Реферат: Методы алгебраических и дифференциальных уравнений для анализа и качественного исследования социально-экономических явлений (По дисциплине: Математические методы моделирования процессов управления в социальной сфере)

ВВЕДЕНИЕ

Рынок представляет собойсистему саморегулирования экономики по таким параметрам, как величинапокупательного спроса, качество продукции, общественно необходимые затратытруда, объем производства товаров и услуг. Механизм саморегулирования включаетв себя свободные рыночные цены, экономическую конкуренцию междупроизводителями, свободный выбор деловых партнеров.

Регулирование рынка со стороны центраосуществляется с помощью экономических рычагов — таких, как налоговая,финансовая и кредитная политика, цены на отдельные группы товаров, системадотаций и социальной защиты человека. В процессе регулирования рынка должныучитываться экономические интересы как производителей, так и потребителей.

Естественно, что для описаниянекоторых элементов рыночного механизма используются простейшие математическиемодели. Такие модели отображают только самые общие свойства экономическихсистем. В данной работе приводится способ исследования социально-экономическихявлений путем составления алгебраических и дифференциальных уравнений.

1. Простейшая модельизменения зарплаты и занятости

Характернаячерта рыночной системы хозяйства — наличие рынка труда, на которомвзаимодействуют работодатели и наемные рабочие. Пусть все участники рынка трударасполагают на этом рынке одинаковой информацией в одинаковом объеме ипринимают на основе этой информации наилучшие, оптимальные для себя решения.Взаимодействие спроса и предложения на этом цивилизованном рынке приводит кравновесию, при котором за плату' p > 0 согласны работать N > 0 человек. Если по каким-топричинам это равновесие со временем нарушается (например, часть работниковуходит на пенсию по возрасту, либо у работодателя возникают финансовыетрудности), то функции P(t)и N(t)отклоняются от р ,N.

Функции P(t)иN(t)рассматриваютсякак непрерывные и достаточно гладкие. Эти условия принимаются исключительно изсоображений, связанных с математическими действиями, основывающимися насвойствах достаточно гладких решений.

Будемсчитать, что число работников увеличивается или уменьшается пропорциональноросту или уменьшению зарплаты относительно значения p .

Тогда

(1)

Предположим,что работодатели изменяют зарплату также пропорционально отклонению численностизанятых от равновесного значения n,т. е.

(2)

Дифференцируя равенство(1) по t, получим dN/dt2= adP/dl.Из этого равенства в силу (2) следует dN/dt-= -aa(N — n), откуда

(3)

Общее решение уравнения (3),имеет вид

(4)

где C и С — произвольные постоянные.

Из (1) в силу (4) получаем

(5)

Умножим уравнения (4), (5) соответственно на и , возведем затем в квадрат левые и правые части получившихся равенств.После сложения левых и правых частей будем иметь

(P-P)2+ (N-No)2=const>0. (6)

Рассматриваязначения переменных N, Ркаккоординаты точки на плоскости, можно геометрически представить состояние рынкапосредством точки M(N,P).Эту точкув теории дифференциальных уравнений называют фазовой точкой, а плоскость ONP, на которойинтерпретируется решение (6), — фазовойплоскостью. Решение (3), (4) представляет собой некоторый закон движенияточки M(N,P)на фазовойплоскости.

Из графикакривой (6) видно (рис. 1), что при различных значениях constмы будем получать различные эллипсы с центром в точке (n , P ), отвечающиесоответствующим начальным условиям Nи Р.

Рис 1.

Соотношениемежду зарплатой (Р) и числом

работников (N) при нарушении равновесия.

Точка M(N,P),находящаяся на эллипсе, опишет за конечное время замкнутуюкривую и за время t=2 / возвратится в свое начальное положение,возобновив то же самое движение. Следовательно, имеется периодичность спериодом 2 / .

Изуравнения (6) видно (см. также рис. 1), что в некоторые моменты времени t,когда N = N(т. е.когда число занятых становится равным равновесному значению), имеем Р>Р, т.е. зарплата превышаетравновесную, а при Р = p получаем N > n ,т. е. число занятых больше равновесного. В эти моменты фондзаработной платы, равный PN,превышаетравновесное значение PoNoили меньше его). Но в среднем запериод колебаний величина PN, равна PoNo.

