Реферат: Система философии математики Аристотеля
СИСТЕМА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ АРИСТОТЕЛЯ
Аристотель родился в 384 г. д.н.э. в греческом городеСтагире. Глубокое провинциальное происхождение Аристотеля компенсировалось тем, что он был сыном известного врача Никомаха. Быть врачем означало в Древней Греции занимать большое общественное положение, и Никомах был известен всей Македонии. Аристотель, по словам очевидцев, с молодости был невзрачного вида. Худощавый, имел худые ноги, маленькие глазки и шепелявил. Но зато любилодеться, носил по несколько дорогихперстней и делал необычную прическу. Воспитываясь в семье врача, и поэтому сам занимаясь медициной,Аристотель, однако, не стал профессиональным врачем. Но медицина осталась для него на всю жизнь настолькородной и понятной областью, чтовпоследствии в своих труднейших философских трактатах он дает пояснения на примерах из медицинской практики. Приехав с севера Греции, Аристотель в самом раннем возрасте (в 17лет )вошел в школу Платона. Он был сперва принципиальным платоником, авпоследствии отошел от строгого платонизма. Первые сочинения Аристотеля в стенах Платоновской Академии,куда он поступает, отличаются склонностью его к риторике, которой он впоследствии прозанимался всю жизнь. В 364 году до н.э. Аристотель встречается с Платоном, и они общались до самой смерти Платона, т.е. втечении 17 лет. Аристотель представлялся Платону ретивым конем, которого приходится сдерживать уздой.Некоторые античные источники прямо говорят не только орасхождении, но и даже о неприязни междудвумя философами. Платон сильно не одобрял свойственной Аристотелю манеры держать себя и одеваться. Аристотель придавал большое внимание своему внешнему виду, а Платон считал, чтоэто неприемлемо истинному философу. Но Аристотель по - видимому еще и дерзко нападал на Платона, что в дальнейшем привело к созданию Аристотелем собственной школы. За все эти споры, добродушный Платон сказал, что «Аристотель менябрыкает, как сосунок жеребенок своюмать».В Платоновской школе Аристотель получает важнейшие основы знаний, обладая которыми,впоследствии, он открывает напротив Платоновой свою собственную школу, и становится завзятымпротивником своего учителя. Имя Аристотеля в мировой литературенепосредственно связано с именем Платона. Попробуем рассмотреть философию Аристотеля и соотнести ее с философией Платона. Центральная идея философии Платона- эйдос - перешла к Аристотелю почти целиком. Ни Платон, ни Аристотель не мыслит вещей без их идей, или эйдосов. Всяфилософия Сократа, а затем и Платона проистекала из практики и жизненной необходимости, выходя в чисто теоретическую областьлишь в высшем своем проявлении - в учении об идеях. По Платону, мир вещей , воспринимаемый посредством чувств, не есть мир истинно существующего: чувственныевещи непрерывно рождаются и погибают, изменяются и движутся, в них нет ничего постоянного, прочного,совершенного и истинного. И все же вещине полностью отделены от истинно существующего, они все каким-то образом причастны ему. А именно: всем, что в них естьистинно сущного, утверждает Платон, чувственные вещи обязаны своим причинам. Этипричины — формы вещей, не воспринимаемые чувствами, постигаемыетолько умом, бестелесные и бесчувственные. Платон называет их«видами» или гораздо реже «идеями». «Виды», «идеи» зримые умом формы вещей. Каждому классупредметов чувственного мира, например классу «коней» соответствует в бестелесном мире некоторый«вид», или «идея» — «вид» коня, «идея»коня. Этот «вид» уже не может быть постигаем чувствами, какобычный конь, но может быть лишь созерцаем умом, к тому же умом, хорошо подготовленным к такому постижению. Эти «идеи» или, «эйдосы»не рождаются, не умирают, не переходят не в какое другое состояние.Существует «царство идей»
1.Идеи высших по ценностикатегорий бытия. Сюда входят такие понятия, как красота, справедливость, истина.
2.Движение физических явлений — идеи движения, покоя, света, звука ит.п.
3.Идеи разрядов существ — идеи животного, человека.
4.Идеи для предметов производимых человеческими усилиями — идеи стола, кровати и т.п.
