Реферат: Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле

<m:mathPr> <m:mathFont m:val=«Cambria Math»/> <m:brkBin m:val=«before»/> <m:brkBinSub m:val="--"/> <m:smallFrac m:val=«off»/> <m:dispDef/> <m:lMargin m:val=«0»/> <m:rMargin m:val=«0»/> <m:defJc m:val=«centerGroup»/> <m:wrapIndent m:val=«1440»/> <m:intLim m:val=«subSup»/> <m:naryLim m:val=«undOvr»/> </m:mathPr>

Курсовой проект по Физике.

“Расщеплениеэнергетических уровней атома водорода в электрическом поле.”

 

 

 

Теория возмущений

Постановкавопроса

Лишь в очень немногихслучаях задачу о нахождении квантовых уровней системы (т.е. о нахождениисобственных значений и собственных функций оператора энергии Н) удается разрешить с помощью изученныхв математике функций. В большинстве проблем атомной механики таких простыхрешений не существует. Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когдарассматриваемая задача может быть приближенно сведена к задаче, относящейся кболее простой системе, для которой собственные значения Е<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°

   и собственные функции  <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  известны. Такая возможностьпредставляется тогда, когда оператор энергии Н рассматриваемой системы мало отличается от оператора Н<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  более простой системы.

Точное значение слов «операторы малоотличаются» выяснится из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которыеотносятся к кругу задач, могущих быть решенными приближенно. Допустим, что намизвестны волновые функции и квантовые уровни электронов, движущихся в атоме.Нас интересует, как изменятся квантовые уровни и волновые функции, если атомпоместить во внешнее электрическое или магнитное поле.

Достигаемые на опыте поляобычно малы в сравнении с внутриатомным кулоновским полем<span Times New Roman",«serif»;mso-fareast-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">[1].Действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку или, как мы будетговорить, возмущение (этот терминзаимствован из небесной механики и применялся первоначально для обозначениявлияния одной планеты на орбиту другой). Таким же путем могут быть учтеныслабые взаимодействия электронов внутри атомов, например, магнитные, а в иныхслучаях даже и кулоновские. Общие методы решения подобных задач и составляютпредмет теории возмущений.

Мы ограничимся покарассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Н обладает дискретным спектром. Пусть данный нам гамильтониан Н равен

Н = Н<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°

 +  W.                                    (66.1)

Добавок Wбудемрассматривать как малый и будем называть энергиейвозмущения (или иногда кратко <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¾

возмущением). Далее, мыпредполагаем, что собственные значения  Е<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  оператора Н<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°    и его собственные функции <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°    известны, так что

Н<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  = Е<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°.                                   (66.2)

Наша задача заключается внахождении собственных значений Е   оператора Н   и его собственных функций. Эта задача, какмы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера

Н<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

   =  Е<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j.                                         (66.3)

Уравнение (66.3) отличаетсяот уравнения  (66.2).одним членом W<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

, который мы считаем малым.

Для приближенного решениязадачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнения (66.3) в такомпредставлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°

  оператора Н  , т.е. уравнение (66.2) берут в «Е<span Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°"-представлении. Еслипервоначально оператор Н  (66.1) и вместе с тем уравнение (66.3) даны,как это чаще всего и будет, в координатном представлении, но нужно от этогопредставления перейти к «Е<span Times New Roman»;mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°"-представлению.Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случаенадобности под хможно разуметь любое число переменных так же, как и под значком nуволновой функции <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть вкоординатном представлении ("х-представление) собственные функции оператора Н<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  будут  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  (х). Разложим искомую функцию <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j(х) по функциям  <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  (х):

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

(х) = <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">Sс  <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">° (х).                                          (66.4)

Тогда совокупность всехс   есть не что иное, как функция  <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j

  в «Е<span Times New Roman»;mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°"-представлении.

Подставляя (66.4) вуравнение (66.3), умножая его на  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°*(х) и интегрируя по х, получим

                                      <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">S

Н   с   = Ес  ,                                   (66.5)
где Н     есть матричный элементоператора Н в «Е<span Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°"-представлении:

                        Н    =  <span WP MathA";mso-ascii-font-family:«Times New Roman»; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: «WP MathA»"><span WP MathA"">I

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°* H<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°  dx.                                    (66.6)
Матрица, образованная из элементов Н   , есть оператор Н в «Е<span Times New Roman»;mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°"-представлении. Имеяв виду (66.1) и (66.2), получаем

H     = <span WP MathA";mso-ascii-font-family:«Times New Roman»; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: «WP MathA»"><span WP MathA"">I

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°* (H<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°+ W) <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°dx=

= <span WP MathA";mso-ascii-font-family:«Times New Roman»;mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:«WP MathA»"><span WP MathA"">I

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°* H<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°dx+ <span WP MathA"; mso-ascii-font-family:«Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:«WP MathA»"><span WP MathA"">I<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°* W<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°dx= E<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">d     + W     (66.6')
где W     есть матричный элемент энергии возмущения в«Е<span Times New Roman»;mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°"-представлении:

(66.7)

Матрица, образованная из элементов W  , есть оператор Wв этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.5), получим

                                                                                                            (66.8)
Перенося все члены налево, находим

                                                                                                (66.9)
где nиmпробегают все значения, которыми нумеруются  функции невозмущеннойсистемы <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

.