Замечание.Построенная модель основана на правдоподобныхпредставлениях о характере взаимодействия работодателя и наемных рабочих.

2. Равновесие в краткосрочном периоде, в условияхсовершенной конкуренции

Любой участник рыночного экономического процессадействует в соответствии со своими индивидуальными интересами (извлечениеприбыли, улучшение условий труда, минимизация риска, экономия ресурсов и т.д.). Миллионы потребителей принимают самостоятельные решения, какие товары и вкаком количестве покупать, а огромное число предпринимателей самостоятельнорешают, что и как производить.

Координациювсех независимо принимаемых решений осуществляет рыночный механизм, важную рольв котором играет конкуренция. Она сдерживает частные интересы, направляет их напроизводство общественно необходимых товаров. Конкуренция непременно приводит ктому, что ограниченные ресурсы используются более полно и эффективно. Ониустремляются в те отрасли, которые производят необходимую для потребителя ирентабельную для товаропроизводителя продукцию.

Одной изглавных целей экономики как науки является исследование того, каквзаимодействие спроса и предложения приводит к равновесию на конкурентном рынкев условиях, когда индивидуальные решения участников рынка мотивируютсясобственным частным интересом и вовсе не направлены на достижение равновесиямежду производством и потреблением. В этой главе исследуется простейший вариантрыночной экономики, введя понятие «совершенный конкурентный рынок», т. е.рынок, каждый субъект которого экономически ничтожно мал и не оказываетнепосредственного влияния на уровень производства, цены, зарплату, и всеучастники рыночного процесса, располагая одинаковой информацией, принимают наее основе наилучшие, оптимальные для себя решения. Теория совершенногоконкурентного рынка может служить основой для выявления закономерностей,внутренне присущих другим рыночным структурам.

Картинусовершенного конкурентного рынка можно сравнить с идеальной механическойсистемой, в которой совершенно не учтено трение между ее деталями и элементами.И совершенный конкурентный рынок, и упомянутая идеальная механическая системапозволяют определять главные особенности изучаемых явлений, однако на практикенеобходимо учитывать и трение в механической конструкции, и многие факторы,действующие на конкретном реальном конкурентном рынке.

Прирассмотрении совершенного конкурентного рынка будем исходить из того, что разобщенные действияучастников рыночного экономического процесса могут складываться черезсуществующую систему отношений купли-продажи в совокупную согласованную картинудействий работодателей и наемных рабочих, финансистов и вкладчиков и т. д. Еслив результате такого коллективного взаимодействия общее производство товаров иуслуг согласовано с общим спросом на них, то такое состояние экономикиназывается равновесным, а устанавливающиеся при этом цены — равновеснымирыночными ценами. Баланс между спросом и предложением имеет место, не припроизвольных, а именно при рыночных ценах, что означает, в частности,платежеспособность спроса.

Наиболеепростые математические модели экономического равновесия в условиях совершеннойконкуренции строятся при следующих предположениях:

I.Объемыпроизводства отдельных товаропроизводителей столь незначительны в сравнении свыпуском всей отрасли и изменяются в таких пределах, что это не оказываетникакого влияния на цену продаваемого товара.

II.Производственные возможности отрасли, где функционируетфирма-товаропроизводитель, неизменны.

III.Неизменны во времени экономическиеинтересы партнеров: предприниматели не пытаются увеличить свою прибыль, рабочие- зарплату, инвесторов устраивают проценты, получаемые по ценным бумагам, и т.д.

Отвечающиетаким предположениям модели описывают равновесное состояние идеальной рыночнойэкономики в краткосрочном периоде. Этот весьма частный случай «застывшей» вовремени экономики дает ответ на вопрос о возможности существованияэкономического равновесия, формирующегося из рыночного «хаоса», и, кроме того,связывает между собой основные макропоказатели экономической системы.