5.Идеи науки - идеи чисел, равенства, отношения. Принципы существованияидей: а)идею делает идея; б)идея является образцом , взирая на которые, Демиур творил мирвещей; в) идея является целью, к которой как к высшему благу стремится все существующее. Мир вещей и мир идей объединяет душаКосмоса. Она заставляет идеиприсутствовать в вещах и наоборот. Между миром вещей и миром идей — божество — Демиур.
Аристотель решительно критикует принципиальный отрыв идеи вещи от самой вещи. Идея вещи, по Аристотелю находится внутри самойже вещи. Тезис о пребывании идеи вещи внутри самой же вещи есть то основное и принципиальное, в чем заключается основное различие между Платоновской и Аристотелевской школах. Идея вещи, по Аристотелю, обязательно естьнекоторого рода общность, т.е. эйдос во всех смыслах. Но эйдос вещи, есть не только обобщенность ее отдельных элементов. Онпредстакляет собой еще и нечто единичное. Этой единичностью данный эйдос вещи отличается от других эйдосов, и ,следовательно, от всяких других вещей. Эйдос вещи, будучи некой общностью и некой единичностью, в то же самое время является и определенного рода цельностью. Совершенно невозможно отрывать общее от единичногои, единичное от общего. Т.е. удаливкакой-то один момент цельности, тем самым мы ликвидируем саму цельность. Сняв, к примеру крышу с дома, домперестает быть цельным, и собственно говоря перестает быть домом. Свое учение о вещи как организмеАристотель излагал много раз и разными способами. Он выделяет четыре причины, или четыре принципа любой вещи, понимаемой какорганизм.
Первый принцип — о том, что эйдос вещи вовсе не является ее за небесной сущностью, но такой ее сущностью, котораянаходится в ней же самой и без которойвообще нельзя понять, что такое данная вещь.
Второй принцип затрагивает материю и форму. Кажется, что материя и форма — обычное и всемпонятное противопоставление, и кажется здесь даже не о чем говорить. К примеру материя этого стола есть дерево. Аформа этого стола есть тот вид, которые приняли деревянные материалы , обработанные для определеннойцели. Кажется, что все здесь очень просто и понятно. Тем не менее эта проблема являлась одной из глубочайших философскихпроблем Аристотеля. Ведь у Аристотеляматериал вовсе не просто только материал. Материал у Аристотеля уже имеет собственную форму. Все, даже самое сумбурное, беспорядочное, бесформенное и хаотичное уже имеет своюсобственную форму. Облака и тучи во время грозы выглядят абсолютнобесформенно. Однако если туча не обладала в самом деле никакой формой, то как бы она могла быть для нас какой-то познаваемой вещью. ОтсюдаАристотель делает вывод, что материя вещи есть только еще самая возможность ее оформления, и возможность эта — бесконечноразнообразная. И тем не менее без материи эйдос оставался бы только ее отвлеченным смыслом, без всякого воплощения этой мысли в действительности. Толькополное отождествление материи вещи сее эйдосом делает вещь именно вещью. Эйдос и материю умел различать иПлатон, и совсем неплохо их отождествлял, но то, что сделал Аристотель в этойобласти, является почти, можно сказать революцией в отношении платонизма. Из тех философов античности, кто различал форму и материю, Аристотель был самым глубоким и самым тонкимих отождествителем. Материя не есть эйдос , ни эйдос вообще, ни какой-нибудь эйдос в частности. По Аристотелю, только космические сферы выше Луны являются эйдетически полноценными. А то, что совершается внутри луннойсферы, в подлунной, это всегда частично и несовершенно. а иной раз и совсем уродливо. Если где Аристотель и выступает, какпринципиальный материалист, т.е. проповедует материю в качестве принципа живой реальности существующеговокруг нас мира, то лишь в своем учении о материи в виде царства случайности. По Аристотелю, движение -этовполне специфическая категория и ровно ни на что другое не сводимая. Такимобразом, по Аристотелю, движение является такой же основной категорией, как и материя и как форма.
