Реферат: Конспект лекций по курсу ЭММ (Экономико-математические методы и модели)
1.Основные эконометрическиепонятия и термины, используемые модели.
Слово “эконометрика” – соединение 2-х слов –экономика (наука об экон. сис-ах), метрика (наука об измерениях). Со временем,требовалось оценить точно возникающие связи между экономическими объектами(труд. ресурсами, ср. возраст рабочего, уровень безработицы, з/пл ит.д.) т.к. эти понятия носят как правило случайный характер, то без такихпонятий как регрессия, корреляция, эконометрическая модель, временной ряд необойтись. Обычно, те объекты, которые носят независимый характер, в экономикеназывают фактор признаками.
Например:х1– время процесса, х2– раб. период, х3 –выделяемые средства (Vср-в) – это все независимыепеременные – экзогенные переменные (фактор признаки).
Аналогично,у1 – Vвыпуска продукции, у2 – себестоимость, у3 — рентабельность, у4 – инвестиции в про-во –зависимые переменные – эндогенные переменные (результативные признаки).
Не всегда затраты ведут к максимизации прибыли.Чтобы написать ту или иную зависимость прим. ур-ие регрессии.
Уравнение регрессии– ур-ие, связывающее междусобой фактор признаки и результативные признаки. Ур-ие регрессии бываютлинейные и нелинейные. Сама регрессия бывает парная (зависимость между 1-имфактор признаком и результатом) и множественная.
y =y(x) (1) (з. между 1-им ф. признаком ирез-ом)
y = a + bx(2)(парная линейнаярегрессия, т.к. х и у участвуют в 1-ой степени, а и b– параметры регрессииимеющие экономический смысл).
Чтобы учесть возникающие помехи (погрешности вуравнении (2)) обычно пишут:у = a + bx + e,где e – искажение модели, учитывающее ряд других фактор признаков не явноучаствующих в процессе.
Существуют и другого вида регрессии:
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»">1)<span Times New Roman"">
Линейные – по факторпризнаку.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»">2)<span Times New Roman"">
Нелинейные – по параметрам.Например:<img src="/cache/referats/12873/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025"> (регрессиялинейная, а и bпод зн. log)
Однако,часть нелинейных регрессий легко сводится к лин. регрессиям:
Например:y = Ax + B, где <img src="/cache/referats/12873/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">
Однако,сущ. ур-ия регрессии не сводящиеся никаким способом к линейным.
Например:<img src="/cache/referats/12873/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"> (здесь регрессиянелинейная по фактор признаку х и по параметрам а и b)
Теориякорреляции учитывает тесноту связи между признаками х и у.
Основнымихарактеристиками служат:
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»">1)<span Times New Roman"">
линейный коэффициент парнойкорреляции;<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»">2)<span Times New Roman"">
средняя ошибка аппроксимациимодели.<span Courier New"; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">2.1. Общая классификацияматематических моделей и соответствующие подходы.
Модели управления рыночнойэкономикой подразделяются на 4 основных вида:
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»">1)<span Times New Roman"">
Ординарная модель.Она предназначена для расчетаоптимизации т.н. бизнес-планов, структур управления, где структурированнаясхема модели предполагает построение графа, не содержащее контуров “дерево решение”, где каждой вершине приписывается вполне конкретныйобъект. Связь между вершинами “траекторийграфов” есть цели, которые бывают3-х видов.
основные задачи, решаемыеординарной моделью:
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">1.<span Times New Roman"">
Оптимальноераспределение финансовых средств, выделенных на создание проектируемогообъекта, по критерию минимизации времени реализации бизнес-плана.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">2.<span Times New Roman"">
Расчетмаксимальной окупаемости величины финансовых затрат, необходимых для созданияпроектируемого объекта.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">3.<span Times New Roman"">
Расчетопределения оптимальных значений мощности каждой из подсистем объекта.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">2)<span Times New Roman"">
Композиционная модель.Состоит в точном формировании ипоследующей оптимизации бизнес-плана, проектируемой коммерческой структуры.Основа модели – метод анализа иерархий, с точным указанием весовыххарактеристик каждой из составляющих. С помощью композиционной системы решаютсяаналогичные задачи. Разница лишь в том, что операционные характеристики моделистроятся с учетом “интересов”, т.н. весов для моделируемого объекта в целом.
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">3)<span Times New Roman"">
Модель планирования.Она предназначена для системногопланирования в условиях неопределенности и риска принимаемых решений.
