дел считается нормальным. Более того, повсеместно с помпой утверждается, что «данная область знания наиболее полно разработана во всех ее аспектах, и настоящий ее уровень является вершиной человеческого гения». Однако надо думать, что эти громкие заявления, конечно, не относятся собственно к самой электромагнитной теории, а касаются только математического уровня ее описания. Ведь математика — всего лишь язык физики. Правда, полезная глобальная математизация современных методов научных исследований порождает иллюзию, что именно уровень развития математики определяет сегодня прогресс наших знаний о Природе. Надо обладать немалым мужеством и веской аргументацией, чтобы в стремлении конструктивно изменить такую, казалось бы, тупиковую ситуацию во всеуслышание утверждать: физические представления классического электромагнетизма – это концептуально недостаточно исследованная область естествознания.

Итак, рассмотрим действие оператора «набла» и частной временной производной на векторные функции обсуждаемого здесь гипотетического первичного поля. Так как для потоковых векторов, следуя здравой логике Максвелла, операция «ротора» недопустима, то функции /> и /> считаем полями линейных векторов. В этом случае мы получим два (из трех возможных) варианта записи действия указанных операторов на представленные функции: /> и />, /> и />. А преобразование линейных векторов /> и /> в потоковые /> и />, аналогичные известным потоковым векторам /> и />, описывающим отклик пространства среды на воздействие этих полей, позволяет записать другой, скалярный результат действия оператора «набла»: /> и />.

--PAGE_BREAK--

Эти выражения используем далее для физико-математического построения соотношений функциональной связи компонент гипотетического первичного поля /> и /> с компонентами электромагнитного поля в виде электрической /> и магнитной /> напряженностей. Поскольку взятие ротора функции поля линейного вектора дает функцию потокового вектора, то, дабы удовлетворить априорным требованиям взаимосвязи указанных полей, физически логично считать, что циркуляция векторов /> и /> первичного поля обусловлена явлением электрической /> и магнитной /> поляризации среды:

(a) />, (b) />. (1)

Здесь учтено, что компонента /> первичного поля микрочастицы есть полевой эквивалент ее электрического заряда, создающего электрическое поле, а компонента /> порождается спином частицы, ответственным за магнитное поле.

В соотношениях (1) ротор функций не равен нулю, что говорит о том, что компоненты первичного поля /> и /> являются вихревыми. По этой причине дивергентные уравнения для указанных полевых компонент запишем в виде соотношений кулоновской калибровки, определяющих математически чисто вихревой характер таких полей:

(a) />, (b) />. (2)

Поскольку действие скалярного оператора частной временной производной /> на векторную функцию не меняет ее геометрические свойства, то получаемые при этом новые векторы /> и /> останутся линейными (циркуляционными) векторами. А потому функциональная связь полей /> или /> возможна только с компонентами электромагнитного поля линейных векторов /> и /> напряженностей, причем для однозначного выбора пар этих компонент надо учесть, что равенство векторов возможно только при их коллинеарности. В качестве существенного уточнения заметим, что, согласно соотношениям (1), векторы в парах /> и />, соответственно, /> и /> взаимно ортогональны. Таким образом, с необходимостью приходим к соотношениям /> и />, которые, однако, нельзя считать окончательными. Ведь в наших рассуждениях никак не отражена принципиально важная характеристика материальной среды – ее электрическая проводимость />, которой в той или иной мере обладают все реальные среды. А это должно определенно повлиять на окончательный вид данных выражений.

Как известно [1], процесс электропроводности в хорошем приближении описывается законом Ома />, где электрическое поле в проводнике с током потенциально: />, то есть не может быть вихревым. Следовательно, полученное ранее соотношение /> является окончательным. Однако вихревое магнитное поле электрического тока существует. Это следует из закона сохранения заряда />, когда подстановки в него выражений закона Ома />, теоремы Гаусса /> и соотношения (1а) дают />, где /> — объемная плотность стороннего заряда, а /> — постоянная времени релаксации заряда в среде за счет ее электропроводности. В итоге искомые соотношения для вихревых /> и /> полей запишутся окончательно в виде

(a) />, (b) />. (3)

Таким образом, собирая полученные в наших физико-математических рассуждениях соотношения (1) — (3) вместе, приходим к системе дифференциальных уравнений функциональной взаимосвязи компонент нашего гипотетического поля /> и /> с реально наблюдаемыми в настоящее время компонентами электромагнитного поля в виде электрической /> и магнитной /> напряженностей:

(a) />, (b) />, (c) />,

(d) />, (e) />, (g) />. (4)

Как видим, данная система уравнений (4) описывает свойства необычного с точки зрения традиционных представлений вихревого векторного электродинамического поля, состоящего их четырех неразрывно связанных векторных компонент />, />, /> и />, которое условно можно назвать реальное электромагнитное поле.