Аристотель ставит вопрос овозможности самой категории движения. Онвыделил четыре принципа существования всякой вещи как организма : материя, форма, действующая причина.Последним принципом существования всякой вещи по Аристотелю является цель. Цель - специфическая категория, ни на что другое не сводимая. Аристотель своей теорией четырехпринципной структуры вещи исходил исключительно из того, что каждаявещь есть результат творчества. Причём не важно, хорошее ли это произведение или плохое. Всё многообразие вещественного мира, по Аристотелю, основано на разных соотношениях эйдоса (формы, илиидеи) и материи в их причинно - следственном воплощении. Переходу к миру одушевлённых существ, мы видим у Аристотеля и здесь на первом планечетырёхпринципную структуру.
Аристотель различает три типа души - растительную, ощущающую(животную) и разумную. Разумная душа тоже имеет и свой эйдос, и свою материю, и причинно — целевуюнаправленность. Эйдос живого тела естьпринцип его жизни, т.е. его душа. А всякая душа движущая телом, тоже имеет свой собственный эйдос, который Аристотель называет Умом. Так что душа, по Аристотелю, есть неболее, чем энергия Ума. А Ум есть эйдос всех эйдосов. По Аристотелю Ум и есть высшая степень бытия. Этот Ум , будучи наивысшей степенью бытьяв целом, является у Аристотеля, еслисказать кратко, предельным понятием вообще. Он - «эйдос эйдосов». Ум взятый сам по себе, уже ровноничем ни связан и зависит только от самого себя. В этом смысле он вечно неподвижен.
Аристотель считает, что Ум, несмотря на всю свободу от умственной материи, содержит свою собственную, чисто умственную материю, без которой он не был бы художественнымпроизведением. Никакие философы до Аристотеля не допускали в Уме существование материи. Никто так остро и принципиальноне противопоставлял материю и Ум, как это сделал Аристотель.
Аристотель создал три концепцииУма — перводвигателя. Первая концепция- чисто платоническая. Она сводится к тому, что Ум является наивысшим и окончательнымбытиём. Ум — есть не что иное, как царство богов - идейвысших, или над космических, низших, или звёздных. Во второй концепции, Ум у Аристотеля есть мышление, имышление самого же себя, т.е. «мышление мышления». Умсодержит в себе свою собственную умственную материю, которая даёт ему возможность быть вечнойкрасотой (т.к. красота есть идеальноесовпадение идеи и материи). Третья концепция Аристотеля сильно отличается от Платоновской. У Платона космосом управляет Мировая душа. У Аристотеля же это - Ум, который движет решительно всем , и поэтому он есть жизнь как вечная энергия." Если Ум по Аристотелю , есть всеобщая цель, и поэтому всё его любит , то самон , будучи целью не то, что вообщеникого не любит, но поскольку всё вообще любит его самого, Ум, несомненно,тем более должен любить самого себя." Аристотель говорил: «Платон мнедруг, но истина дороже» И вся жизнь Аристотеля состояла в бесконечном стремлениинайти, проанализировать, схватить истину, докопаться до смысла окружающего мира. В своих зоологических трактатахАристотель устанавливает и характеризует более 400 видов животных.
Он описал 158 различных греческих и негреческих законодательств. Вся V книга его основного трактата «Метафизика» специальнопосвящена философской терминологии, икаждый термин у него выступает в 5 — 6значениях. Аристотель был сильнымчеловеком. И когда оказалось, что деваться уже некуда, и с ниммогут расправиться как до этого с Сократом он, как можно предполагать, принял яд. Так кончилась жизнь Аристотеля. И всё же его искания, всяего жизнь свидетельствуют о небывалом мужестве великого человека, для которогодаже сама смерть стала актом мудрости и невозмутимого спокойствия.