Рассмотримодну из таких макромоделей — модель Кейнса. В этой модели краеугольным камнемявляется положение о том, что рыночная экономика защищена от спада, чтосуществуют определенные механизмы саморегулирования, постоянно приводящие объемвыпускаемой продукции к уровню, соответствующему полной занятости. Если подвлиянием каких-то факторов внешнего происхождения (война, неурожай и т. п.)произойдет спад производства, это не будет длиться долго. Цены, заработнаяплата и процентная ставка являются гибкими, и они вернут экономику вравновесное состояние, когда рабочая сила будет полностью нанята, и все, чтопроизведено, — продано. Конкуренция уравняет спрос и предложение на всехрынках. В этом случае нет необходимости государственного вмешательства вэкономику.

Вкейнсианской модели все участники рыночного экономического процесса действуютна рынках рабочей силы, продуктов и денег, где эти товары (труд, продукты,деньги) распределяются и обмениваются между субъектами рыночной экономики.

Первыймакропоказатель экономической системы — национальный доход Q, является единственным (для простоты) продуктом,производимым этой системой в единицу времени. Этот продукт вырабатываетсяпроизводственным сектором экономики, а его величина дается функцией F,зависящей от количества и качества ресурсов, составаосновных фондов и числа занятых работников R(второй макропоказатель). Всоответствии с предположением II в состоянии равновесия производственнаяфункция F, а с нею и продукт Q определяются лишь занятостьюработников, т. е.

Q=F{R). (1)

Относительно F(R)обычносчитается, что F(0}=О, F'(R)>Опри R>0 и F"(R)<Опри R>0(рис. .2). Функция F(R)обладаетсвойством «насыщения»: с ростом Rвыпуск растет все медленнее.

Q Q=F(R)

<img src="/cache/referats/3461/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1034">Рис2.

Соотношение между

рынкамитруда (

R)и продукта(Q)

<img src="/cache/referats/3461/image005.gif" v:shapes="_x0000_s1031">O R

Такой подход вполне оправдан,поскольку при излишне большом числе занятых на производстве для них попросту ненайдется соответствующего фронта работ.

Соотношение,дополнительное к соотношению (1), определяется с помощью одного из основныхпостулатов классической политэкономии:

IV.Заработнаяплата sработникаравна стоимости продукта, которая была бы потеряна при уменьшении занятости наодну единицу.

В этомпостулате не учитываются (считаются малыми) другие издержки, которые отпали бы врезультате сокращения одного рабочего места (затраты на ресурсы, оборудование ит д.). В рассматриваемой модели заработная плата считается заданной. Онаопределяется в результате компромисса между работодателями и нанимаемыми(реальная же зарплата зависит также от уровня цен).

Таким образом, из постулата IV получаем

(2)

где .Q(1) — количество продукта, потерянное при уменьшении занятости на одну единицу, Р — цена продукта (так что слева вравенстве (2) записана величина потерянной стоимости). Если занятостьизменилась на величину R, то из равенства (2), очевидно, имеем

P=s R, (3)

где Q= Q R — стоимость, потерянная илиполученная при изменении числа работников на R. Из равенства (3) следует

(4)

Считая Rи Qмалыми в сравнении с R и Q, перепишемравенство (4) в дифференциальной форме:

(5)

Из (5), принимая во внимание(1), получим

F'(R)=s/P. (6)

Поскольку F(R)задана (ас нею и производная F'(R)),то при известных макропоказателях sи Р из (6) можно найти уровень занятости R, а из (1) — и величину продукта Q.Этот уровень отвечает числу работников, согласныхтрудиться за данную зарплату при данных ценах и других характеристиках системы,а не вообще возможному числу наемных рабочих. Предполагается, что дляобеспечения равновесного уровня занятости всегда найдется достаточноеколичество желающих работать на существующих условиях, т. е.:

V. Предложение труда не сдерживает производство, число занятыхопределяется спросом на труд со стороны предпринимателей.

Два уравнения (1) и (6) содержат четыре величины.Для построения замкнутой модели необходимо дальнейшее рассмотрение рынкапродуктов и рынка финансов.