Убедимся теперь, что свойства функций компонент полей в нашей системе уравнений действительно отвечают концепции корпускулярно-полевого дуализма электромагнитных характеристик материи, благодаря которому конкретному локальному параметру частицы соответствует свой полевой аналог в виде собственного первичного поля. Вначале рассмотрим электрическую компоненту /> первичного поля, причем для большей наглядности и математической общности представим соотношение (4а) в интегральной форме:

/>. (5)

Эти интегральные соотношения устанавливают физически содержательное положение о том, что величина циркуляции вектора /> по произвольному замкнутому контуру С определяется электрическим потоком /> через поверхность />, опирающуюся на этот контур, то есть поляризационным электрическим зарядом, индуцированным на указанной поверхности. Отсюда, в частности, следует определение поля вектора электрического смещения />, по величине равного поверхностной плотности поляризационного заряда />/>на пробной площадке, ориентация которой в данной точке создает на ней максимальное значение этого заряда, а нормаль к площадке указывает направление вектора />. Определение /> как потокового вектора показывает его принципиальное отличие от линейного (циркуляционного) вектора напряженности />, являющегося силовой характеристикой электрического поля.

Таким образом, согласно соотношению (5), электрическому заряду /> отвечает его полевой эквивалент — электрическая векторная компонента />первичного поля, размерность которого есть линейная плотность электрического заряда. Итак, действительно имеем реализацию первой фундаментальной корпускулярно-полевой пары /> с единицами измерения в системе СИ />.

Корпускулярно-полевые представления подтверждаются связью напряженности магнитного поля /> и электрической компоненты /> первичного поля посредством соотношения (4с), имеющего в системе СИ единицу измерения />, а ведь это, как и должно быть, полевой эквивалент полного электрического тока /> (токов проводимости и смещения), величина (сила тока) которого имеет единицу измерения Ампер. Как видим, соотношение (4с) для вихревых полей /> и /> представляет собой полевую составляющую корпускулярно-полевой пары />, являющуюся очевидным прямым физическим следствием первой фундаментальной пары.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

Перейдем теперь к магнитной компоненте /> первичного поля и проанализируем соотношения связи поля вектора /> с полями векторов магнитной индукции /> (4d) и электрической напряженности />(4g). Рассмотрим вначале соотношение (4d), которое представим в интегральной форме:

/>. (6)

Видно, что величина циркуляции вектора /> по контуру С определяется магнитным потоком /> через поверхность />, опирающуюся на этот контур, и имеет единицу измерения в СИ Вебер = (Джоуль∙секунда)/Кулон, что соответствует модулю момента импульса на единицу заряда. При этом размерность магнитной компоненты /> первичного поля может быть двоякой: либо импульс на единицу заряда, либо ей альтернативная линейная плотность момента импульса на единицу заряда. Конечно, формально обе размерности вектора />, выраженные через единицы измерения, математически тождественны: (Ньютон/>секунда)/Кулон = (Джоуль∙секунда)/(Кулон/>метр), но такое равенство абсурдно физически, так как это принципиально различные величины.

Для нас здесь существенно то, что, согласно Максвеллу [2], в электромагнетизме линейные (циркуляционные) векторы /> и /> имеют размерность линейной плотности физической величины, а потоковые векторы />, /> и /> – ее поверхностной плотности. В частности, размерность вектора магнитной индукции /> равна поверхностной плотности момента импульса на единицу заряда в системе СИ Тесла = (Джоуль∙секунда)/(Кулон/>(метр/>метр)). Экспериментально это убедительно и ярко иллюстрируется эффектом Эйнштейна-де Хааза [1], где в материальной среде при ее однородном намагничивании возникает механический момент вращения, направленный коллинеарно полю, обусловленный упорядочением под действием поля собственных магнитных моментов, соответственно, моментов количества движения электронов в атомах вещества среды. Следовательно, поле вектора /> определяет момент импульса материальной среды, выявляющийся при ее намагничивании.