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">4)<span Times New Roman"">
Комплексная модель.Комплексная модель состоящая из2-х моделей:
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">1.<span Times New Roman"">
Модель поформированию и ведению оптимальных портфелей ценных бумаг;<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">2.<span Times New Roman"">
Модель пооценке ликвидности выдаваемых заемщиком кредитов.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»">2.2.<span Times New Roman"">
Статистические модели иметоды их оценки.Прежде всего, сформируем основные задачи и этапыстатистической обработки эксперимента:
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">1)<span Times New Roman"">
Анализданных, обработка анализируемыхизмерений. Этот этап связан с неоднородностью по качеству экспериментальныхизмерений.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">2)<span Times New Roman"">
Экспериментальнаяпроверка законов распределения, оценка параметров экономических показателей ииндексов измерений.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">3)<span Times New Roman"">
Сжатие(группировка) исходной информации при большом объеме данных.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">4)<span Times New Roman"">
Моделькак таковая (из выше отмеченных 4-х видов)<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">5)<span Times New Roman"">
Уточнениемодели и ее идентификация.Перечислим основные методы, применяемые вэкспериментах:
1| Корреляционный анализ.Его суть– определение случайных связей (как правило линейной) между двумя и болеепризнаками, входящими в эксперимент. Он позволяет отобрать факторы имеющиесущественный характер и построить соответствующее уравнение регрессии. Далее,оценить точность выбранной модели с помощью коэффициента корреляции, кдетерминации к общей ошибке аппроксимации. На основе 1-го можно производитьпрогнозирование.
2|Факторный анализ. Итак, вовсякой модели есть фактор признаки, часть из которых носят количественныйхарактер, другая часть – качественный характер.Сутьфакторного анализа состоит в том, что внешние факторы, используемые в модели исильно коррелированные между собой должны быть заменены внутренними факторами,которые определяют поведение внешних факторов, и в целом экономический процесс.
Р = ((Ц-С)/C)* 100% (определение рентабельности)
Ясно, что эти факторы влияют напроизводительность. Задача в том, чтобы выделить из них более существенныевнутренние факторы и определить долю каждого в процессе.
3|Дисперсионный анализ.Онпредназначен для обработки и соответствующего прогнозирования экспериментальныхданных, зависящих только от качественных факторов. Сущность его состоит в том,чтобы разложить дисперсию результата на независимые составляющие эксперимента,каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора на результат.Сравнения этих составляющих дисперсий есть оценка существенности этих факторов.
2.3. Некоторые основныеположения, используемые в ординарной модели.
Формы линии регрессии – естьзависимость между двумя и более случайными величинами определяется выбором изследующих типов зависимостей.
а) y = a + bx + e, где х – независимый фактор, у – рез-ат, а и b– параметры, е – искажение;
б) y= a +b/x + e, — гиперболическая регрессия.
в) y = axb + e, — степенная регрессия.
г) y = a + b * ln x + e, — логарифмическая регрессия.
д) y = a + bx + ex2+ … + e, — параболическаярегрессия.
Каждая из них, для оценкипараметров строится на основе МНК. Его суть – подбирают параметры уравнениярегрессии, исходя из минимальных квадратов отклонений экспериментальных данныхи теоретических значений в уравнениях регрессии. Он включается в системукорреляционных уравнений. Получаемые этим методом оценки параметров должныобладать следующими свойствами:
<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">1.<span Times New Roman"">
Песьмицинностью,т.е. математические ожидания цен должны быть равны их истинным значениям,полученным их экспериментальным соответствиям.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">2.<span Times New Roman"">
Оценкапараметров должна быть состоятельной, при росте объема наблюдений должнастремится к нулю.<span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">3.<span Times New Roman"">
Должныбыть эффективными, должны иметь минимальную дисперсию по сравнению к другимоценкам.<span Courier New";mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">3. Постановкаи методы решения оптимизационных задач с многими критериями.