Пока мы никак не использовали предположение о малости W, и уравнение (66.9) справедливо точно.Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение омалости величин W  . Чтобы явно выразить степень малости W, положим

                                                                                                (66.10)
где <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">l

<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¾малый параметр. При <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l=0оператор Н переходит в Н  .Тогда уравнение (66.9) запишеится в виде

                                                                                                (66.11)
Это уравнение мы будет решать по степеням <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

, считая <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">lмалой величиной. При <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l=0из (66.11) получается просто уравнение (66.2) в «Е<span Times New Roman»;mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">°"-представлении:

                                                                                                (66.12)
имеющее решение

                                                                                                (66.13)

При малых значениях <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

естественноожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений(66.12), т.е. к (66.13). Это предположение мы может выразить явно, еслипредставим собственные функции с    уравнения (66.11) и его собственные значенияЕ в виде рядов по степеням малогопараметра <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">l:

                                                                                                (66.14)
и

                                                                                                (66.15)
При <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:ES-TRAD;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">l

=0 (66.14) и (66.15)переходит в (66.13), причем Е          должно равняться Е    . Оказывается, чторешение уравнений (66.11) существенно зависит от того, вырождены ли состояниясистемы Н    или нет. Если они вырождены, то каждомусобственному значению Е    принадлежит несколько собственных функций  <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j   , если не вырождены, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¾то только одна функция. Этидва случая мы рассмотрим порознь. Возмущение в отсутствие вырождения

Пусть каждому собственномузначению Е    невозмущенного уравнения (66.2) принадлежитлишь одна собственная функция <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

   , соответственно <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¾одна амплитуда с  . Подставим в уравнение (66.11) ряда (66.14) и (66.15) и соберем члены содинаковыми степенями параметра <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">l

                                                                                                (67.1)
Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методомпоследовательных приближений. Мы получим нулевое приближения, если положим <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

=0; тогда получаем

                                                            m= 1,2,3,…, k, …      (67.2)
Это <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¾

уравнение для невозмущеннойсистемы Н    . Пусть нас интересует, как меняетсяуровень Е     и собственная функция <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j    поддействием возмущения W.Тогда из решений (67.2) мы берем k-е:

                                                                                                (67.3)
т.е. все с   =0,кроме с   =1.

Решение (67.3) мы будемназывать решением в нулевом приближении.Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее,первое приближение. Подстановка дает

                       

                                                                                                (67.4)
где через 0(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

  ) обозначены члены порядка <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l    ивыше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми иотбросить их. Тогда получаем

                                                                                                (67.4')
Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера  m= k, то получим

                                                                                                (67.4'')
Отсюда находим поправку к Е     первого приближения:

                                                                                                (67.5)
Из уравнений c m= kнаходим поправки камплитудам c   , именно, если m  =  k, то (67.4') дает

                                                                                                (67.4''')
Отсюда

                                                                                                (67.6)
Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

  .Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (67.1), тогда

                                                                                                (67.7)
где через 0(<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

  ) обозначены члены порядка <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l   и выше.Пренебрегая этими членами, получим уравнения для определения Е   и  c   (второе приближение). При этом уравнениеномера  m= kполучается в виде

                                                                                                (67.7')
Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:

                                                                                                (67.8)
Из уравнений с  m= k  найдем c   :

 

                                                                                                (67.9)

Эту процедуру можнопродолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мыограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15)и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем

                                                                                                (67.10)

                                                                                                (67.11)

Из этих формул видно, чтопредположение о малости оператора Wвсравнении с Н    означает малость отношения

                                                                                                (67.12)
при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, исобственные значения Е    оператора Hи его собственные функции  с   (k)близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Н  . Условия (67.12) <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¾

это условие применимоститеории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также ввиде

                                                                                                (67.13)
где W    суть матричные элементы операторавозмущения.

Пользуясь (66.4) и (67.6), атакже (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении:

                                                                                                (67.14)

                                                                                                (67.15)
Из последней формулы видно, что поправкак уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения вневозмущенном состоянии (<span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

  ).

Из условия пригодностиметода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенногорасчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так,например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаютсяформулой


При малых   n  эта величина может быть гораздобольше W         . Для больших же n  она стремится к нулю, как 1/n  , и условие (67.13) можетоказаться несоблюденным. Поэтому метод теориивозмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней инепригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Этообстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам.