Поэтому, согласно соотношению (6), размерностью вихревого поля вектора /> следует считать линейную плотность момента импульса на единицу заряда. Итак, локальной характеристике микрочастицы — моменту импульса на единицу заряда — сопоставляется его полевой эквивалент — магнитная компонента /> первичного поля, что дает вторую фундаментальную корпускулярно-полевую пару, которую, например, конкретно для электрона можно записать как /> с единицами измерения в системе СИ />.

Далее обратимся к соотношению (4g) связи векторов /> и />, где вектор /> определен производной по времени от момента импульса />. Тогда размерность вихревого поля электрической напряженности /> однозначно равна линейной плотности момента силы на единицу заряда, что никоим образом не опровергает традиционные единицы измерения этого вектора Вольт/метр либо Ньютон/Кулон, а лишь уточняет его физический смысл. Таким образом, соотношение (4g) представляет собой полевой аналогосновного уравнения динамики вращательного движения твердого тела в механике, что согласуется с представлениями корпускулярно-полевого дуализма характеристик материи.

Логика требует, что если электродинамические уравнения (4), согласно реализованному здесь плану их построения, являются основополагающими в электромагнитной теории, то обязательным тривиальным следствием из них должна быть система традиционных уравнений Максвелла классической электродинамики для полей /> и /> напряженностей. И действительно, векторное действие оператора «набла» на соотношения (4c) и (4g) с подстановкой в этот результат соотношений (4a) и (4d), и, соответственно, скалярное действие оператора «набла» на (4a) и (4d) дают нам классические уравнения электромагнитного поля для случая сред с локальной электронейтральностью (/>):

(a) />, (b) />,

(c) />, (d) />. (7)

Принципиальная особенность этих уравнений состоит в том, что в их структуре заложена отражающая обобщение опытных данных основная аксиома классической электродинамики – неразрывное единство переменных во времени электрической и магнитной компонент электромагнитного поля, распространяющихся в свободном пространстве в виде поперечных волн. Например, из (7) получим волновое уравнение для электрической напряженности:

/>,

где /> — фазовая скорость волны в отсутствие поглощения (/>).

Уравнения (7) отвечают также на вопрос о переносе этими волнами электромагнитной энергии, закон сохранения которой аналитически сформулирован в так называемой теореме Пойнтинга:  

/>. (8)

Здесь поступающий извне поток энергии /> компенсирует в данной точке среды джоулевы (тепловые) потери при электропроводности (первое слагаемое справа) и изменяет электрическую и магнитную энергии, либо наоборот.

Сделаем важное замечание. Полученные из более общей системы уравнений (4) уравнения Максвелла (7) отвечают на центральный вопрос наших исследований: что представляет собой введенное на основе корпускулярно-полевого дуализма электромагнитных характеристик материи собственное первичное поле микрочастицы. Ответ формулируется так: если дивергенция ротора любого векторного поля тождественно равна нулю, то из дивергентного уравнения (7b) /> следует соотношение (4a), соответственно, из (7d) /> имеем соотношение (4d), посредством которых вводят понятие именно компонент векторного электромагнитного потенциала. Кстати, компоненты указанного потенциала физически следует считать поляризационными потенциалами. Таким образом, мы убедились, что компоненты гипотетического первичного поля />и />действительно однозначно являются полями соответственно электрической и магнитной компонент векторного потенциала, которые, как показано выше, а также, например, в [4], по их физическому смыслу есть полевые эквиваленты соответствующих локальных электромагнитных параметров частиц материи.

И еще важное. Из уравнений (4) также следуют структурноаналогичные системе (7) еще три системы уравнений для других пар вихревых компонент реального электромагнитного поля. Их можнополучить действием оператора «набла» на соответствующие выражения в системе уравнений (4), аналогично выводу системы уравнений Максвелла (7). Уравнения в этих системах (см. работы [3, 4]) рассматривают такие области пространства, где присутствует либо только поле электромагнитноговекторного потенциала с электрической /> и магнитной /> компонентами:

(a) />, (b) />,

(c) />, (d) />; (9)

либо электрическое поле с компонентами /> и />

(a) />, (b) />,

(c) />, (d) />; (10)

либо, наконец, магнитное поле с компонентами /> и />.