Очень часто приходится ставить и решать следующие задачи:
1) Максимизировать прибыль исвязанный с ней доход предприятия,
Q1– max P;
2) Минимизировать себестоимость (повышать рентабельность), Q2 – min S, Q3 max R;
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Courier New»;mso-ansi-language:EN-US; font-weight:normal">3)<span Times New Roman"">
Минимизировать численность работающих, Q4;<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Courier New»;mso-ansi-language:EN-US; font-weight:normal">4)<span Times New Roman"">
Максимизировать з.пл. рабочим, Q5 maxКак видим, множество критериевпротиворечащих друг другу. Как решить поставленную задачу с учетом моделей производства.Существует 4 метода решения таких задач:
1-ый метод.Метод анализа иерархий припринятии окончательных управленческих решений. Суть метода:точно написатьдозированные коэффициенты (т.н. весовые) при принятии решения и распределенияресурсов по целям. Для этого потребуются вспомогательные сведения, такие как идеальная матрица сравнения, индекс согласованности решений,распределение согласно целям и иерархии.
------------
Идеальная матрица сравнения:Рассматриваются n-объектов (элементов экон. сис-мы) – з.пл.,соц.страх., осн.фонды, численность. Каждый элемент находится во взаимодействиис другими. Обозначим p1,p2,…pn. Всего n-объектов.С этими элементами свяжем матрицу А. Аij, i–номер строки,j-номер столбца. Идеальнойматрицей сравнения называется исходная матрица А, подчиненная 2-ум правилам:
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Courier New»;mso-ansi-language:EN-US; font-weight:normal">1)<span Times New Roman"">
если Аij= <img src="/cache/referats/12873/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028">Аji= 1/<img src="/cache/referats/12873/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/12873/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/12873/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1031"><span Courier New"; mso-bidi-font-family:«Courier New»;font-weight:normal">2)<span Times New Roman"">
еслисуждение (относительно рассм. эл-ов) piи pj таковы,что объект pi одинаков собъектом pj по важности,то элемент aij=1, а значит аji=1. В частностидиагональный элемент аii=1.Матрица А отвечающая правилам 1) и 2) называется идеальной матрицей сравнения.Индекс согласованности решений:Пустьдана матрица А и пусть дан вектор <img src="/cache/referats/12873/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1032">; <img src="/cache/referats/12873/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1033">.<img src="/cache/referats/12873/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1034"><img src="/cache/referats/12873/image016.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/12873/image018.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/12873/image020.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> В принципе, для двухкоординат х1, х2 действие матрицы превращается в 2действия – деформацию вектора и поворот на плоскости.
------------
2-ой метод.Лексикографический методстратегий.
3-ий метод.Метод идеальной точки(Оптимум Парретто).
4-ый метод.Метод мозговой атаки (коллективногораспознавания).
<span Courier New";mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">4. Метод базовой точки вэкономических системах.
К настоящему времени численныеметоды (приближенные методы) применяются тогда, когда переменных или критериевмного.
В IXXстолетии фр. Физик Ле Шателье открыл следующийпринцип:
<div v:shape="_x0000_s1042">
Б
2
<img src="/cache/referats/12873/image021.gif" v:shapes="_x0000_s1041">1
<img src="/cache/referats/12873/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1040"><img src="/cache/referats/12873/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1039"><div v:shape="_x0000_s1035">Рис 2
<div v:shape="_x0000_s1034">А
1
<img src="/cache/referats/12873/image024.gif" v:shapes="_x0000_s1033">2
<img src="/cache/referats/12873/image025.gif" v:shapes="_x0000_s1032"><img src="/cache/referats/12873/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1031"><img src="/cache/referats/12873/image027.gif" v:shapes="_x0000_s1030"><img src="/cache/referats/12873/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1029"><img src="/cache/referats/12873/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1028"><img src="/cache/referats/12873/image030.gif" v:shapes="_x0000_s1027"><div v:shape="_x0000_s1026"> Рис 1 Если система находится в состоянии устойчивого равновесия,то под действием внешних сил она может быть выведена из этого состояния, но такчто будет обладать минимумом энтропии энергии. Это значит (см. рис.1), что еслисистема находится в положении А, то по направлениям 1 и 2 ее бесполезновыводить из состояния устойчивого равновесия.<img src="/cache/referats/12873/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1037"><img src="/cache/referats/12873/image032.gif" v:shapes="_x0000_s1038"><img src="/cache/referats/12873/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1036">Если жесистема находится в положении Б, то, при выведении ее по направлениям 1 и 2 (см.рис.2) система не вернется.