Произведенныйна рынке продукт частично тратится на потребление, а частично сберегается:

Q=S+w, (7)

где S — фондообразующий продукт, т. е. сберегаемая частьпроизведенного продукта, возвращаемая в экономическую систему, а w

— потребляемая часть продукта, которая в экономику не возвращается.

Рис. 3.Соотношение между потребляемой частью прдукта (w

) и всем производимым продуктом(Q).

Соотношениемежду величинами Sи w

определяетсяиз следующих соображений. Относительно величины wсчитается, что:

VI.Потребляемая часть выпуска зависит от величины самого выпуска, т. е. w

=w(Q).При этомфункция w(Q)обладаетсвойством «насыщения» так же, как и функция F(R):чем большевыпуск, тем меньшая доля дополнительного выпуска Qтратится на потребление (рис. 3) и тем большая доля сберегается. Величина dw/dQ=c(Q)называетсясклонностью к потреблению и лежит впределах 0 < с < 1. иначе при малых выпусках потреблялось бы большепродукта, чем производилось бы (величина d= 1 — с — склонность к накоплению).

Рис. 4.Зависимость спроса на инвестиции (А) от нормы банковскогопроцента (r).

Фондообразующийпродукт

s = q -w(Q) (8)

вкладывается инвесторами вэкономику с цельюполучить в будущем от этих инвестиций доход. В модели считается, что инвестицииэквивалентны отложенному (отнесенномуна будущее) потреблению и потому определяются еще одним финансовым макропоказателемсистемы — нормой банковского процента r.Действительно, cделавинвестиции в размере (А) и получив через год доход D= Аr,инвестор ничего не теряет (в данном примере и невыигрывает) по сравнению с вложением этих средств в банк под процент r. В обоих случаях сегодняшнеепотребление откладывается ради возможности большего потребления в следующемгоду. Спрос на инвестиции задается функцией А(r)такой, что А'(r)<0при Q<r<r и А(r)=0при r>r :прибольшой норме процента инвестиции отсутствуют (рис. 4).

В условияхравновесия предложение фондообразующего продукта S(Q)сбалансировано со спросом на инвестиции А(r),следовательно, S(Q)= A(r).Из этогоравенства и равенства (8) следует

Q — w(Q)=A(r). (9)

Дляокончательного замыкания математической модели рыночного равновесия ссовершенной конкуренцией рассматривается рынок финансов. Чтобы произвестипокупки товара Q (какфондообразующего, вкладываемого в экономику, так и идущего на потребление),нужны деньги. Относительно спроса на деньги делается следующее предположение:

VII.Спрос на деньги представляет собойсумму операционного спроса и спроса спекулятивного.

<img src="/cache/referats/3461/image010.gif" v:shapes="_x0000_s1046"><img src="/cache/referats/3461/image011.gif" v:shapes="_x0000_s1045"><img src="/cache/referats/3461/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1044"><img src="/cache/referats/3461/image013.gif" v:shapes="_x0000_s1040">Рис 5.Зависимость спекулятивного спроса (I) от

нормыпроцента (r)

Операционныйспрос определяется количеством денег, которое нужно иметь на руках, чтобыпроизводить покупки товара Q (какфондообразующего, так и идущего на потребление). Если цена продукта равна Р, а время обращения равно t

, то операционный спросравен величине tPQ

Спекулятивныйспрос связан с величиной нормы процента r.Если норма процента высока, то большую часть денег ихвладельцы предпочитают хранить в банке, рассчитывая на хороший доход и жертвуяболее высокой степенью ликвидности банкнот(способностью обмениваться на продукты) в сравнении с банковскимиобязательствами. При низкой процентной ставке спекулятивный спросувеличивается: владельцы желают иметь на руках все больше банкнот, аккумулируяв них свои накопления. Поэтому спекулятивный спрос задается функцией I(r) (рис. 5), такой, что I'(r)<Oпри г>r и I(r) резковозрастает при r– r (I(r) — при r –r; владельцы денег не приобретают обязательств банка). Естественносчитать, что r< r, так как в противном случае либо инвестиции равнынулю, и говорить об экономическом- равновесии не приходится, либо функция I(r) не определена, и рассмотрение не имеет смысла.