    продолжение
--PAGE_BREAK--

(a) />, (b) />,

(c) />, (d) />. (11)

Как и следовало ожидать, из этих новых систем электродинамических уравнений аналогично выводу формулы (8) непосредственно получаем соотношения баланса:

для потока момента ЭМ импульса из уравнений системы (9)

/>(12)

для потока электрической энергии из уравнений системы (10)

/>(13)

и, наконец, для потока магнитной энергии из уравнений системы (11)

/>.(14)

Поскольку дивергенция по определению есть объемная плотность потока векторного поля в данной точке, то соотношения баланса (8) и (12) — (14) показывают, что наличие (соответственно, изменение) определенной величины энергии или момента импульса в рассматриваемой точке невозможно в отрыве от окружающего пространства, без взаимодействия с ним посредством потоковой связи извне. Существенно, что это не является чем-то специфическим или необычным. Вот, например, тривиально наглядная ситуация: растянутая руками пружина, где ее внутренняя энергия упругой деформации создается и существует только за счет взаимодействия с окружением (действия рук). Итак, именно соотношения баланса, являющиеся следствием систем уравнений (7) и (9) — (11), однозначно иллюстрируют реальность корпускулярно-полевого дуализма характеристик материи, использование концепции которого позволило построить систему электродинамических уравнений (4) первичной функциональной взаимосвязитеперь уже конкретно компонент поля электромагнитного векторного потенциала и электромагнитного поля, тем самым поднять на новый концептуальный уровень физические представления полевой теории классического электромагнетизма.

Таким образом, аргументированно показано, что в Природе объективно существует весьма сложное и необычное с точки зрения традиционных представлений четырехвекторное вихревое поле в виде совокупности функционально неразрывно связанных между собой вихрево-полевых компонент />,/> и />, />. Относительно наблюдения его физических проявлений такое поле реализуется четверкой составляющих его электродинамических полей из пар вышеуказанных компонент. Здесь поле электромагнитного векторного потенциала с компонентами />и /> описывается системой уравнений (9),электромагнитное поле с /> и /> — системой (7), электрическое поле с /> и /> — системой (10), наконец, магнитное поле с /> и /> — системой (11). Причем такие структурные образования из двух векторных взаимно ортогональных полевых компонент делают принципиально возможным перемещение в пространстве конкретного электродинамического поля в виде потока соответствующей физической величины (см. соотношения (8), (12) — (14)). Подробно характеристики и специфика распространения волн таких полей рассмотрены, например, в работах [5].

Заметим в этой связи, что с методической точки зрения серьезных проблем не должно возникнуть, если обсуждаемое здесь реальное электромагнитное поле сохранит за собойтрадиционное в электромагнетизменынешнее название– электромагнитное поле с учетом современного концептуального развития физических воззрений и его нового содержания.

Как видим, описывающие все эти поля электродинамические соотношения (4) объективно составляют фундамент классической электродинамики и являются основополагающими первичными уравнениями электромагнитного поля, где система традиционных уравнений электродинамики Максвелла — это всего лишь рядовое частное следствие.

Литература

1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1989.

2. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме. Том I и II. — М.: Наука, 1989.

3. Сидоренков В.В. Обобщение физических представлений о векторных потенциалах в классической электродинамике // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. № 1. — С. 28-37.

4. Сидоренков В.В. Фундаментальные основы электродинамической теории нетеплового действия электромагнитных полей на материальные среды // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2007. Т. 3. № 11. — С. 75-82.

5. Сидоренков В.В.Реальная структура электромагнитного поля и характеристики распространения его составляющих// X Международная конференция «Физика в системе современного образования». Санкт-Петербург: РГПУ, 2009. Секция 1. “Профессиональное физическое образование”. С. 114-117; Уравнения и характеристики распространенияволн реального электромагнитного поля//revolution.allbest.ru/physics/00072431.html.

Ссылки (links):
revolution.allbest.ru/physics/00072431.html