Лауреатнобелевской премии, Пригожин И., в 1989 году, используя принцип Ле Шателье, отом что всякая система непременно возвращается в зону устойчивого равновесия,открыл новый метод в экономике – метод базовой точки:
Пустьсостояние экономического процесса зависит от ряда параметров. Целевая функцияимеетследующий вид:
<img src="/cache/referats/12873/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1046"><img src="/cache/referats/12873/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1045"><img src="/cache/referats/12873/image036.gif" v:shapes="_x0000_s1044"> <img src="/cache/referats/12873/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1038">
<div v:shape="_x0000_s1047">
X A E
х–набор свободныхпараметров x1,x2,…xn, которые надо оптимизировать.a1,a2,… ap – набор техническихпараметров, влияющих также на поведение целевой функции.
e1,e2,… em – наборстоимостных характеристик процесса, влияющих на поведение функции. Даннаясистема широко применяется в настоящее время. Например, хорошо всем известнаясистема налогообложения.
<img src="/cache/referats/12873/image039.gif" v:shapes="_x0000_s1066">
Множественнаярегрессия. Коэффициент эластичности.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Как правило, парной регрессией не обойтись, когда имеетсягруппа взаимосвязанных признаков. Например,в модели участвуют след. хар-ки
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">:<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x1
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"> – трудовые ресурсы, <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">L<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x2 –
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">стоимость основных фондов, <span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">k<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»"><span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x3 – время,
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">Т<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">x4 –
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">зар. плата<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">x5 – средний возраст рабочего, и т.д.
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Аналогично парной строится
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US"> <span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">и множественная регрессия.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Сначала рассмотрим случай, когда один результативныйпризнак у и фактор признак х1,х2,… х
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US">n<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»">.<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">Различают аддиктивную (суммарную) линейную множественнуюрегрессию вида <img src="/cache/referats/12873/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1039">
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»">И мультипликативную (в форме произведения) <img src="/cache/referats/12873/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1040">
<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-weight:normal">Параметры моделиесть т.н. эластичности модели. Они показывают на сколько %-ов изм. рез-т у приизменении на 1% фактор признака х
<span Arial",«sans-serif»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;font-weight:normal">i<span Arial",«sans-serif»; mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;font-weight:normal">.<span Courier New";mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-bidi-font-family: «Times New Roman»;mso-ansi-language:EN-US;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">5. Идеальная матрица сравнений.Шкала сравнений.
Прианализе интересующей нас структуры экономического объекта очень частоприходится принимать точные решения. Например, на поведение рыночнойустойчивости предприятия (обеспечение максимального выпуска, связанного с нимдохода, в условиях инфляции, падения импорта, падения экспортных цен), нужноточно знать, сколько распределить средств, с учетом основных факторовпроизводства на каждый из видов деятельности, зная цели.
Схема задачи следующая:
Объем средств
Производственный
сектор
ТранспортСоциально-бытовые службы
Существует универсальный метод, позволяющий точно сосредоточить денежные средства с учетом указанных целей (основоположник метода Т. Саати).
Идеальная матрица сравнений представляет собой квадратическую матрицу, построенную на сравнении ее элементов. Например, если один элемент, входящий в экономическую систему имеет одинаковую значимость с другим элементом, то в соответствующей паре этих элементов участвует число 1. Например, при приобретении материалов для крыши необходимы доски, шифер, гвозди и т.д. – часть элементов одинаковы по полезности. Если один элемент А, важнее элемента B, то пару (АB) в матрицу заносим 2 или 3.
(AB) B
|
|
A----(3)
А в пару BA заносим 1/2 или 1/3
(BA) (1/2, 1/3)
Если элемент А явно важнее чем элемент B, то в пару (A,B) заносим 4 или 5, в пару (B,A)=1/4, 1/5. Если элемент А значительно важнее, то 6 или 7, а (B,A)=1/6, 1/7. Если элемент А абсолютно важнее, чем элемент B, то заносим в пару (А,B)=8,9, а в (B,A)=1/8, 1/9.
Предположим, что, сравнивая объекты в экономической системе S мы вынуждены написать следующую таблицу сравнения.
Видим, что симметрично диагональные элементы взаимообратные по величине.
Для каждой матрицы характерны 2 основных компонента:
<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Courier New»">1)<span Times New Roman"">
max собственное значение;<span Courier New";mso-bidi-font-family:«Courier New»">2)<span Times New Roman"">
индекс согласованности, позволяющий судить о качестве построенной нами модели. <img src="/cache/referats/12873/image045.gif" v:shapes="_x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063"> <img src="/cache/referats/12873/image046.gif" v:shapes="_x0000_s1064 _x0000_s1065">