К. Маркс назвал Аристотеля (384-322 гг. дон.э.) «величайшим философом древности». Основные вопросы философии, логики,психологии, естествознания, техники, политики, этики и эстетики, поставленные в науке Древней Греции, получили у Аристотеля полное и всестороннее освещение. В математике он, по-видимому, не проводил конкретных исследований, однаковажнейшие стороны математического познания были подвергнуты имглубокому философскому анализу, послужившему методологической основой деятельности многих поколенийматематиков. Ко времени Аристотеля теоретическая математика прошлазначительный путь и достигла высокого уровня развития. Продолжая традицию философскогоанализа математического познания, Аристотель поставил вопрос о необходимостиупорядочивания самого знания о способах усвоения науки, о целенаправленнойразработке искусства ведения познавательной деятельности, включающего два основных раздела:«образованность» и «научное знание дела». Среди известныхсочинений Аристотелянет специально посвященных изложению методологическихпроблем математики. Но по отдельнымвысказываниям, по использованию математического материала в качествеиллюстраций общих методологических положений можно составить представление отом, каков был его идеал построения системы математических знаний. Исходным этапом познавательнойдеятельности, согласно Аристотелю, является обучение, которое «основано на (некотором) уже ранееимеющемся знании… Как математические науки, так и каждое изпрочихискусств приобретается (именно) таким способом». Для отделения знания от незнания Аристотель предлагаетпроанализировать «все те мнения, которые по-своему высказывали в этойобласти некоторые мыслители» и обдумать возникшие при этом затруднения.Анализ следует проводить с целью выяснения четырех вопросов: «что (вещь) есть, почему(она) есть, есть ли (она) и что (она) есть». Основным принципом, определяющим всюструктуру «научного знания дела», является принцип сведения всего к началам и воспроизведения всего из начал. Универсальным процессом производства знанийиз начал, согласно Аристотелю, выступаетдоказательство. «Доказательством же я называю силлогизм, — пишет он, — который дает знания».Изложению теории доказательного знанияполностью посвящен «Органон» Аристотеля. Основные положения этойтеории можно сгруппировать в разделы, каждый из которых раскрывает одну из трех основныхсторон математики как доказывающей науки: «то, относительно чего доказывается, то, что доказывается и то, на основании чего доказывается». Таким образом, Аристотель дифференцированноподходил к объекту, предмету и средствам доказательства. Существование математических объектовпризнавалось задолго до Аристотеля, однако пифагорейцы, например, предполагали, что они находятся вчувственных вещах, платоники же,наоборот, считали их существующими отдельно. Согласно Аристотелю:
1. В чувственных вещах математические объекты не существуют, так как «находиться в том жесамом месте два тела не в состоянии»;
2. «Невозможно и то, чтобытакие реальности существовали обособленно». Аристотельсчитал предметом математики «количественную определенность и непрерывность». В его трактовке «количеством называетсято, что может быть разделено на составные части, каждая из которых… является чем-то одним, данным налицо. То или другоеколичество есть множество, если егоможно счесть, это величина, если его можно измерить». Множеством при этом называется то, «что в возможности (потенциально) делится на части не непрерывные, величиною то, что делится на части непрерывные».
Прежде чем дать определение непрерывности, Аристотель рассматривает понятие бесконечного, так как «оно относитсяк категории количества» и проявляется прежде всего в непрерывном. «Что бесконечное существует, уверенность в этом возникает у исследователей из пятиоснований: из времени (ибо онобесконечно); из разделения величин..; далее, только таким образом не иссякнутвозникновение и уничтожение, если будет бесконечное, откуда беретсявозникающее. Далее, из того, чтоконечное всегда граничит с чем-нибудь, так как необходимо, чтобы одно всегдаграничило с другим. Но больше всего на том основании, что мышление не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины».
Существует ли бесконечное как отдельная сущность или оно является акциденцией величиныили множества? Аристотель принимаетвторой вариант, так как «если бесконечное не есть ни величина, ни множество, а само является сущностью...,то оно будет неделимо, так как делимое будет или величиной, или множеством. Если же оно не делимо, оно не бесконечно всмысле непроходимого до конца». Невозможность математического бесконечногокак неделимого следует из того, что математический объект — отвлечение отфизического тела, а «актуально неделимое бесконечное тело несуществует». Число «как что-то отдельное и в то же время бесконечное» не существует, ведь "… если возможно пересчитать числимое, то будет возможность пройти до конца и бесконечное". Таким образом, бесконечность здесь в потенции существует, актуально же — нет.
Опираясь на изложенное выше пониманиебесконечного, Аристотель определяетнепрерывность и прерывность. Так,«непрерывное есть само по себе нечто смежное.
Смежное есть то, что, следуя за другим, касается его». Число кактипично прерывное (дискретное) образование формируется соединением дискретных,далее неделимых элементов — единиц.