Таккак финансовый рынок находится в равновесии, то баланс («закон сохранения»)денег дастся уравнением '

Z=tPQ+I(r),…………………………………(

10)

Где

Z– количество денег, являющееся заданным управляющим параметром системы(считается, что деньги выпускает государство).

Изсоединения в одно уравнений (1), (6), (9) и (10), возникает математическаямодель рыночного равновесия, полученная в предположениях

I-VII:

Q = F(R),

F’(R) = s/P,

Q-

w (Q) = A(r), (11)

Z =

tPQ + I(r).

<img src="/cache/referats/3461/image015.gif" v:shapes="_x0000_s1047">Рис.6.Зависимостьфондообразующего продукта (S) от числа занятых рабочих (R)

<img src="/cache/referats/3461/image016.gif" v:shapes="_x0000_s1049"><img src="/cache/referats/3461/image017.gif" v:shapes="_x0000_s1051">В модели-(11) задаются параметры системы s(ставка заработной платы), Zпредложение денег) и технический параметр τ<img src="/cache/referats/3461/image018.gif" v:shapes="_x0000_s1050">

Функции F, F',ω, А, I — известные функции

своих аргументов сописаннымивыше <img src="/cache/referats/3461/image019.gif" v:shapes="_x0000_s1048">

<img src="/cache/referats/3461/image020.gif" v:shapes="_x0000_s1039"> свойствами.По этим входным данным из модели определяются четыре неизвестные величины: Q(величина выпускаемого продукта), R(уровень занятости ), Р (ценапродукта) и r(норма банковского процента).

Исключая из(11) величины Р, r, Q,системууравнений (11) легко свести к одному уравнению

(12)

где А 1 — функция, обратная функции А. Изсвойств строго возрастающей функции А= F(R)-ω(F(R))(рис. 6) легко установить качественный вид функции А 1 (взависимости от R): функция А 1строго убывает с ростом R. В своюочередь, А служит аргументом монотонной функции I:

(13)

Свойства функции (13) таковы, что как функция R она имеет вид кривой J{R),изображенной на рис. 7 (для значений R> R функция Iне определена), где R — корень уравнения

(14)

Рассмотрим теперь левуючасть уравнения (12). Функция

Z-sτF(R)/F'(R) (15)

равна Z при R = 0, т.к. F'(R) > 0. Первая производнаяфункции (15)

(16)

в силу условия F"(R)< 0(см. рис. 2). Из (17) тогдаследует, что функция (15) строго убывает на промежутке [О, R]. Введя обозначения

(17)

(18)

запишем уравнение (12) ввиде

J(R)=X(R). (19)

В силу отмеченных выше свойств функций (17) и (18),входящих в левую и правую части уравнения (19), графики функций J(R)иX(R)имеют вид кривых, изображенных на рис. 7.

Рис. 7.Определение равновесного состояния R в условиях совершенной конкуренции.

Следовательно,модель Кейнса (11) имеет единственное решение описывающее равновесное состояниеэкономики.

Пример.Используяравенства (11), найти уровень занятости R,величину производимого продукта Q,ценупродукта Р и норму прибыли rдля обеспечения равновесия на конкурентном рынке,если

(20)

Приведенные в формулах (20) функцииудовлетворяют требуемым условиям и выбраны произвольно из методическихсоображении.

Предполагаязаданными параметры системы s'= 10,τ=50, Z=100,произвести вычисления, воспользовавшись программой 1 при следующих значенияхпараметров функции F,ω, А, I:

а=10, b=5,c=0.5, m=8, k=2, r=5, r ==3, n=1.

В условияхпримера функции J(R)и X(R),определяемые по формулам (17) и (18), принимают вид:

(21)

Графики функций (21) при заданных впримере значениях параметров представлены на рис.8.