Второе, что следуетотметить, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¾

это некоторые особыеслучаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояниясистем Hи H   радикально отличаются. Дело в том, чтоэнергия возмущения W   может оказаться такого вида, что существенноизменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U(x).Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение  W= <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">lx   . Уравнение Шредингера в этом случае имеетвид

                                                                                                (67.16)

При <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

=0 мы имеем уравнение для гармоническогоосциллятора, имеющего дискретный спектр энергии E   =   (n+   ). Матричные элементы возмущения

                                    W    =  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l

(x   )             
при малом <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">lмогут быть как угодно малыв сравнении с  E   <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¾E   =    (m<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¾n). Тем не менее при всяком <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">lуравнение (67.16) имеет непрерывный спектр,и только при <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l=0 оно имеет дискретныйспектр собственных значений. Действительно, потенциальная энергия U(x) =           + <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">lx     имеетвид, приведенный на рис. 50. При всяком значении Е для больших отрицательных  x, U(x) < E,т.е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным.

<img src="/cache/referats/26673/image002.jpg" v:shapes="_x0000_i1025">

Спрашивается, какой смыслимеют в этом случае приближенные функции <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

(x) иуровни Е , которые мы может вычислить из <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j    и  Е      методом теории возмущения, пользуясьмалостью параметра  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l? Оказывается, что при малых<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">lнайденныеметодом теории возмущения функции
<span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j    (х) отличаютсятем, что они велики вблизи потенциальной ямы  U(x)ималы вне ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии U(x)  (см. рис. 1) и, кроме того, нанесен квадратмодуля волновой функции  <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j(x)   . Рис. 51, а соответствует случаю, когда E= E    E    . Если же энергия Eне равна E   , то волновая функция <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   (x)   нарастает вдали от потенциальной ямы U(x)(см.рис.51, б). В первом случае мы можемсказать, что частицы находятся около положения равновесия x= 0,так сказать, «в атоме», а во втором случае они находятсяпреимущественно вне его, бесконечно далеко. Стационарность состояний можетполучиться лишь в том случае, если существуют волны, как уходящие вбесконечность, так и приходящие из нее, так что поток частиц через поверхность,окружающую атом, равен нулю. Такой случай представляется малоинтересным. Чащеприходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волны. Тогдастационарных состояние не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишьуходящие волны, то находимые методом теории возмущения функции <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   (x)    описывают поведение частиц лишь в течение неочень большого времени t.Однако на самом деле это время может быть очень велико, и оно тем больше, чемменьше значение параметра <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">l. Такого рода состояния <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j(x)исоответствующие им уровни Е   мы будет называть квазистационарными.

<img src="/cache/referats/26673/image004.jpg" v:shapes="_x0000_s1027">

Возмущение при наличии вырождения

В большинстве важных вприложениях задач приходится встречаться со случаем вырождения, когда вневозмущенной системе (H  )собственному значению  E= E   принадлежит не одно состояние <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

  , а несколько <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   , <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j    …, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   …., <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j  . Если теперь действует некоторое возмущение W, то без специальногоисследования нельзя сказать, какая из функций <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   будет являться нулевым приближением ксобственным функциям оператора  H= Y  + W. В самом деле, вместо рядафункций  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j    …, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   …., <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j  , принадлежащих собственному значению E  , могут быть взяты функции <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j    , <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j    …, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   …., <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   , получающиеся из первых линейнымортогональным преобразованием:

                                                                                                (68.1)

 

                                                                                                (68.2)
Функции <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j

   , будучи линейными комбинациями функций <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   , будут также решением уравнения Шредингера

                                                                                                (68.3)
принадлежащим собственному значению E   , и при добавочном условии (68.2) будутортогональными, если функции <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

   ортогональны.Функции  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j   суть поэтому также возможные функциинулевого приближения, но неизвестно, какие коэффициенты a   следует взять, чтобы получить правильноенулевое приближение.

Для решения этого вопросаобратимся к уравнению  (66.9). Нам,однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточнив обозначения. Приналичии вырождения собственные функции оператора имеют по крайней мере дваиндекса (n, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a

). Поэтому в этом случае(66.4) следует написать подробнее, заменяя индекс nна два: n, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a. Тогда мы получим

                                                                                                (68.4)
Соответственно этому уравнение (66.9) получится (заменяя nна n, <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a

, mна m, <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type: symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b) в виде

                                                                                                (68.5)
где

                                                                                                (68.6)
есть матричный элемент энергии возмущения и получается из (66.7) увеличениемчисла квантовых чисел, нумерующих состояния. E  есть энергия m-гоквантового уровня для невозмущенной задачи. Эта энергия от квантового числа <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a

не зависит (вырождение).

Допустим, что мы теперьжелаем найти квантовый уровень возмущенной системы E, близкий к E, исоответствующие собственный функции <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

  (x). Ограничимся решением этойзадачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций.

В отсутствии вырождения мыполагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают сневозмущенными. Соответственно этому в нулевом приближении  c   = 1, а остальные равны 0. Этого нельзясделать при наличии вырождения, ибо, отбрасывая в нулевом приближениивозмущение W, мы получим из (68.5)


это дает c  =  0 для E= E   , но при это не одно c   , а все принадлежащие собственному значению E   , именно, c для <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">b

= 1, 2, …,   . Таким образом, в нулевом приближении неодна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевымприближением для функций k-го уровня будет

                                                                                                (68.7)
В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, которые содержат неравные нулю c   . Это будут уравнения

         

еще рефераты
Еще работы по физике