Геометрическим аналогом единицы является точка; при этом соединение точек не может образоватьлинию, так как «точкам, из которых было бы составлено непрерывное, необходимо или быть непрерывными, или касаться друг друга». Нонепрерывными они не будут: «ведь краяточек не образуют чего-нибудь единого, так как у неделимого нет ни края,ни другой части». Точки не могут и касаться друг друга, поскольку касаются «все предметы или какцелое целого, или своими частями, или как целое части. Но так как неделимое неимеет частей, им необходимо касаться целиком, но касающееся целиком не образуетнепрерывного».
Невозможность составления непрерывного изнеделимых и необходимость его деления навсегда делимые части, установленные для величины, Аристотель распространяетна движение, пространство и время, обосновывая(например, в «Физике»)правомерность этого шага. С другой стороны, он приходит к выводу, чтопризнание неделимых величин противоречит основным свойствам движения. Выделение непрерывного и прерывного какразных родов бытия послужило основой для размежевания в логико-гносеологическойобласти, для резкого отмежевания арифметики от геометрии. «Началами… в каждом роде я называю то, относительно чего не может быть доказано, чтооно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее,принимается. Существование начал необходимо принять, другое — следует доказать. Например, что такое единица или что такоепрямое или что такое треугольник (следует принять); что единица и величина существует, также следует принять, другое — доказать». В вопросе опоявлении у людей способности познания начал Аристотель не соглашается с точкойзрения Платона о врожденности такихспособностей, но и не допускаетвозможности приобретения их; здесь онпредлагает следующее решение: «необходимо обладать некоторой возможностью, однако не такой, которая превосходила бы эти способности вотношении точности». Но такая возможность, очевидно, присуща всем живымсуществам; в самом деле, они обладают прирожденной способностьюразбираться, которая называется чувственным восприятием. Формирование началидет «от предшествующего и более известного для нас», то есть оттого, что ближе к чувственному восприятию к «предшествующему и более известному безусловно» (такимявляется общее). Аристотель дает развернутую классификацию начал, исходя изразных признаков.
Во-первых, он выделяет «начала, изкоторых (что-либо) доказывается, и такие, о которых (доказывается)». Первые «суть общие (всем начала)», вторые — «свойственные(лишь данной науке), например, число, величина». В системе начал общие занимают ведущееместо, но их недостаточно, так как «средиобщих начал не может быть таких, из которых можно было бы доказать все».Этим и объясняется, что среди начал должны быть «одни свойственны каждойнауке в отдельности, другие общие всем». Во-вторых, начала делятся на двегруппы в зависимости от того, что они раскрывают: существование объекта илиналичие у него некоторых свойств. В-третьих, комплекс началдоказывающей науки делится на аксиомы, предположения, постулаты, исходныеопределения.
Выбор начал у Аристотеля выступает определяющим моментомпостроения доказывающей науки; именноначала характеризуют науку как данную, выделяют ее из ряда других наук. «То, что доказывается», можно трактовать очень широко. С одной стороны,это элементарный доказывающий силлогизм и его заключения. Из этих элементарных процессов строитсяздание доказывающей науки в виде отдельно взятой теории. Из них жесоздается и наука как система теорий. Однако не всякий набор доказательств образует теорию. Для этого он должен удовлетворять определенным требованиям, охватывающим как содержание доказываемыхпредложений, так и связи между ними. Впределах же научной теории необходимо имеет место ряд вспомогательных определений,которые не являются первичными, но служат для раскрытия предмета теории.
Хотя вопросы методологии математическогопознания и не были изложены Аристотелем в какой-то отдельной работе, нопо содержанию в совокупности они образуют полную систему. В основе философииматематики Аристотеля лежит пониманиематематических знаний как отражения объективного мира. Эта установка сыграла важную роль в борьбеАристотеля с платоновым идеализмом; ведь «если в явлениях чувственного миране находится вовсе математическое, токаким образом возможно, что к нимприлагаются его свойства?» — писал он. Разумеется, материализм Аристотелябыл непоследовательным, в целом его воззрения в большей степени соответствовали потребностям математическогопознания, сем взгляды Платона. В свою очередь математика была для Аристотеляодним из источников формирования рядаразделов его философской системы.