Рис. 8. Графики функций,определяемых формулами (21)

Чтобы найтиравновесное значение R*,найдемсначала положительный корень R уравнения

соответствующий вертикальнойасимптоте функции J(R)(см. рис. 8), по формуле

или методом половинного деления,применяя программу 2. Получим

R=0158.

Равновесноезначение уровня занятости R ,равное 0.107, находим после этогов интервале (0;R),решая уравнение J{R)=X(R),например,

методом половинного деления. Знаяравновесное значение R = R ,из системы уравнений (11) и формул (20) находим равновесные значения остальныхтрех неизвестных величин:

(23)

— равновесное значениевыпуска продукции,

-равновесное значение цены продукта,

— равновесное значение нормыприбыли.

Замечание.В этоманализе рассматривались трудовые отношения в условиях совершенной конкуренции,когда на рынке труда взаимодействует неограниченное количество работодателей ине объединенных в профсоюзы наемных рабочих, равновесная ставка заработнойплаты и количество занятых устанавливаются под воздействием спроса ипредложения труда. Предположим, что в данной отрасли формируется профсоюз, надоопределить специфику его влияния на рынок труда. Как правило, профсоюз всемидоступными средствами добивается установления ставки заработной платы вышеравновесной. Допустим, что профсоюз добился увеличения ставки заработной платы.Как на такие действия профсоюза отреагирует совершенный конкурентный рынок?

Вполнеочевидно, что предприниматели сократят спрос на труд, поскольку для нихвыплачиваемая рабочим заработная плата является издержками, а так как ставказаработной платы возросла, то предприниматели не могут оставить число занятыхнеизменным. Модель (11) может быть использована для сравнительного анализасостояния равновесия при изменении величин параметров s, τ, Z.

Покажем напримере модели (20), рассмотренной выше, к чему приведет увеличение в даннойотрасли заработной платы вдвое (с s=10 до s=20):

уровень занятости уменьшитсяна 36% с R=0.107 до R=0.068,

выпуск продукции уменьшитсяна 27% с Q =3.49 до Q = 2.54,

цена продукта увеличится на52% с Р =0.472 до Р =0.719,

значение нормы прибылиувеличится на 13% с r* = 3.45 до r* = 3.91. Как видим, увеличение заработной платынеминуемо приводит к тому, что какая-то часть рабочих должна покинуть отрасль.Аналогичный по своему воздействию эффект на рынок труда производитзаконодательно устанавливаемый минимум заработной платы. В западной экономическойлитературе длительное время дискутируется вопрос об эффективностизаконодательства о минимуме заработной платы. В США, например, минимумзаработной платы установлен в размере 40-50% от среднего уровня заработнойплаты в обрабатывающий промышленности. В настоящее время минимум заработнойплаты в США составляет 4.75 долл. в час. На основе многочисленных исследованийподсчитано, что повышение минимума заработной платы на 10% приводит ксокращению занятости молодежи в возрасте 16-19 лет на 1—3%, а среди лицнаемного труда в возрасте от 20 до 24 лет безработица увеличивается на 1%.Общепризнанным считается, что фиксированный минимум заработной платы оказываетнеблагоприятное воздействие на занятость, особенно низкооплачиваемых категорийтрудящихся.

Будем изменять в модели (20), рассмотренной вприведенном выше примере, величину заработной платы s.На рис. .9-12 показано, какс изменением s в условиях совершеннойконкуренции будут изменяться R* ,Q*, P* и r*.

Изприведенных графиков следует, что с увеличением заработной платы в условияхравновесного состояния экономики наблюдается уменьшение уровня занятости R*и величины производимого продукта Q*.При этом цена продукта Р*и величина банковского процента r* растут.

Рис.9. График равновесного значения R* в зависимости от величины заработной платы s

Рис. 10. График равновесного значения Q* величины производимого продукта в зависимости от уровня заработной платы

Рис..12.

График равновесногозначения Р* цены продукта взависимости от уровня заработнойплаты.

Рис.11. График равновесного

значения r* величины банковского

процента в зависимости от уровня

заработной платы

еще рефераты

Еще работы по экономико-математическому моделированию

Реферат по экономико-математическому моделированию

Анализ модели дуаполии